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6.已知三条不同的直线$a,b,c$在同一平面内，下列四个命题：①如果$a// b$，$a⊥ c$，那么$b⊥ c$；②如果$b// a$，$c// a$，那么$b// c$；③如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，那么$b⊥ c$；④如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，那么$b// c$。其中是真命题的是（
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①②③④
C
）A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①②③④
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查同一平面内直线平行与垂直的相关性质，解题时可逐个分析四个命题，结合所学的平行、垂直的判定及性质判断每个命题的真假，最终选出所有真命题对应的选项即可。
【解析】
我们逐个判断四个命题的真假：
①已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：一条直线垂直于一组平行线中的一条，必定垂直于另一条，可得$b⊥ c$，故①是真命题；
②已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故②是真命题；
③已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故可得$b// c$，而非$b⊥ c$，故③是假命题；
④结合③的分析，$b⊥ a$，$c⊥ a$时$b// c$，故④是真命题。
综上，真命题为①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生熟练掌握同一平面内直线平行、垂直的相关性质，注意区分平行的传递性和垂直相关结论的差异，避免混淆命题③和④的对错。
【难度系数】
0.8
本题考查同一平面内直线平行与垂直的相关性质，解题时可逐个分析四个命题，结合所学的平行、垂直的判定及性质判断每个命题的真假，最终选出所有真命题对应的选项即可。
【解析】
我们逐个判断四个命题的真假：
①已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：一条直线垂直于一组平行线中的一条，必定垂直于另一条，可得$b⊥ c$，故①是真命题；
②已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故②是真命题；
③已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故可得$b// c$，而非$b⊥ c$，故③是假命题；
④结合③的分析，$b⊥ a$，$c⊥ a$时$b// c$，故④是真命题。
综上，真命题为①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生熟练掌握同一平面内直线平行、垂直的相关性质，注意区分平行的传递性和垂直相关结论的差异，避免混淆命题③和④的对错。
【难度系数】
0.8
7.如图,将梯形ABCD沿AB向下平移到梯形A'B'C'D'的位置,其中AD//BC,∠A＝90°,C'D'交BC于点M.若BM＝5 cm,CM＝1 cm,BB'＝2 cm,则图中阴影部分的面积为
一练一得
平移前后图形的形状和大小完全相同,求平移后图形的面积时,若无法直接求出面积,可考虑利用转化思想,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解.
11
cm².一练一得
平移前后图形的形状和大小完全相同,求平移后图形的面积时,若无法直接求出面积,可考虑利用转化思想,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解.
答案
7.11
解析
【分析】
首先利用平移的性质，平移前后图形的形状、大小完全一致，即面积相等。观察图形可知，阴影部分面积等于原梯形ABCD面积减去中间空白梯形A'D'MB的面积，而平移后得到的梯形A'B'C'D'与原梯形ABCD面积相等，因此梯形A'B'C'D'减去中间空白梯形A'D'MB的面积（即下方梯形BB'MC'的面积）就等于阴影部分面积，将不规则的阴影面积转化为规则梯形面积求解即可，最后找到对应梯形的上底、下底和高代入公式计算。
【解析】
解：
∵梯形ABCD沿AB向下平移得到梯形A'B'C'D'
∴$S_{梯形ABCD}=S_{梯形A'B'C'D'}$，且$BC=B'C'$
已知$BM=5\mathrm{cm}$，$CM=1\mathrm{cm}$，则$BC=BM+CM=5+1=6\mathrm{cm}$，即$B'C'=6\mathrm{cm}$
又$S_{阴影}=S_{梯形ABCD}-S_{梯形A'D'MB}$，$S_{梯形BB'MC'}=S_{梯形A'B'C'D'}-S_{梯形A'D'MB}$
∴$S_{阴影}=S_{梯形BB'MC'}$
梯形BB'MC'的上底$BM=5\mathrm{cm}$，下底$B'C'=6\mathrm{cm}$，高$BB'=2\mathrm{cm}$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(5+6)×2=11\mathrm{cm}^2$
【答案】
11
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，转化法求面积
【点评】
本题核心是利用平移前后图形面积相等的性质，将无法直接计算的不规则阴影面积转化为可直接计算的规则梯形面积，是几何中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
首先利用平移的性质，平移前后图形的形状、大小完全一致，即面积相等。观察图形可知，阴影部分面积等于原梯形ABCD面积减去中间空白梯形A'D'MB的面积，而平移后得到的梯形A'B'C'D'与原梯形ABCD面积相等，因此梯形A'B'C'D'减去中间空白梯形A'D'MB的面积（即下方梯形BB'MC'的面积）就等于阴影部分面积，将不规则的阴影面积转化为规则梯形面积求解即可，最后找到对应梯形的上底、下底和高代入公式计算。
【解析】
解：
∵梯形ABCD沿AB向下平移得到梯形A'B'C'D'
∴$S_{梯形ABCD}=S_{梯形A'B'C'D'}$，且$BC=B'C'$
已知$BM=5\mathrm{cm}$，$CM=1\mathrm{cm}$，则$BC=BM+CM=5+1=6\mathrm{cm}$，即$B'C'=6\mathrm{cm}$
又$S_{阴影}=S_{梯形ABCD}-S_{梯形A'D'MB}$，$S_{梯形BB'MC'}=S_{梯形A'B'C'D'}-S_{梯形A'D'MB}$
∴$S_{阴影}=S_{梯形BB'MC'}$
梯形BB'MC'的上底$BM=5\mathrm{cm}$，下底$B'C'=6\mathrm{cm}$，高$BB'=2\mathrm{cm}$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(5+6)×2=11\mathrm{cm}^2$
【答案】
11
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，转化法求面积
【点评】
本题核心是利用平移前后图形面积相等的性质，将无法直接计算的不规则阴影面积转化为可直接计算的规则梯形面积，是几何中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
8.如图是边长为1的小正方形拼成的网格,将三角形ABC经过平移得到三角形$A_1B_1C_1$,图中标出了点B的对应点$B_1$.利用网格和直尺,解答下列各题:
(1)补全三角形$A_1B_1C_1$;
(2)连接$AA_1$,$BB_1$,请写出$AA_1$与$BB_1$的位置关系与数量关系;
(3)三角形$A_1B_1C_1$的面积为
(1)补全三角形$A_1B_1C_1$;
(2)连接$AA_1$,$BB_1$,请写出$AA_1$与$BB_1$的位置关系与数量关系;
(3)三角形$A_1B_1C_1$的面积为
8
.答案
8.解:(1)补全三角形 $A_1B_1C_1$ 如图所示.
(2)$AA_1 // BB_1$,$AA_1=BB_1$.
(3)8
解析
【分析】
(1) 补全平移后的三角形，首先要明确平移的规则：平移时图形上所有点的平移方向和距离都相同。先观察已知对应点B到$B_1$的平移方向和格数，再将A、C两点按照相同的规则平移得到$A_1$、$C_1$，最后顺次连接三个点即可。
(2) 关于对应点连线的关系，回忆平移的性质：平移后对应点的连线互相平行（或共线）且长度相等，本题中$AA_1$和$BB_1$是对应点连线，直接根据性质即可得出二者的关系。
(3) 求平移后三角形的面积，因为平移不改变图形的大小和形状，所以只需计算原三角形ABC的面积即可。网格中求三角形面积可直接找合适的底和对应的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 首先确定平移规律：观察点B和对应点$B_1$的位置，可得点B向左平移5格，再向下平移2格得到$B_1$。将点A、C按照同样的规律，分别向左平移5格、向下平移2格，得到对应点$A_1$、$C_1$，再顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可补全三角形$A_1B_1C_1$。
(2) 根据平移的性质：平移前后，对应点的连线互相平行且相等，因此$AA_1$与$BB_1$的位置关系是平行，数量关系是相等。
(3) 因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。观察$△ ABC$，边BC为竖直方向的线段，长度为4个单位，点A到BC所在直线的水平距离为4个单位，即BC边上的高为4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$，因此三角形$A_1B_1C_1$的面积为8。
【答案】
(1) 补全三角形 $A_1B_1C_1$ 如图所示.
(2)$AA_1 // BB_1$,$AA_1=BB_1$.
(3)8
【知识点】
平移的性质，网格作图，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平移的作图、性质应用以及网格中三角形面积的计算，注重对基础概念和基础方法的考查，掌握平移规律和网格求面积的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 补全平移后的三角形，首先要明确平移的规则：平移时图形上所有点的平移方向和距离都相同。先观察已知对应点B到$B_1$的平移方向和格数，再将A、C两点按照相同的规则平移得到$A_1$、$C_1$，最后顺次连接三个点即可。
(2) 关于对应点连线的关系，回忆平移的性质：平移后对应点的连线互相平行（或共线）且长度相等，本题中$AA_1$和$BB_1$是对应点连线，直接根据性质即可得出二者的关系。
(3) 求平移后三角形的面积，因为平移不改变图形的大小和形状，所以只需计算原三角形ABC的面积即可。网格中求三角形面积可直接找合适的底和对应的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 首先确定平移规律：观察点B和对应点$B_1$的位置，可得点B向左平移5格，再向下平移2格得到$B_1$。将点A、C按照同样的规律，分别向左平移5格、向下平移2格，得到对应点$A_1$、$C_1$，再顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可补全三角形$A_1B_1C_1$。
(2) 根据平移的性质：平移前后，对应点的连线互相平行且相等，因此$AA_1$与$BB_1$的位置关系是平行，数量关系是相等。
(3) 因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。观察$△ ABC$，边BC为竖直方向的线段，长度为4个单位，点A到BC所在直线的水平距离为4个单位，即BC边上的高为4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$，因此三角形$A_1B_1C_1$的面积为8。
【答案】
(1) 补全三角形 $A_1B_1C_1$ 如图所示.
(2)$AA_1 // BB_1$,$AA_1=BB_1$.
(3)8
【知识点】
平移的性质，网格作图，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平移的作图、性质应用以及网格中三角形面积的计算，注重对基础概念和基础方法的考查，掌握平移规律和网格求面积的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
数学文化赏阅廊
钥匙复制原理
1.观察钥匙复制机复制钥匙的过程，你能说出复制的原理吗？
2.根据你所发现的复制钥匙的原理，在图中的左边画出与右边钥匙的形状和大小相同的图形。
在工厂里，靠模车床加工特殊形状的工件时，也是根据上述原理来完成的。
月日 星期 天气
[适配教材版本:人教版、北师大版、湘教版]
钥匙复制原理
1.观察钥匙复制机复制钥匙的过程，你能说出复制的原理吗？
2.根据你所发现的复制钥匙的原理，在图中的左边画出与右边钥匙的形状和大小相同的图形。
在工厂里，靠模车床加工特殊形状的工件时，也是根据上述原理来完成的。
月日 星期 天气
[适配教材版本:人教版、北师大版、湘教版]
答案
解：
1. 钥匙复制机工作时，靠尺紧贴原钥匙的轮廓同步移动，刀片同步对空白钥匙坯进行切削，最终得到的新钥匙和原钥匙的形状、大小完全相同，二者是全等图形，该复制过程利用了全等图形的性质，保证加工得到的新图形可以和原钥匙完全重合。
2. 作图步骤：
① 先标记出右侧钥匙的所有特征点，包括端点、轮廓拐点、内部小圆的圆心等；
② 将所有特征点整体向左平移对应格数，在左侧的空白网格区域得到全部对应的特征点；
③ 按照原钥匙的轮廓顺序，依次连接对应点，补全所有线段、外轮廓曲线以及内部的圆形图案，最终得到的图形就和右侧钥匙的形状、大小完全相同。
1. 钥匙复制机工作时，靠尺紧贴原钥匙的轮廓同步移动，刀片同步对空白钥匙坯进行切削，最终得到的新钥匙和原钥匙的形状、大小完全相同，二者是全等图形，该复制过程利用了全等图形的性质，保证加工得到的新图形可以和原钥匙完全重合。
2. 作图步骤：
① 先标记出右侧钥匙的所有特征点，包括端点、轮廓拐点、内部小圆的圆心等；
② 将所有特征点整体向左平移对应格数，在左侧的空白网格区域得到全部对应的特征点；
③ 按照原钥匙的轮廓顺序，依次连接对应点，补全所有线段、外轮廓曲线以及内部的圆形图案，最终得到的图形就和右侧钥匙的形状、大小完全相同。
解析
【分析】
这道题结合生活中钥匙复制的实际场景，考查全等图形相关知识与平移作图能力。思考时：1. 解决原理问题，首先明确复制后的钥匙需要和原钥匙完全重合才能正常使用，对应数学中全等图形的性质，由此梳理复制过程的核心逻辑；2. 解决作图问题，要得到和原钥匙形状大小完全相同的图形，可利用平移不改变图形形状、大小的特点，通过“找点-平移点-连点成形”的步骤完成作图，避免直接画轮廓出现偏差。
【解析】
1. 钥匙复制机工作时，靠尺紧贴原钥匙的轮廓同步移动，刀片同步对空白钥匙坯进行切削，最终得到的新钥匙和原钥匙的形状、大小完全相同，二者是全等图形，该复制过程利用了全等图形的性质，保证加工得到的新图形可以和原钥匙完全重合。
2. 作图按照以下步骤进行：
① 先标记出右侧钥匙的所有特征点，包括端点、轮廓拐点、内部小圆的圆心等；
② 将所有特征点整体向左平移对应格数，在左侧的空白网格区域得到全部对应的特征点；
③ 按照原钥匙的轮廓顺序，依次连接对应点，补全所有线段、外轮廓曲线以及内部的圆形图案，最终得到的图形就和右侧钥匙的形状、大小完全相同。
【答案】
1. 钥匙复制机工作时，靠尺紧贴原钥匙的轮廓同步移动，刀片同步对空白钥匙坯进行切削，最终得到的新钥匙和原钥匙的形状、大小完全相同，二者是全等图形，该复制过程利用了全等图形的性质，保证加工得到的新图形可以和原钥匙完全重合。
2. 作图步骤：
① 先标记出右侧钥匙的所有特征点，包括端点、轮廓拐点、内部小圆的圆心等；
② 将所有特征点整体向左平移对应格数，在左侧的空白网格区域得到全部对应的特征点；
③ 按照原钥匙的轮廓顺序，依次连接对应点，补全所有线段、外轮廓曲线以及内部的圆形图案，最终得到的图形就和右侧钥匙的形状、大小完全相同。
【知识点】
全等图形的性质、平移作图
【点评】
本题紧密联系生活实际，将数学知识与生活应用相结合，既考查了对全等图形相关知识的理解，又锻炼了动手作图的能力，能帮助大家体会数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
这道题结合生活中钥匙复制的实际场景，考查全等图形相关知识与平移作图能力。思考时：1. 解决原理问题，首先明确复制后的钥匙需要和原钥匙完全重合才能正常使用，对应数学中全等图形的性质，由此梳理复制过程的核心逻辑；2. 解决作图问题，要得到和原钥匙形状大小完全相同的图形，可利用平移不改变图形形状、大小的特点，通过“找点-平移点-连点成形”的步骤完成作图，避免直接画轮廓出现偏差。
【解析】
1. 钥匙复制机工作时，靠尺紧贴原钥匙的轮廓同步移动，刀片同步对空白钥匙坯进行切削，最终得到的新钥匙和原钥匙的形状、大小完全相同，二者是全等图形，该复制过程利用了全等图形的性质，保证加工得到的新图形可以和原钥匙完全重合。
2. 作图按照以下步骤进行：
① 先标记出右侧钥匙的所有特征点，包括端点、轮廓拐点、内部小圆的圆心等；
② 将所有特征点整体向左平移对应格数，在左侧的空白网格区域得到全部对应的特征点；
③ 按照原钥匙的轮廓顺序，依次连接对应点，补全所有线段、外轮廓曲线以及内部的圆形图案，最终得到的图形就和右侧钥匙的形状、大小完全相同。
【答案】
1. 钥匙复制机工作时，靠尺紧贴原钥匙的轮廓同步移动，刀片同步对空白钥匙坯进行切削，最终得到的新钥匙和原钥匙的形状、大小完全相同，二者是全等图形，该复制过程利用了全等图形的性质，保证加工得到的新图形可以和原钥匙完全重合。
2. 作图步骤：
① 先标记出右侧钥匙的所有特征点，包括端点、轮廓拐点、内部小圆的圆心等；
② 将所有特征点整体向左平移对应格数，在左侧的空白网格区域得到全部对应的特征点；
③ 按照原钥匙的轮廓顺序，依次连接对应点，补全所有线段、外轮廓曲线以及内部的圆形图案，最终得到的图形就和右侧钥匙的形状、大小完全相同。
【知识点】
全等图形的性质、平移作图
【点评】
本题紧密联系生活实际，将数学知识与生活应用相结合，既考查了对全等图形相关知识的理解，又锻炼了动手作图的能力，能帮助大家体会数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
