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三、解答题
17.把下列各式因式分解。
(1)$2m(a - b) - 3n(b - a)$；
(2)$(x - 1) + b^2(1 - x)$。
17.把下列各式因式分解。
(1)$2m(a - b) - 3n(b - a)$；
(2)$(x - 1) + b^2(1 - x)$。
答案
17.(1)原式 = (a - b)(2m + 3n)
(2)原式 = (x - 1)(1 + b)(1 - b)
(2)原式 = (x - 1)(1 + b)(1 - b)
解析
【分析】
这两道因式分解题的核心思路是先找公因式，再判断是否需要继续分解：
1. 第(1)题中，$(a-b)$和$(b-a)$互为相反数，可将$(b-a)$转化为$-(a-b)$，此时两个项有相同公因式$(a-b)$，提取公因式即可完成分解。
2. 第(2)题中，先将$(1-x)$转化为$-(x-1)$，提取公因式$(x-1)$后，剩余因式$1-b^2$符合平方差公式结构，继续用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 先对式子变形，将$(b-a)$改写为$-(a-b)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= 2m(a - b) - 3n×[-(a - b)] \\&=2m(a - b) + 3n(a - b)\end{aligned}$
提取公因式$(a - b)$，得：
$\mathrm{原式}=(a - b)(2m + 3n)$
(2) 先对式子变形，将$(1-x)$改写为$-(x - 1)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= (x - 1) + b^2×[-(x - 1)] \\&=(x - 1) - b^2(x - 1)\end{aligned}$
提取公因式$(x - 1)$，得：
$\mathrm{原式}=(x - 1)(1 - b^2)$
再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$1-b^2$，得：
$\mathrm{原式}=(x - 1)(1 + b)(1 - b)$
【答案】
(1) $(a - b)(2m + 3n)$
(2) $(x - 1)(1 + b)(1 - b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，解题时要注意互为相反数的因式变形时的符号问题，提取公因式后需检查剩余因式是否可以继续分解，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
这两道因式分解题的核心思路是先找公因式，再判断是否需要继续分解：
1. 第(1)题中，$(a-b)$和$(b-a)$互为相反数，可将$(b-a)$转化为$-(a-b)$，此时两个项有相同公因式$(a-b)$，提取公因式即可完成分解。
2. 第(2)题中，先将$(1-x)$转化为$-(x-1)$，提取公因式$(x-1)$后，剩余因式$1-b^2$符合平方差公式结构，继续用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 先对式子变形，将$(b-a)$改写为$-(a-b)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= 2m(a - b) - 3n×[-(a - b)] \\&=2m(a - b) + 3n(a - b)\end{aligned}$
提取公因式$(a - b)$，得：
$\mathrm{原式}=(a - b)(2m + 3n)$
(2) 先对式子变形，将$(1-x)$改写为$-(x - 1)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= (x - 1) + b^2×[-(x - 1)] \\&=(x - 1) - b^2(x - 1)\end{aligned}$
提取公因式$(x - 1)$，得：
$\mathrm{原式}=(x - 1)(1 - b^2)$
再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$1-b^2$，得：
$\mathrm{原式}=(x - 1)(1 + b)(1 - b)$
【答案】
(1) $(a - b)(2m + 3n)$
(2) $(x - 1)(1 + b)(1 - b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，解题时要注意互为相反数的因式变形时的符号问题，提取公因式后需检查剩余因式是否可以继续分解，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
18.解下列不等式,并将其解集表示在数轴上。
(1)$2 - 5x ≥ 8 - 2x$；
(2)$\frac{2x + 1}{3} - 1 ＞ \frac{1 - x}{2}$。
(1)$2 - 5x ≥ 8 - 2x$；
(2)$\frac{2x + 1}{3} - 1 ＞ \frac{1 - x}{2}$。
答案
18.(1)不等式的解集为x≤-2，在数轴上表示如图所示：
(2)不等式的解集为x＞1，在数轴上表示如图所示：
解析
【分析】
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，一般遵循去分母（存在分母时）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，需注意：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向要改变。将解集表示在数轴上时，若解集包含端点用实心点标注，不包含端点用空心圈标注，小于向左延伸、大于向右延伸。
(1)题无分母、括号，直接移项合并同类项，再系数化为1即可，注意系数为负，不等号要变向；(2)题存在分母，先去分母，再按步骤求解即可，系数为正，不等号方向不变。
【解析】
(1) 解不等式$2 - 5x ≥ 8 - 2x$：
第一步，移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得$-5x + 2x ≥ 8 - 2$；
第二步，合并同类项：得$-3x ≥ 6$；
第三步，系数化为1：两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x ≤ -2$。
数轴表示时，在$-2$处标实心点，向左延伸即可。
(2) 解不等式$\frac{2x + 1}{3} - 1 ＞ \frac{1 - x}{2}$：
第一步，去分母：两边同时乘分母的最小公倍数6，得$2(2x+1) - 6 ＞ 3(1-x)$；
第二步，去括号：得$4x + 2 - 6 ＞ 3 - 3x$；
第三步，移项：得$4x + 3x ＞ 3 - 2 + 6$；
第四步，合并同类项：得$7x ＞ 7$；
第五步，系数化为1：两边同时除以7，不等号方向不变，得$x ＞ 1$。
数轴表示时，在$1$处标空心圈，向右延伸即可。
【答案】
(1) 不等式的解集为$x≤-2$，在数轴上表示如图所示：
(2) 不等式的解集为$x＞1$，在数轴上表示如图所示：
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式的性质；解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考查题型，重点需要注意两个易错点：一是系数化为1时，若系数为负要改变不等号方向；二是数轴表示解集时，要正确区分实心点和空心圈的用法，熟练掌握解题步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，一般遵循去分母（存在分母时）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，需注意：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向要改变。将解集表示在数轴上时，若解集包含端点用实心点标注，不包含端点用空心圈标注，小于向左延伸、大于向右延伸。
(1)题无分母、括号，直接移项合并同类项，再系数化为1即可，注意系数为负，不等号要变向；(2)题存在分母，先去分母，再按步骤求解即可，系数为正，不等号方向不变。
【解析】
(1) 解不等式$2 - 5x ≥ 8 - 2x$：
第一步，移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得$-5x + 2x ≥ 8 - 2$；
第二步，合并同类项：得$-3x ≥ 6$；
第三步，系数化为1：两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x ≤ -2$。
数轴表示时，在$-2$处标实心点，向左延伸即可。
(2) 解不等式$\frac{2x + 1}{3} - 1 ＞ \frac{1 - x}{2}$：
第一步，去分母：两边同时乘分母的最小公倍数6，得$2(2x+1) - 6 ＞ 3(1-x)$；
第二步，去括号：得$4x + 2 - 6 ＞ 3 - 3x$；
第三步，移项：得$4x + 3x ＞ 3 - 2 + 6$；
第四步，合并同类项：得$7x ＞ 7$；
第五步，系数化为1：两边同时除以7，不等号方向不变，得$x ＞ 1$。
数轴表示时，在$1$处标空心圈，向右延伸即可。
【答案】
(1) 不等式的解集为$x≤-2$，在数轴上表示如图所示：
(2) 不等式的解集为$x＞1$，在数轴上表示如图所示：
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式的性质；解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考查题型，重点需要注意两个易错点：一是系数化为1时，若系数为负要改变不等号方向；二是数轴表示解集时，要正确区分实心点和空心圈的用法，熟练掌握解题步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
19. 解方程。
(1)$\frac{3 - x}{4 + x} = \frac{1}{2}$；
(2)$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^2 - 1} = 0$。
(1)$\frac{3 - x}{4 + x} = \frac{1}{2}$；
(2)$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^2 - 1} = 0$。
答案
19.(1)$x = \frac{2}{3}$
(2)原分式方程无解
(2)原分式方程无解
解析
【分析】
解分式方程的常规思路是先将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：第一步找各分式分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母；第二步解得到的整式方程；第三步检验，将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0则该解是增根，需舍去，否则是原分式方程的解。本题(1)的最简公分母为$2(4+x)$，(2)先将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$2(4+x)$（隐含条件$4+x≠0$即$x≠-4$），得：
$2(3 - x) = 4 + x$
去括号：$6 - 2x = 4 + x$
移项、合并同类项：$-3x = -2$
系数化为1：$x = \frac{2}{3}$
检验：当$x=\frac{2}{3}$时，$2(4+x)=2×(4+\frac{2}{3})=\frac{28}{3}≠0$，因此$x=\frac{2}{3}$是原方程的解。
(2) 先因式分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（隐含条件$x≠\pm1$），得：
$(x - 1) + 2 = 0$
计算得：$x + 1 = 0$
解得：$x = -1$
检验：当$x=-1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x = \frac{2}{3}$；(2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程解法，增根检验，整式方程运算
【点评】
本题是分式方程的基础考察题型，核心考点是分式方程的求解流程，其中解完方程后检验增根是极易遗漏的易错点，熟练掌握去分母、整式方程求解的方法，牢记检验步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
解分式方程的常规思路是先将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：第一步找各分式分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母；第二步解得到的整式方程；第三步检验，将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0则该解是增根，需舍去，否则是原分式方程的解。本题(1)的最简公分母为$2(4+x)$，(2)先将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$2(4+x)$（隐含条件$4+x≠0$即$x≠-4$），得：
$2(3 - x) = 4 + x$
去括号：$6 - 2x = 4 + x$
移项、合并同类项：$-3x = -2$
系数化为1：$x = \frac{2}{3}$
检验：当$x=\frac{2}{3}$时，$2(4+x)=2×(4+\frac{2}{3})=\frac{28}{3}≠0$，因此$x=\frac{2}{3}$是原方程的解。
(2) 先因式分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（隐含条件$x≠\pm1$），得：
$(x - 1) + 2 = 0$
计算得：$x + 1 = 0$
解得：$x = -1$
检验：当$x=-1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x = \frac{2}{3}$；(2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程解法，增根检验，整式方程运算
【点评】
本题是分式方程的基础考察题型，核心考点是分式方程的求解流程，其中解完方程后检验增根是极易遗漏的易错点，熟练掌握去分母、整式方程求解的方法，牢记检验步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
