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10.如图所示，$□ ABCD$中，$AB=6$，$BC=10$，$AC$的垂直平分线交$AD$于点$E$，则$△ CDE$的周长是（
A.8
B.10
C.12
D.16
D
）A.8
B.10
C.12
D.16
答案
10.D
解析
【分析】
要计算△CDE的周长，首先明确周长公式为CD+DE+CE。我们已知平行四边形的边长AB、BC，首先利用平行四边形对边相等的性质，可得到CD、AD的长度。再结合AC的垂直平分线这一条件，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=CE，将CE替换为AE后，DE+CE就转化为DE+AE=AD，由此可将△CDE的周长转化为CD与AD的和，代入数值即可求解。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD=6，BC=AD=10，
∵ E在AC的垂直平分线上，
∴ AE=CE，
∴ △CDE的周长 = CD + DE + CE = CD + DE + AE = CD + AD，
代入数值计算得：6 + 10 = 16。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的周长转化为已知线段的和，熟练掌握平行四边形和垂直平分线的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算△CDE的周长，首先明确周长公式为CD+DE+CE。我们已知平行四边形的边长AB、BC，首先利用平行四边形对边相等的性质，可得到CD、AD的长度。再结合AC的垂直平分线这一条件，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=CE，将CE替换为AE后，DE+CE就转化为DE+AE=AD，由此可将△CDE的周长转化为CD与AD的和，代入数值即可求解。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD=6，BC=AD=10，
∵ E在AC的垂直平分线上，
∴ AE=CE，
∴ △CDE的周长 = CD + DE + CE = CD + DE + AE = CD + AD，
代入数值计算得：6 + 10 = 16。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的周长转化为已知线段的和，熟练掌握平行四边形和垂直平分线的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. 如图所示,在$△ ABC$中,$∠ BAC=80°$,AB边的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,AC边的垂直平分线交AC于点F,交BC于点G,连接AE,AG,则$∠ EAG$的度数为 (
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
)A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
11.B
解析
【分析】
解题思路：看到垂直平分线首先想到其性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得到等腰三角形，利用等边对等角转化角的关系；再结合三角形内角和定理求出∠B与∠C的和，最后通过角的和差关系计算∠EAG的度数。
步骤思考：①先利用三角形内角和求出∠B+∠C的度数；②根据垂直平分线性质得到EA=EB、GA=GC，推导出∠EAB=∠B、∠GAC=∠C；③分析∠EAB+∠GAC与∠BAC、∠EAG的和差关系，代入数值即可求出∠EAG。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=80°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 80° = 100°$
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴$EA = EB$，根据等边对等角得：$∠ EAB = ∠ B$
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴$GA = GC$，根据等边对等角得：$∠ GAC = ∠ C$
∴$∠ EAB + ∠ GAC = ∠ B + ∠ C = 100°$
又
∵$∠ EAB + ∠ GAC = ∠ BAC + ∠ EAG$（两个角重叠部分为∠EAG，相加后等于∠BAC加上重叠的∠EAG）
∴$∠ EAG = (∠ EAB + ∠ GAC) - ∠ BAC = 100° - 80° = 20°$
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是利用垂直平分线的性质实现等角转换，再结合角的和差关系求解，解题关键是理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题思路：看到垂直平分线首先想到其性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得到等腰三角形，利用等边对等角转化角的关系；再结合三角形内角和定理求出∠B与∠C的和，最后通过角的和差关系计算∠EAG的度数。
步骤思考：①先利用三角形内角和求出∠B+∠C的度数；②根据垂直平分线性质得到EA=EB、GA=GC，推导出∠EAB=∠B、∠GAC=∠C；③分析∠EAB+∠GAC与∠BAC、∠EAG的和差关系，代入数值即可求出∠EAG。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=80°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 80° = 100°$
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴$EA = EB$，根据等边对等角得：$∠ EAB = ∠ B$
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴$GA = GC$，根据等边对等角得：$∠ GAC = ∠ C$
∴$∠ EAB + ∠ GAC = ∠ B + ∠ C = 100°$
又
∵$∠ EAB + ∠ GAC = ∠ BAC + ∠ EAG$（两个角重叠部分为∠EAG，相加后等于∠BAC加上重叠的∠EAG）
∴$∠ EAG = (∠ EAB + ∠ GAC) - ∠ BAC = 100° - 80° = 20°$
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是利用垂直平分线的性质实现等角转换，再结合角的和差关系求解，解题关键是理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示，在$△ ABC$中，$AB=BC=\sqrt{3}$，$∠ BAC=30°$，分别以点$A$，$C$为圆心，$AC$的长为半径作弧，两弧交于点$D$，连接$DA$，$DC$，则四边形$ABCD$的面积为（
A.$6\sqrt{3}$
B.$9$
C.$6$
D.$3\sqrt{3}$
D
）A.$6\sqrt{3}$
B.$9$
C.$6$
D.$3\sqrt{3}$
答案
12.D
解析
【分析】
要计算四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABC和△ACD的面积之和求解。首先根据作图规则可知AD=AC=DC，因此△ACD是等边三角形，只需要先求出AC的长度，再分别计算两个三角形的面积相加即可。解题步骤为：①先在等腰△ABC中，利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出AC的长和△ABC的高，算出△ABC的面积；②根据AC的长度求出等边△ACD的面积；③将两个面积相加得到四边形总面积。
【解析】
过点B作BE⊥AC于点E。
∵AB=BC=√3，
∴△ABC是等腰三角形，E为AC中点，即AE=EC。
在Rt△ABE中，∠BAC=30°，
∴BE=½AB=√3/2（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$，
∴AC=2AE=3。
则△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
由作图可知AD=AC=CD=3，因此△ACD是等边三角形。
过点D作DF⊥AC于点F，$AF=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，
由勾股定理得等边△ACD的高$DF=\sqrt{AD^2 - AF^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
则△ACD的面积：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
因此四边形ABCD的面积$S=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，等边三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是读懂尺规作图的含义，判断出△ACD为等边三角形，再将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积之和计算，整体考查基础几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.7
要计算四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABC和△ACD的面积之和求解。首先根据作图规则可知AD=AC=DC，因此△ACD是等边三角形，只需要先求出AC的长度，再分别计算两个三角形的面积相加即可。解题步骤为：①先在等腰△ABC中，利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出AC的长和△ABC的高，算出△ABC的面积；②根据AC的长度求出等边△ACD的面积；③将两个面积相加得到四边形总面积。
【解析】
过点B作BE⊥AC于点E。
∵AB=BC=√3，
∴△ABC是等腰三角形，E为AC中点，即AE=EC。
在Rt△ABE中，∠BAC=30°，
∴BE=½AB=√3/2（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$，
∴AC=2AE=3。
则△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
由作图可知AD=AC=CD=3，因此△ACD是等边三角形。
过点D作DF⊥AC于点F，$AF=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，
由勾股定理得等边△ACD的高$DF=\sqrt{AD^2 - AF^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
则△ACD的面积：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
因此四边形ABCD的面积$S=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，等边三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是读懂尺规作图的含义，判断出△ACD为等边三角形，再将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积之和计算，整体考查基础几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.7
13. 若分式$\frac{x+5}{x^2 -25}$有意义，则x的取值范围是
$x≠±5$
。答案
13.$x≠±5$
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。解题时需先找到原式的分母，令分母不等于0求解即可，注意不要提前对分式约分，否则会漏掉使原分母为0的x值。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x^2 -25 ≠ 0$
移项整理得：$x^2 ≠ 25$
解得：$x ≠ 5$且$x ≠ -5$，即$x ≠ \pm 5$
【答案】
$x≠±5$
【知识点】
分式有意义的条件、解简单不等式
【点评】
本题是基础类题型，重点考察分式有意义的判定规则，易错点是部分同学会先约去分子分母的公因式$(x+5)$，仅考虑$x≠5$而漏掉$x≠-5$的情况，解题时要注意必须结合原式的分母判断取值范围，不能提前约分。
【难度系数】
0.7
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。解题时需先找到原式的分母，令分母不等于0求解即可，注意不要提前对分式约分，否则会漏掉使原分母为0的x值。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x^2 -25 ≠ 0$
移项整理得：$x^2 ≠ 25$
解得：$x ≠ 5$且$x ≠ -5$，即$x ≠ \pm 5$
【答案】
$x≠±5$
【知识点】
分式有意义的条件、解简单不等式
【点评】
本题是基础类题型，重点考察分式有意义的判定规则，易错点是部分同学会先约去分子分母的公因式$(x+5)$，仅考虑$x≠5$而漏掉$x≠-5$的情况，解题时要注意必须结合原式的分母判断取值范围，不能提前约分。
【难度系数】
0.7
因式分解：$x^2(y - 1) - 4(y - 1) = \underline{\hspace{5cm}}$。
答案
14.$(y-1)(x+2)(x-2)$
解析
【分析】
本题考查因式分解，解题遵循因式分解的常规步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中两项均含有公因式$(y-1)$，先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩下的多项式$x^2-4$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，再用平方差公式继续分解，最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解即可。
【解析】
解：$x^2(y - 1) - 4(y - 1)$
首先提取公因式$(y-1)$，得：
$=(y-1)(x^2 - 4)$
再将$x^2 - 4$利用平方差公式分解：
$=(y-1)(x+2)(x-2)$
【答案】
$(y-1)(x+2)(x-2)$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考察因式分解的操作顺序：先提公因式，后用公式法分解，解题时要注意因式分解必须彻底，要分解到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解，解题遵循因式分解的常规步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中两项均含有公因式$(y-1)$，先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩下的多项式$x^2-4$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，再用平方差公式继续分解，最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解即可。
【解析】
解：$x^2(y - 1) - 4(y - 1)$
首先提取公因式$(y-1)$，得：
$=(y-1)(x^2 - 4)$
再将$x^2 - 4$利用平方差公式分解：
$=(y-1)(x+2)(x-2)$
【答案】
$(y-1)(x+2)(x-2)$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考察因式分解的操作顺序：先提公因式，后用公式法分解，解题时要注意因式分解必须彻底，要分解到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
15. 如图所示，$△ ABC$中，$AC=BC=13$，把$△ ABC$放在平面直角坐标系中，且点$A$、$B$的坐标分别为$(2,0)$、$(12,0)$，将$△ ABC$沿$x$轴向左平移，当点$C$落在直线$y=-x+8$上时，线段$AC$扫过的面积为
132
。答案
15.132
解析
【分析】
解题分为三步：①求点C的初始坐标：已知△ABC是等腰三角形，AC=BC，因此点C在AB的垂直平分线上，先求出AB中点横坐标得到C的横坐标，再利用勾股定理求出C的纵坐标；②求平移距离：△ABC沿x轴向左平移时，点C纵坐标不变，将纵坐标代入直线解析式求出平移后C的横坐标，横坐标的差就是平移的距离；③计算扫过的面积：线段AC平移扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移距离，高为点C的纵坐标，利用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点C的初始坐标：
已知点$A(2,0)$、$B(12,0)$，AB中点的横坐标为$\frac{2+12}{2}=7$，
∵$AC=BC$，
∴点C在AB的垂直平分线上，即点C的横坐标为7，设$C(7,y)$（$y＞0$）。
由$AC=13$，根据勾股定理得：$\sqrt{(7-2)^2 + y^2}=13$，
整理得：$25+y^2=169$，解得$y=12$（负值舍去），即初始坐标为$C(7,12)$。
2. 求平移的距离：
△ABC沿x轴向左平移时，点C的纵坐标不变，始终为12，
当点C落在直线$y=-x+8$上时，代入$y=12$得：$12=-x+8$，解得$x=-4$，
即平移后点C的坐标为$(-4,12)$，平移的距离为$7 - (-4)=11$个单位长度。
3. 计算线段AC扫过的面积：
线段AC沿x轴向左平移扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底等于平移距离11，底边上的高等于点C的纵坐标12，
∴面积$S=11×12=132$。
【答案】
132
【知识点】
等腰三角形的性质，一次函数的性质，平移的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础综合题，解题核心是先利用等腰三角形性质确定点C坐标，再结合平移的不变性求出平移距离，明确平移扫过的图形形状即可顺利求解，能很好地考查知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题分为三步：①求点C的初始坐标：已知△ABC是等腰三角形，AC=BC，因此点C在AB的垂直平分线上，先求出AB中点横坐标得到C的横坐标，再利用勾股定理求出C的纵坐标；②求平移距离：△ABC沿x轴向左平移时，点C纵坐标不变，将纵坐标代入直线解析式求出平移后C的横坐标，横坐标的差就是平移的距离；③计算扫过的面积：线段AC平移扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移距离，高为点C的纵坐标，利用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点C的初始坐标：
已知点$A(2,0)$、$B(12,0)$，AB中点的横坐标为$\frac{2+12}{2}=7$，
∵$AC=BC$，
∴点C在AB的垂直平分线上，即点C的横坐标为7，设$C(7,y)$（$y＞0$）。
由$AC=13$，根据勾股定理得：$\sqrt{(7-2)^2 + y^2}=13$，
整理得：$25+y^2=169$，解得$y=12$（负值舍去），即初始坐标为$C(7,12)$。
2. 求平移的距离：
△ABC沿x轴向左平移时，点C的纵坐标不变，始终为12，
当点C落在直线$y=-x+8$上时，代入$y=12$得：$12=-x+8$，解得$x=-4$，
即平移后点C的坐标为$(-4,12)$，平移的距离为$7 - (-4)=11$个单位长度。
3. 计算线段AC扫过的面积：
线段AC沿x轴向左平移扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底等于平移距离11，底边上的高等于点C的纵坐标12，
∴面积$S=11×12=132$。
【答案】
132
【知识点】
等腰三角形的性质，一次函数的性质，平移的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础综合题，解题核心是先利用等腰三角形性质确定点C坐标，再结合平移的不变性求出平移距离，明确平移扫过的图形形状即可顺利求解，能很好地考查知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
16.如图所示，直线$y_1 = kx + b$经过点$A(-1,-2)$和点$B(-2,0)$，直线$y_2 = 2x$经过点$A$，当$y_1 ＜ y_2$时，$x$的取值范围是
$x ＞ -1$
。答案
16.$x ＞ -1$
解析
【分析】
本题是一次函数相关的不等式求解问题，有两种解题思路：一是先用待定系数法求出直线$y_1$的解析式，再列不等式求解$x$的范围；二是结合两个函数的交点和图像走势，直接观察得到$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，两种方法的核心都是先明确两直线交点A处两个函数的函数值相等。
【解析】
方法一：代数法
1. 求直线$y_1=kx+b$的解析式：
将点$A(-1,-2)$和$B(-2,0)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}-k + b = -2 \\-2k + b = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$k=-2$，将$k=-2$代入$-2k + b = 0$，得$4 + b = 0$，解得$b=-4$，因此$y_1=-2x-4$。
2. 解不等式$y_1＜y_2$：
代入$y_1$和$y_2$的表达式，得：
$-2x - 4 ＜ 2x$
移项得：$-4 ＜ 4x$
两边同时除以4，得$x ＞ -1$。
方法二：图像法
已知直线$y_1$和$y_2$的交点为$A(-1,-2)$，即当$x=-1$时，$y_1=y_2$；
观察函数图像走势，$y_2=2x$是递增的直线，$y_1$是递减的直线，在交点$A$的右侧，直线$y_1$位于$y_2$的下方，即$y_1＜y_2$，因此$x$的取值范围是$x ＞ -1$。
【答案】
$x ＞ -1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题既可以通过代数运算解不等式得到结果，也可以结合函数图像直观判断，考查了一次函数的性质和数形结合的思想，掌握两种方法可灵活处理同类问题。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数相关的不等式求解问题，有两种解题思路：一是先用待定系数法求出直线$y_1$的解析式，再列不等式求解$x$的范围；二是结合两个函数的交点和图像走势，直接观察得到$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，两种方法的核心都是先明确两直线交点A处两个函数的函数值相等。
【解析】
方法一：代数法
1. 求直线$y_1=kx+b$的解析式：
将点$A(-1,-2)$和$B(-2,0)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}-k + b = -2 \\-2k + b = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$k=-2$，将$k=-2$代入$-2k + b = 0$，得$4 + b = 0$，解得$b=-4$，因此$y_1=-2x-4$。
2. 解不等式$y_1＜y_2$：
代入$y_1$和$y_2$的表达式，得：
$-2x - 4 ＜ 2x$
移项得：$-4 ＜ 4x$
两边同时除以4，得$x ＞ -1$。
方法二：图像法
已知直线$y_1$和$y_2$的交点为$A(-1,-2)$，即当$x=-1$时，$y_1=y_2$；
观察函数图像走势，$y_2=2x$是递增的直线，$y_1$是递减的直线，在交点$A$的右侧，直线$y_1$位于$y_2$的下方，即$y_1＜y_2$，因此$x$的取值范围是$x ＞ -1$。
【答案】
$x ＞ -1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题既可以通过代数运算解不等式得到结果，也可以结合函数图像直观判断，考查了一次函数的性质和数形结合的思想，掌握两种方法可灵活处理同类问题。
【难度系数】
0.7
