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6. 如图2，数轴上表示1，$\sqrt{2}$的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是（
A.$\sqrt{2}-1$
B.$1-\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-2$
C
）.A.$\sqrt{2}-1$
B.$1-\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-2$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上的点和实数是一一对应的，已知A是BC的中点，说明A到B的距离与A到C的距离相等，我们可以先算出AB的长度，再结合C在A的左侧，用A对应的数减去AC的长度即可得到C对应的数；也可以利用中点的数值公式：中点对应的数等于两端点对应数的平均数，列方程求解。
【解析】
设点C所表示的数为x。
因为点A是BC的中点，所以A对应的数是B、C对应数的平均值，可得：
$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$
等式两边同乘2得：$x+\sqrt{2}=2$
移项得：$x=2-\sqrt{2}$
也可用距离法验证：先算AB的长度为$\sqrt{2}-1$，因A是中点，故AC=AB=$\sqrt{2}-1$，C在A左侧，因此C对应的数为$1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，线段中点性质，实数运算
【点评】
本题是数轴和实数结合的基础题，解题核心是理解数轴上中点的性质，理清各点的位置关系和数值对应关系即可快速解题，计算时注意去括号后的符号处理即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数轴上的点和实数是一一对应的，已知A是BC的中点，说明A到B的距离与A到C的距离相等，我们可以先算出AB的长度，再结合C在A的左侧，用A对应的数减去AC的长度即可得到C对应的数；也可以利用中点的数值公式：中点对应的数等于两端点对应数的平均数，列方程求解。
【解析】
设点C所表示的数为x。
因为点A是BC的中点，所以A对应的数是B、C对应数的平均值，可得：
$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$
等式两边同乘2得：$x+\sqrt{2}=2$
移项得：$x=2-\sqrt{2}$
也可用距离法验证：先算AB的长度为$\sqrt{2}-1$，因A是中点，故AC=AB=$\sqrt{2}-1$，C在A左侧，因此C对应的数为$1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，线段中点性质，实数运算
【点评】
本题是数轴和实数结合的基础题，解题核心是理解数轴上中点的性质，理清各点的位置关系和数值对应关系即可快速解题，计算时注意去括号后的符号处理即可。
【难度系数】
0.8
7. 将下列实数分类填入相应的括号内.（填序号）
①$\frac{1}{3}$，②2，③$\sqrt{3}$，④$-6.101\ 001\ 000\ 1···$，⑤$-11$，⑥$\frac{π}{5}$，⑦$-0.1$，⑧$\sqrt[3]{9}$.
（1）整数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝；
（2）正有理数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝；
（3）负有理数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝；
（4）无理数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝.
①$\frac{1}{3}$，②2，③$\sqrt{3}$，④$-6.101\ 001\ 000\ 1···$，⑤$-11$，⑥$\frac{π}{5}$，⑦$-0.1$，⑧$\sqrt[3]{9}$.
（1）整数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝；
（2）正有理数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝；
（3）负有理数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝；
（4）无理数：｛$\underline{\hspace{10cm}}$…｝.
答案
7. (1) ②⑤ (2) ①② (3) ⑤⑦ (4) ③④⑥⑧
解析
【分析】
解决这类实数分类题的核心是先牢记各类数的定义：1.整数包括正整数、0、负整数；2.有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，其中大于0的有理数是正有理数，小于0的是负有理数；3.无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。接下来逐个判断题干中8个实数的类型，再对应填入对应括号即可。
【解析】
先逐个分析每个数的属性：
①$\frac{1}{3}$：是正分数，属于正有理数；
②2：是正整数，属于整数，也属于正有理数；
③$\sqrt{3}$：开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
④$-6.1010010001···$：相邻两个1之间依次多1个0，是无限不循环小数，属于无理数；
⑤$-11$：是负整数，属于整数，也属于负有理数；
⑥$\frac{π}{5}$：π是无理数，因此$\frac{π}{5}$也是无限不循环小数，属于无理数；
⑦$-0.1$：是有限小数，属于负分数，是负有理数；
⑧$\sqrt[3]{9}$：开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数。
据此分类：
（1）整数包含正整数、负整数和0，选②⑤；
（2）正有理数是大于0的有理数，选①②；
（3）负有理数是小于0的有理数，选⑤⑦；
（4）无理数是无限不循环小数，选③④⑥⑧。
【答案】
(1) ②⑤ (2) ①② (3) ⑤⑦ (4) ③④⑥⑧
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题核心是准确区分不同类型数的定义，尤其要注意：无限循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数，不要误把有书写规律的无限不循环小数当成有理数，也不要认为所有带根号的数都是无理数。
【难度系数】
0.8
解决这类实数分类题的核心是先牢记各类数的定义：1.整数包括正整数、0、负整数；2.有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，其中大于0的有理数是正有理数，小于0的是负有理数；3.无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。接下来逐个判断题干中8个实数的类型，再对应填入对应括号即可。
【解析】
先逐个分析每个数的属性：
①$\frac{1}{3}$：是正分数，属于正有理数；
②2：是正整数，属于整数，也属于正有理数；
③$\sqrt{3}$：开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
④$-6.1010010001···$：相邻两个1之间依次多1个0，是无限不循环小数，属于无理数；
⑤$-11$：是负整数，属于整数，也属于负有理数；
⑥$\frac{π}{5}$：π是无理数，因此$\frac{π}{5}$也是无限不循环小数，属于无理数；
⑦$-0.1$：是有限小数，属于负分数，是负有理数；
⑧$\sqrt[3]{9}$：开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数。
据此分类：
（1）整数包含正整数、负整数和0，选②⑤；
（2）正有理数是大于0的有理数，选①②；
（3）负有理数是小于0的有理数，选⑤⑦；
（4）无理数是无限不循环小数，选③④⑥⑧。
【答案】
(1) ②⑤ (2) ①② (3) ⑤⑦ (4) ③④⑥⑧
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题核心是准确区分不同类型数的定义，尤其要注意：无限循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数，不要误把有书写规律的无限不循环小数当成有理数，也不要认为所有带根号的数都是无理数。
【难度系数】
0.8
8. 计算：$\sqrt{81}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt{4}-|\sqrt{3}-2|.$
答案
8. $6+\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道实数的混合运算题，解题思路是先分别计算出每一项的结果：①先算算术平方根、立方根，利用开方和乘方的互逆运算求值；②再化简绝对值，先判断绝对值内代数式的正负，负数的绝对值等于它的相反数；最后把所有项的结果合并，注意去括号时的符号变化即可。
【解析】
解：先分别计算各项：
$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4}=2$；
判断$\sqrt{3}-2$的正负：因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$\sqrt{3}-2＜0$，负数的绝对值是它的相反数，因此$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。
将各项结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9+(-3)+2-(2-\sqrt{3})\\&=9-3+2-2+\sqrt{3}\\&=6+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查根式的基础运算和绝对值的化简规则，解题的关键是准确判断绝对值内式子的正负，去括号时注意符号不要出错，熟练掌握基础运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道实数的混合运算题，解题思路是先分别计算出每一项的结果：①先算算术平方根、立方根，利用开方和乘方的互逆运算求值；②再化简绝对值，先判断绝对值内代数式的正负，负数的绝对值等于它的相反数；最后把所有项的结果合并，注意去括号时的符号变化即可。
【解析】
解：先分别计算各项：
$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4}=2$；
判断$\sqrt{3}-2$的正负：因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$\sqrt{3}-2＜0$，负数的绝对值是它的相反数，因此$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。
将各项结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9+(-3)+2-(2-\sqrt{3})\\&=9-3+2-2+\sqrt{3}\\&=6+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查根式的基础运算和绝对值的化简规则，解题的关键是准确判断绝对值内式子的正负，去括号时注意符号不要出错，熟练掌握基础运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 把两个边长为1的小正方形按图3所示的方式剪开，并将得到的4个三角形拼成一个大正方形，由此得到无理数$\sqrt{2}$.如图4，把图3中一个小正方形放置到数轴上，以表示2的点为圆心，小正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A表示的数为（
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-2$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}+2$
C
）.A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-2$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}+2$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先分两步思考：第一步先求出小正方形的对角线长度，边长为1的正方形，结合勾股定理或题中给出的提示可得到对角线长为$\sqrt{2}$；第二步明确圆的基本性质，同圆的半径相等，所以圆心到A点的距离等于对角线长，再结合数轴上点的位置特征：左边的数小于右边的数，用圆心对应的数减去半径就能得到点A表示的数。
【解析】
首先计算边长为1的小正方形的对角线长度：根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由题意可知，该圆的圆心是数轴上表示2的点，半径等于小正方形的对角线长$\sqrt{2}$，点A位于表示2的点的左侧，因此点A到2的距离为$\sqrt{2}$，则点A表示的数为$2-\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题将几何图形计算和数轴知识结合，考查了无理数在数轴上的表示方法，解题关键是先确定圆的半径长度，再结合点的位置判断对应的数值。
【难度系数】
0.7
解题时先分两步思考：第一步先求出小正方形的对角线长度，边长为1的正方形，结合勾股定理或题中给出的提示可得到对角线长为$\sqrt{2}$；第二步明确圆的基本性质，同圆的半径相等，所以圆心到A点的距离等于对角线长，再结合数轴上点的位置特征：左边的数小于右边的数，用圆心对应的数减去半径就能得到点A表示的数。
【解析】
首先计算边长为1的小正方形的对角线长度：根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由题意可知，该圆的圆心是数轴上表示2的点，半径等于小正方形的对角线长$\sqrt{2}$，点A位于表示2的点的左侧，因此点A到2的距离为$\sqrt{2}$，则点A表示的数为$2-\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题将几何图形计算和数轴知识结合，考查了无理数在数轴上的表示方法，解题关键是先确定圆的半径长度，再结合点的位置判断对应的数值。
【难度系数】
0.7
