20. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD = ∠DBC,∠AED = 90°。
(1)求证: AE // BD；
(2)过点C作CF⊥BD于点F,连接EF,求证:四边形EFCD是平行四边形。

20.证明:(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC,
∴ ∠ADB = ∠DBC。
∵ ∠DBC = ∠EAD,
∴ ∠EAD = ∠ADB,
∴ AE//BD。
(2)
∵ AE//BD, ∠AED = 90°,
∴ ∠EDF = 90°。
∵ CF⊥BD,
∴ ∠CFD=90°,
∴ ∠CFD = ∠EDF,
∴ ED//CF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC。
∵ ∠EAD = ∠DBC, ∠AED = ∠CFB = 90°,
∴ △AED≌△BFC(AAS),
∴ ED = CF,
∴ 四边形EFCD是平行四边形。

【分析】
（1）要证明AE//BD，可通过判定内错角相等推导。首先利用平行四边形对边平行的性质得到AD//BC，推出内错角∠ADB=∠DBC，再结合已知∠EAD=∠DBC，等量代换得到∠EAD=∠ADB，即可由内错角相等证明两直线平行。
（2）要证明四边形EFCD是平行四边形，可选择证明一组对边平行且相等。首先由AE//BD、∠AED=90°可得∠EDF=90°，结合CF⊥BD可得∠CFD=90°，由此推出ED//CF；再通过AAS证明△AED≌△BFC，得到ED=CF，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC。
∵ ∠DBC = ∠EAD，
∴ ∠EAD = ∠ADB，
∴ AE//BD。
(2)
∵ AE//BD，∠AED = 90°，
∴ ∠EDF = 90°。
∵ CF⊥BD，
∴ ∠CFD=90°，
∴ ∠CFD = ∠EDF，
∴ ED//CF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC。
∵ ∠EAD = ∠DBC，∠AED = ∠CFB = 90°，
∴ △AED≌△BFC(AAS)，
∴ ED = CF，
∴ 四边形EFCD是平行四边形。
【答案】
(1)AE//BD得证；
(2)四边形EFCD是平行四边形得证。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线的判定；全等三角形的判定（AAS）
【点评】
本题是几何基础证明题，综合考察了平面几何中常见的边角关系推导、图形性质与判定的应用，解题时需结合已知条件合理转化角、边的关系，选择对应的判定定理推导即可，属于对几何核心基础知识的常规考察题型。
【难度系数】
0.7

21.为了迎接国庆长假的购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋。其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
| | 甲 | 乙 |
| --- | --- | --- |
| 进价(元/双) | | $ m - 20 $ |
| 售价(元/双) | 240 | 160 |
已知:用3 000元购进甲种运动鞋的数量与用2 400元购进乙种运动鞋的数量相同。
(1)求$ m $的值;
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋(共200双)的总利润(利润=售价-进价)不少于21 700元,且不超过22 300元,问该专卖店有几种进货方案;(假设购进的运动鞋能全部销售完)
(3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠$ a $(50 ＜ a ＜ 70)元出售,乙种运动鞋价格不变。那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?

21.解:(1)$m = 100$
(2)共有11种进货方案
(3)设总利润为W元,则$W = (240 - 100 - a)x + (160 - 80)·(200 - x) = (60 - a)x + 16 000·(95≤x≤105)$,①当$50 ＜ a ＜ 60$时,$60 - a ＞ 0$,W随x的增大而增大,所以,当$x = 105$时,W有最大值,此时,应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双;②当$a = 60$时,$60 - a = 0$,$W = 16 000$,此时(2)中所有方案获利都一样;③当$60 ＜ a ＜ 70$时,$60 - a ＜ 0$,W随x的增大而减小,所以,当$x = 95$时,W有最大值,此时,应购进甲种运动鞋95双,购进乙种运动鞋105双。

【分析】
(1) 根据“数量=总价÷单价”分别表示出3000元购进甲鞋的数量、2400元购进乙鞋的数量，结合两者数量相等列分式方程，求解后检验即可得到m的值；
(2) 设购进甲种运动鞋x双，则乙种为(200-x)双，先计算单双甲、乙鞋的利润，再根据总利润的范围列一元一次不等式组，求解得到x的取值范围，结合x为正整数即可得到进货方案的数量；
(3) 根据优惠后的利润规则，列出总利润W关于x的一次函数表达式，再根据a的取值范围分情况讨论一次项系数的正负，结合一次函数的增减性即可确定不同情况下利润最大的进货方案。
【解析】
(1) 依题意可列方程：
$\frac{3000}{m}=\frac{2400}{m-20}$
交叉相乘得：$3000(m-20)=2400m$
展开整理得：$600m=60000$
解得：$m=100$
检验：当$m=100$时，$m(m-20)=8000≠0$，因此$m=100$是原分式方程的解，符合题意。
(2) 设购进甲种运动鞋$x$双，则购进乙种运动鞋$(200-x)$双。
甲单双利润为$240-100=140$元，乙单双利润为$160-(100-20)=80$元，根据总利润范围列不等式组：
$\begin{cases}140x + 80(200-x)≥21700 \\140x + 80(200-x)≤22300 \end{cases}$
化简得$\begin{cases}x≥95 \\x≤105 \end{cases}$，即$95≤ x≤105$。
由于$x$为正整数，$x$可取95、96、…、105，共11种取值，因此共有11种进货方案。
(3) 设总利润为$W$元，可得：
$W=(240-100-a)x + 80(200-x)=(60-a)x + 16000 \quad (95≤ x≤105)$
分三种情况讨论：
①当$50＜a＜60$时，$60-a＞0$，$W$随$x$的增大而增大，因此当$x=105$时$W$最大，此时购进甲种运动鞋105双，乙种运动鞋95双；
②当$a=60$时，$60-a=0$，$W=16000$，所有进货方案获利相同；
③当$60＜a＜70$时，$60-a＜0$，$W$随$x$的增大而减小，因此当$x=95$时$W$最大，此时购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双。
【答案】
(1)$m = 100$
(2)共有11种进货方案
(3)①当$50 ＜ a ＜ 60$时，购进甲种运动鞋105双，乙种运动鞋95双获利最大；②当$a = 60$时，所有进货方案获利相同；③当$60 ＜ a ＜ 70$时，购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双获利最大。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【点评】
本题是实际应用类综合题，结合进货销售场景考查分式方程、不等式组和一次函数的相关知识，需要熟练掌握方程求解、不等式组解集确定以及一次函数增减性的判断方法，第三问需要结合参数范围分类讨论，对逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6