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1. 等边三角形的边长为6,则它的面积为 （
A.$9\sqrt{3}$
B.18
C.36
D.$18\sqrt{3}$
A
）A.$9\sqrt{3}$
B.18
C.36
D.$18\sqrt{3}$
答案
1.A
解析
【分析】
要求等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为底×高÷2，本题已知等边三角形的边长为6，可将边长作为底，只需要求出对应边上的高即可算出面积。由于等边三角形具有三线合一的性质，过顶点作对边的高，可将等边三角形分为两个全等的直角三角形，再结合勾股定理即可求出高的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设等边三角形的边长为$a=6$，过等边三角形的一个顶点作对边的高：
1. 根据等边三角形三线合一的性质，高将对边分为长度相等的两段，每段长度为$\frac{a}{2}=6÷2=3$；
2. 在高、边长的一半、等边三角形的边构成的直角三角形中，由勾股定理可得高$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
3. 代入三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等边三角形性质与勾股定理的结合应用，解题的关键是利用等边三角形三线合一的性质作出高，将等边三角形面积问题转化为求直角三角形边长的问题，需熟练掌握相关性质及公式。
【难度系数】
0.8
要求等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为底×高÷2，本题已知等边三角形的边长为6，可将边长作为底，只需要求出对应边上的高即可算出面积。由于等边三角形具有三线合一的性质，过顶点作对边的高，可将等边三角形分为两个全等的直角三角形，再结合勾股定理即可求出高的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设等边三角形的边长为$a=6$，过等边三角形的一个顶点作对边的高：
1. 根据等边三角形三线合一的性质，高将对边分为长度相等的两段，每段长度为$\frac{a}{2}=6÷2=3$；
2. 在高、边长的一半、等边三角形的边构成的直角三角形中，由勾股定理可得高$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
3. 代入三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等边三角形性质与勾股定理的结合应用，解题的关键是利用等边三角形三线合一的性质作出高，将等边三角形面积问题转化为求直角三角形边长的问题，需熟练掌握相关性质及公式。
【难度系数】
0.8
2. 不等式$2x≤6$的解集是（
A.$x≤3$
B.$x≥3$
C.$x＜3$
D.$x＞3$
A
）A.$x≤3$
B.$x≥3$
C.$x＜3$
D.$x＞3$
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式的求解，解题核心是正确运用不等式的基本性质将未知数系数化为1。由于不等式两边同时除以的是正数2，不等号方向不需要改变，通过简单计算即可得到解集，再匹配对应选项即可。
【解析】
求解不等式$2x ≤ 6$：
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变，将不等式两边同时除以2，可得：
$x ≤ 3$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元一次不等式的基础求解能力，解题时需注意区分不等式两边同乘除正数和负数时的不等号方向变化规则，避免因记错性质出错。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次不等式的求解，解题核心是正确运用不等式的基本性质将未知数系数化为1。由于不等式两边同时除以的是正数2，不等号方向不需要改变，通过简单计算即可得到解集，再匹配对应选项即可。
【解析】
求解不等式$2x ≤ 6$：
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变，将不等式两边同时除以2，可得：
$x ≤ 3$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元一次不等式的基础求解能力，解题时需注意区分不等式两边同乘除正数和负数时的不等号方向变化规则，避免因记错性质出错。
【难度系数】
0.9
3.若$x ＜ y$,则下列结论不一定成立的是 (
A.$x - 3 ＜ y - 3$
B.$-5x ＞ -5y$
C.$x^2 ＞ y^2$
D.$-\frac{x}{6} ＞ -\frac{y}{6}$
C
)A.$x - 3 ＜ y - 3$
B.$-5x ＞ -5y$
C.$x^2 ＞ y^2$
D.$-\frac{x}{6} ＞ -\frac{y}{6}$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路是逐一依据不等式的三条基本性质判断每个选项是否一定成立，对于不确定的选项可通过举反例验证是否存在不成立的情况，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
首先回顾不等式的基本性质：
1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
逐一分析选项：
A选项：$x＜y$，两边同时减3，根据性质1，不等号方向不变，可得$x-3 ＜ y-3$，该结论一定成立，不符合题意。
B选项：$x＜y$，两边同时乘$-5$，根据性质3，不等号方向改变，可得$-5x ＞ -5y$，该结论一定成立，不符合题意。
C选项：举反例验证：当$x=1$，$y=2$时，满足$x＜y$，此时$x^2=1$，$y^2=4$，$x^2 ＜ y^2$，说明该结论不一定成立，符合题意。
D选项：$x＜y$，两边同时除以$-6$，根据性质3，不等号方向改变，可得$-\frac{x}{6} ＞ -\frac{y}{6}$，该结论一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意乘除负数时不等号方向需要改变，对于“不一定成立”类的选择题，举反例是非常高效的验证方法。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路是逐一依据不等式的三条基本性质判断每个选项是否一定成立，对于不确定的选项可通过举反例验证是否存在不成立的情况，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
首先回顾不等式的基本性质：
1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
逐一分析选项：
A选项：$x＜y$，两边同时减3，根据性质1，不等号方向不变，可得$x-3 ＜ y-3$，该结论一定成立，不符合题意。
B选项：$x＜y$，两边同时乘$-5$，根据性质3，不等号方向改变，可得$-5x ＞ -5y$，该结论一定成立，不符合题意。
C选项：举反例验证：当$x=1$，$y=2$时，满足$x＜y$，此时$x^2=1$，$y^2=4$，$x^2 ＜ y^2$，说明该结论不一定成立，符合题意。
D选项：$x＜y$，两边同时除以$-6$，根据性质3，不等号方向改变，可得$-\frac{x}{6} ＞ -\frac{y}{6}$，该结论一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意乘除负数时不等号方向需要改变，对于“不一定成立”类的选择题，举反例是非常高效的验证方法。
【难度系数】
0.8
4. 下列图形中,是中心对称图形的是（
A
）答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先明确中心对称图形的判定依据：在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。接下来依次对四个选项的图形进行验证，判断每个图形绕中心旋转180°后是否与原图形重合，即可选出正确答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形，逐一判断：
A选项：图形绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合题意；
B选项：图形绕中心旋转180°后，五角星的角的位置与原图形不匹配，无法重合，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项：图形绕中心旋转180°后，正五边形的顶点位置与原图形不匹配，无法重合，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：图形绕中心旋转180°后，内部的小半圆和小圆位置与原图形不匹配，无法重合，不是中心对称图形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查中心对称图形的识别，解题的关键是牢记中心对称图形的定义，熟练掌握旋转180°验证法判断图形是否为中心对称图形，注意不要和轴对称图形的判定混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确中心对称图形的判定依据：在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。接下来依次对四个选项的图形进行验证，判断每个图形绕中心旋转180°后是否与原图形重合，即可选出正确答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形，逐一判断：
A选项：图形绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合题意；
B选项：图形绕中心旋转180°后，五角星的角的位置与原图形不匹配，无法重合，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项：图形绕中心旋转180°后，正五边形的顶点位置与原图形不匹配，无法重合，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：图形绕中心旋转180°后，内部的小半圆和小圆位置与原图形不匹配，无法重合，不是中心对称图形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查中心对称图形的识别，解题的关键是牢记中心对称图形的定义，熟练掌握旋转180°验证法判断图形是否为中心对称图形，注意不要和轴对称图形的判定混淆。
【难度系数】
0.8
5. 对于算式$2024^2 - 2024$，下列说法不正确的是（
A.能被2023整除
B.能被2024整除
C.能被2025整除
D.不能被2022整除
C
）A.能被2023整除
B.能被2024整除
C.能被2025整除
D.不能被2022整除
答案
5.C
解析
【分析】
要判断算式$2024^2 - 2024$的整除性，首先可以利用提公因式法对原式进行因式分解，将其转化为几个整数乘积的形式，乘积中的每个整数都是原式的因数，据此即可逐一判断各选项的正误。
【解析】
对原式提取公因式2024进行因式分解：
$2024^2 - 2024 = 2024×(2024 - 1) = 2024×2023$
由此可知原式的因数为2023和2024：
A选项：原式含有因数2023，能被2023整除，说法正确；
B选项：原式含有因数2024，能被2024整除，说法正确；
C选项：原式的因数只有2023和2024，不含2025，不能被2025整除，说法错误；
D选项：原式的因数只有2023和2024，不含2022，不能被2022整除，说法正确。
题目要求选择说法不正确的，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 整除的判定
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题核心是通过提取公因式将多项式转化为乘积形式，再结合因数的性质判断整除性，属于基础题型，熟练掌握提公因式法是解题关键。
【难度系数】
0.8
要判断算式$2024^2 - 2024$的整除性，首先可以利用提公因式法对原式进行因式分解，将其转化为几个整数乘积的形式，乘积中的每个整数都是原式的因数，据此即可逐一判断各选项的正误。
【解析】
对原式提取公因式2024进行因式分解：
$2024^2 - 2024 = 2024×(2024 - 1) = 2024×2023$
由此可知原式的因数为2023和2024：
A选项：原式含有因数2023，能被2023整除，说法正确；
B选项：原式含有因数2024，能被2024整除，说法正确；
C选项：原式的因数只有2023和2024，不含2025，不能被2025整除，说法错误；
D选项：原式的因数只有2023和2024，不含2022，不能被2022整除，说法正确。
题目要求选择说法不正确的，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 整除的判定
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题核心是通过提取公因式将多项式转化为乘积形式，再结合因数的性质判断整除性，属于基础题型，熟练掌握提公因式法是解题关键。
【难度系数】
0.8
6. 下列多项式中,不能因式分解的是 (
A.$ab - a$
B.$a^2 - 9$
C.$a^2 + 2a + 5$
D.$4a^2 + 4a + 1$
C
)A.$ab - a$
B.$a^2 - 9$
C.$a^2 + 2a + 5$
D.$4a^2 + 4a + 1$
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查多项式能否因式分解的判断，解题时结合所学的提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），逐一分析每个选项，能分解的排除，最终选出不能分解的选项。具体思考路径：先看每个选项有没有公因式，有就提公因式；没有公因式再看是否符合平方差公式（两项，均为平方项，符号相反）或者完全平方公式（三项，首平方、尾平方，首尾两倍在中央）的结构特征，符合就可以用公式分解，都不符合的就是不能因式分解的多项式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$ab - a = a(b - 1)$，可通过提公因式法分解，不符合题意；
B选项：$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a + 3)(a - 3)$，可通过平方差公式分解，不符合题意；
C选项：$a^2 + 2a + 5$，没有公因式，也不符合平方差、完全平方公式的结构特征，变形可得$a^2 + 2a + 1 + 4 = (a+1)^2 + 4$，无法分解为整式乘积的形式，符合题意；
D选项：$4a^2 + 4a + 1 = (2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2 = (2a + 1)^2$，可通过完全平方公式分解，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解常用方法的熟练运用，只要准确掌握提公因式、平方差公式、完全平方公式的结构特点，即可快速判断得出结果。
【难度系数】
0.85
本题考查多项式能否因式分解的判断，解题时结合所学的提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），逐一分析每个选项，能分解的排除，最终选出不能分解的选项。具体思考路径：先看每个选项有没有公因式，有就提公因式；没有公因式再看是否符合平方差公式（两项，均为平方项，符号相反）或者完全平方公式（三项，首平方、尾平方，首尾两倍在中央）的结构特征，符合就可以用公式分解，都不符合的就是不能因式分解的多项式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$ab - a = a(b - 1)$，可通过提公因式法分解，不符合题意；
B选项：$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a + 3)(a - 3)$，可通过平方差公式分解，不符合题意；
C选项：$a^2 + 2a + 5$，没有公因式，也不符合平方差、完全平方公式的结构特征，变形可得$a^2 + 2a + 1 + 4 = (a+1)^2 + 4$，无法分解为整式乘积的形式，符合题意；
D选项：$4a^2 + 4a + 1 = (2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2 = (2a + 1)^2$，可通过完全平方公式分解，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解常用方法的熟练运用，只要准确掌握提公因式、平方差公式、完全平方公式的结构特点，即可快速判断得出结果。
【难度系数】
0.85
7. 如果把分式$\frac{3xy}{x-y}$中的$x$和$y$都扩大为原来的2倍，那么分式的值（
A.不变
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.扩大为原来的2倍
D.扩大为原来的4倍
C
）A.不变
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.扩大为原来的2倍
D.扩大为原来的4倍
答案
7.C
解析
【分析】
解决这道题的思路是：首先按照题目要求，将原分式中的x、y分别替换为扩大2倍后的2x、2y，得到新的分式；然后根据分式的运算规则化简新分式，再将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
将x、y都扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入得：
新分式 = $\frac{3 · 2x · 2y}{2x - 2y}$
先计算分子：$3 · 2x · 2y = 12xy$
再整理分母提取公因式：$2x - 2y = 2(x - y)$
因此新分式化简为：$\frac{12xy}{2(x - y)} = \frac{6xy}{x - y}$
对比原分式$\frac{3xy}{x - y}$，可得$\frac{6xy}{x - y} = 2 × \frac{3xy}{x - y}$，即分式的值扩大为原来的2倍。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，核心是准确代入扩大后的变量并正确化简，只要掌握分式的约分运算即可快速解题，不易出错。
【难度系数】
0.8
解决这道题的思路是：首先按照题目要求，将原分式中的x、y分别替换为扩大2倍后的2x、2y，得到新的分式；然后根据分式的运算规则化简新分式，再将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
将x、y都扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入得：
新分式 = $\frac{3 · 2x · 2y}{2x - 2y}$
先计算分子：$3 · 2x · 2y = 12xy$
再整理分母提取公因式：$2x - 2y = 2(x - y)$
因此新分式化简为：$\frac{12xy}{2(x - y)} = \frac{6xy}{x - y}$
对比原分式$\frac{3xy}{x - y}$，可得$\frac{6xy}{x - y} = 2 × \frac{3xy}{x - y}$，即分式的值扩大为原来的2倍。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，核心是准确代入扩大后的变量并正确化简，只要掌握分式的约分运算即可快速解题，不易出错。
【难度系数】
0.8
8.若$x=3$是分式方程$\frac{a-2}{x}-\frac{1}{x-2}=0$的根，则$a$的值是（
A.5
B.-5
C.3
D.-3
A
）A.5
B.-5
C.3
D.-3
答案
8.A
解析
【分析】
本题已知x=3是分式方程的根，根据方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此我们可以直接将x=3代入原分式方程，得到一个只含有未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出a的值。
【解析】
∵x=3是分式方程$\frac{a-2}{x}-\frac{1}{x-2}=0$的根
∴将x=3代入方程，等式成立，代入得：
$\frac{a-2}{3}-\frac{1}{3-2}=0$
先计算分母：$3-2=1$，因此$\frac{1}{1}=1$，方程化简为：
$\frac{a-2}{3}-1=0$
移项得：$\frac{a-2}{3}=1$
两边同时乘3得：$a-2=3$
解得：$a=5$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的根的概念；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程根的含义，将已知的根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
本题已知x=3是分式方程的根，根据方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此我们可以直接将x=3代入原分式方程，得到一个只含有未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出a的值。
【解析】
∵x=3是分式方程$\frac{a-2}{x}-\frac{1}{x-2}=0$的根
∴将x=3代入方程，等式成立，代入得：
$\frac{a-2}{3}-\frac{1}{3-2}=0$
先计算分母：$3-2=1$，因此$\frac{1}{1}=1$，方程化简为：
$\frac{a-2}{3}-1=0$
移项得：$\frac{a-2}{3}=1$
两边同时乘3得：$a-2=3$
解得：$a=5$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的根的概念；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程根的含义，将已知的根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
9.如图所示，$□ ABCD$中，$∠ A$比$∠ D$大$40°$，则$∠ C$等于（
A.$70°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
C
）A.$70°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形角的相关性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。首先结合邻角互补得到∠A与∠D的和为180°，再结合已知∠A比∠D大40°的条件，即可求出∠A的度数，最后根据对角相等的性质得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，∠A=∠C
∴∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠A - ∠D = 40°
将两个等式相加可得：2∠A = 220°
解得∠A=110°
∴∠C=∠A=110°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握平行四边形角的性质，结合角度的和差关系建立等式求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形角的相关性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。首先结合邻角互补得到∠A与∠D的和为180°，再结合已知∠A比∠D大40°的条件，即可求出∠A的度数，最后根据对角相等的性质得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，∠A=∠C
∴∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠A - ∠D = 40°
将两个等式相加可得：2∠A = 220°
解得∠A=110°
∴∠C=∠A=110°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握平行四边形角的性质，结合角度的和差关系建立等式求解即可。
【难度系数】
0.8
