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【问题情境】数学课上，老师提出问题：已知钉板上存在三条互相平行的直线AB，CD，EF，图①中弹性皮筋的两端点用钉子固定在点M，N处，拉住皮筋中部的一点至点O处固定，点O在直线CD上，$∠ MON = 60°$。
【数学思考】
(1)如图①，若$∠ 1 = 40°$，求$∠ 2$的度数。
【深入探究】
(2)老师让同学们在图①的基础上，通过移动点O的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题。
①“善思”小组提出问题：如图②，在图①的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点O处，另一端用钉子固定在点P处。若$∠ PON = 45°$，求$∠ 1 - ∠ 3$的度数；
②“智慧”小组提出问题：如图③，在OM与AB的交点处用钉子固定点G，在ON与EF的交点处用钉子固定点H，将点O移动到点Q处（点Q在直线CD上）。若$∠ GQH = 70°$，请求出$∠ MGQ + ∠ QHN$的度数。
【数学思考】
(1)如图①，若$∠ 1 = 40°$，求$∠ 2$的度数。
【深入探究】
(2)老师让同学们在图①的基础上，通过移动点O的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题。
①“善思”小组提出问题：如图②，在图①的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点O处，另一端用钉子固定在点P处。若$∠ PON = 45°$，求$∠ 1 - ∠ 3$的度数；
②“智慧”小组提出问题：如图③，在OM与AB的交点处用钉子固定点G，在ON与EF的交点处用钉子固定点H，将点O移动到点Q处（点Q在直线CD上）。若$∠ GQH = 70°$，请求出$∠ MGQ + ∠ QHN$的度数。
答案
解:(1)$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ MOD = ∠ 1 = 40°$.
$\therefore ∠ DON = ∠ MON - ∠ MOD = 60° - 40° = 20°$.
$\because CD // EF$,$\therefore ∠ 2 = ∠ DON = 20°$.
(2)①$\because ∠ MON = 60°$,$∠ PON = 45°$,
$\therefore ∠ MOP = ∠ MON - ∠ PON = 15°$.
$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ POD = ∠ 3$,$∠ 1 = ∠ MOD$,
$\therefore ∠ 1 - ∠ 3 = ∠ MOD - ∠ POD = ∠ MOP = 15°$.
②$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ MGB = ∠ MOD$,$∠ BGQ = ∠ GQO$.
$\therefore ∠ MGQ = ∠ MGB + ∠ BGQ = ∠ MOD + ∠ GQO$.
$\because CD // EF$,
$\therefore ∠ DOH = ∠ FHN$,$∠ OQH = ∠ QHF$.
$\therefore ∠ QHN = ∠ FHN + ∠ QHF = ∠ DOH + ∠ OQH$.
$\therefore ∠ MGQ + ∠ QHN = ∠ MOD + ∠ GQO + ∠ DOH + ∠ OQH = ∠ MON + ∠ GQH = 60° + 70° = 130°$.
$\therefore ∠ MOD = ∠ 1 = 40°$.
$\therefore ∠ DON = ∠ MON - ∠ MOD = 60° - 40° = 20°$.
$\because CD // EF$,$\therefore ∠ 2 = ∠ DON = 20°$.
(2)①$\because ∠ MON = 60°$,$∠ PON = 45°$,
$\therefore ∠ MOP = ∠ MON - ∠ PON = 15°$.
$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ POD = ∠ 3$,$∠ 1 = ∠ MOD$,
$\therefore ∠ 1 - ∠ 3 = ∠ MOD - ∠ POD = ∠ MOP = 15°$.
②$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ MGB = ∠ MOD$,$∠ BGQ = ∠ GQO$.
$\therefore ∠ MGQ = ∠ MGB + ∠ BGQ = ∠ MOD + ∠ GQO$.
$\because CD // EF$,
$\therefore ∠ DOH = ∠ FHN$,$∠ OQH = ∠ QHF$.
$\therefore ∠ QHN = ∠ FHN + ∠ QHF = ∠ DOH + ∠ OQH$.
$\therefore ∠ MGQ + ∠ QHN = ∠ MOD + ∠ GQO + ∠ DOH + ∠ OQH = ∠ MON + ∠ GQH = 60° + 70° = 130°$.
解析
【分析】
(1) 已知三条直线互相平行，要求∠2的度数，先利用AB//CD的内错角相等得到∠1和∠MOD的关系，结合∠MON的度数求出∠DON，再利用CD//EF的内错角相等即可得到∠2的度数。
(2) ①要求∠1-∠3的度数，先根据已知的∠MON和∠PON算出∠MOP的大小，再利用平行线的性质将∠1、∠3分别转化为∠MOD、∠POD，二者的差刚好等于∠MOP，即可求解。
②要求∠MGQ+∠QHN的度数，利用平行线的内错角相等，分别将∠MGQ、∠QHN拆分为两组角的和，合并后可转化为∠MON与∠GQH的和，代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because AB // CD$,
$\therefore ∠MOD = ∠1 = 40°$.
$\therefore ∠DON = ∠MON - ∠MOD = 60° - 40° = 20°$.
$\because CD // EF$,
$\therefore ∠2 = ∠DON = 20°$.
(2) ①$\because ∠MON = 60°$,$∠PON = 45°$,
$\therefore ∠MOP = ∠MON - ∠PON = 15°$.
$\because AB // CD$,
$\therefore ∠POD = ∠3$,$∠1 = ∠MOD$,
$\therefore ∠1 - ∠3 = ∠MOD - ∠POD = ∠MOP = 15°$.
②$\because AB // CD$,
$\therefore ∠MGB = ∠MOD$,$∠BGQ = ∠GQO$.
$\therefore ∠MGQ = ∠MGB + ∠BGQ = ∠MOD + ∠GQO$.
$\because CD // EF$,
$\therefore ∠DOH = ∠FHN$,$∠OQH = ∠QHF$.
$\therefore ∠QHN = ∠FHN + ∠QHF = ∠DOH + ∠OQH$.
$\therefore ∠MGQ + ∠QHN = ∠MOD + ∠GQO + ∠DOH + ∠OQH = ∠MON + ∠GQH = 60° + 70° = 130°$.
【答案】
(1) $\boxed{20°}$；(2) ①$\boxed{15°}$；②$\boxed{130°}$
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题以平行线为背景设置分层问题，解题核心是熟练掌握平行线内错角相等的性质，通过对角的拆分、转化建立已知角和未知角的联系，有效考查了几何逻辑推理能力和角的运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知三条直线互相平行，要求∠2的度数，先利用AB//CD的内错角相等得到∠1和∠MOD的关系，结合∠MON的度数求出∠DON，再利用CD//EF的内错角相等即可得到∠2的度数。
(2) ①要求∠1-∠3的度数，先根据已知的∠MON和∠PON算出∠MOP的大小，再利用平行线的性质将∠1、∠3分别转化为∠MOD、∠POD，二者的差刚好等于∠MOP，即可求解。
②要求∠MGQ+∠QHN的度数，利用平行线的内错角相等，分别将∠MGQ、∠QHN拆分为两组角的和，合并后可转化为∠MON与∠GQH的和，代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because AB // CD$,
$\therefore ∠MOD = ∠1 = 40°$.
$\therefore ∠DON = ∠MON - ∠MOD = 60° - 40° = 20°$.
$\because CD // EF$,
$\therefore ∠2 = ∠DON = 20°$.
(2) ①$\because ∠MON = 60°$,$∠PON = 45°$,
$\therefore ∠MOP = ∠MON - ∠PON = 15°$.
$\because AB // CD$,
$\therefore ∠POD = ∠3$,$∠1 = ∠MOD$,
$\therefore ∠1 - ∠3 = ∠MOD - ∠POD = ∠MOP = 15°$.
②$\because AB // CD$,
$\therefore ∠MGB = ∠MOD$,$∠BGQ = ∠GQO$.
$\therefore ∠MGQ = ∠MGB + ∠BGQ = ∠MOD + ∠GQO$.
$\because CD // EF$,
$\therefore ∠DOH = ∠FHN$,$∠OQH = ∠QHF$.
$\therefore ∠QHN = ∠FHN + ∠QHF = ∠DOH + ∠OQH$.
$\therefore ∠MGQ + ∠QHN = ∠MOD + ∠GQO + ∠DOH + ∠OQH = ∠MON + ∠GQH = 60° + 70° = 130°$.
【答案】
(1) $\boxed{20°}$；(2) ①$\boxed{15°}$；②$\boxed{130°}$
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题以平行线为背景设置分层问题，解题核心是熟练掌握平行线内错角相等的性质，通过对角的拆分、转化建立已知角和未知角的联系，有效考查了几何逻辑推理能力和角的运算能力。
【难度系数】
0.7
