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10. 如图5，将边长为4的正方形ABCD各边四等分，把一条长度为$\sqrt{41}$的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形ABCD，则绳子的另一端点E将落在线段（
A.$BQ_1$上
B.$Q_1Q_2$上
C.$Q_2Q_3$上
D.$Q_3C$上
C
）。A.$BQ_1$上
B.$Q_1Q_2$上
C.$Q_2Q_3$上
D.$Q_3C$上
答案
10.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先估算无理数$\sqrt{41}$的大致大小，再结合正方形边长，计算绳子沿逆时针绕正方形时，走完各段边后剩余的长度，最后根据BC边的四等分点位置判断端点E的位置。第一步，利用平方数估算$\sqrt{41}$的范围：因为$6^2=36$，$7^2=49$，所以$\sqrt{41}$在6和7之间，可近似取$\sqrt{41}\approx6.4$；第二步，绳子从A点出发逆时针绕正方形，首先经过AB边，AB边长为4，走完AB边后剩余绳子长度约为$6.4-4=2.4$；第三步，BC边被四等分，每小段长度为$4÷4=1$，剩余长度2.4说明在BC边上从B点出发走了2.4个单位，对比各等分点位置即可判断落点。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{41}$的大小：
∵ $6^2=36$，$7^2=49$，$36＜41＜49$
∴ $6＜\sqrt{41}＜7$，即$\sqrt{41}\approx6.4$
正方形ABCD边长为4，绳子从A点逆时针缠绕：
① 先走AB边，长度为4，走完AB边时用掉绳子长度4，剩余绳子长度为$\sqrt{41}-4\approx6.4-4=2.4$
② 接下来沿BC边继续走，BC边被四等分，每段长度为$4÷4=1$，即$BQ_1=Q_1Q_2=Q_2Q_3=Q_3C=1$
剩余绳子长度2.4，说明在BC边上从B点出发走了2.4个单位：
走1个单位到$Q_1$，走2个单位到$Q_2$，走3个单位到$Q_3$，$2＜2.4＜3$
因此端点E落在$Q_2Q_3$线段上。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，正方形的性质，线段等分
【点评】
本题考查无理数估算在实际几何问题中的应用，解题核心是先确定无理数的近似范围，再结合图形的边长、等分点特征逐步推导落点，既考查了实数的基础运算，也考查了结合图形分析问题的能力。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：首先估算无理数$\sqrt{41}$的大致大小，再结合正方形边长，计算绳子沿逆时针绕正方形时，走完各段边后剩余的长度，最后根据BC边的四等分点位置判断端点E的位置。第一步，利用平方数估算$\sqrt{41}$的范围：因为$6^2=36$，$7^2=49$，所以$\sqrt{41}$在6和7之间，可近似取$\sqrt{41}\approx6.4$；第二步，绳子从A点出发逆时针绕正方形，首先经过AB边，AB边长为4，走完AB边后剩余绳子长度约为$6.4-4=2.4$；第三步，BC边被四等分，每小段长度为$4÷4=1$，剩余长度2.4说明在BC边上从B点出发走了2.4个单位，对比各等分点位置即可判断落点。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{41}$的大小：
∵ $6^2=36$，$7^2=49$，$36＜41＜49$
∴ $6＜\sqrt{41}＜7$，即$\sqrt{41}\approx6.4$
正方形ABCD边长为4，绳子从A点逆时针缠绕：
① 先走AB边，长度为4，走完AB边时用掉绳子长度4，剩余绳子长度为$\sqrt{41}-4\approx6.4-4=2.4$
② 接下来沿BC边继续走，BC边被四等分，每段长度为$4÷4=1$，即$BQ_1=Q_1Q_2=Q_2Q_3=Q_3C=1$
剩余绳子长度2.4，说明在BC边上从B点出发走了2.4个单位：
走1个单位到$Q_1$，走2个单位到$Q_2$，走3个单位到$Q_3$，$2＜2.4＜3$
因此端点E落在$Q_2Q_3$线段上。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，正方形的性质，线段等分
【点评】
本题考查无理数估算在实际几何问题中的应用，解题核心是先确定无理数的近似范围，再结合图形的边长、等分点特征逐步推导落点，既考查了实数的基础运算，也考查了结合图形分析问题的能力。
【难度系数】
0.75
11. 综合与实践.
【阅读】我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观地理解乘方的意义. 例如，$2^3$既表示$2×2×2$，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；$(-2)^2$表示$(-2)×(-2)$，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”.
【理解】（1）已知$a=-3$，计算$a^2$和$a^3$的值，并在数轴上分别表示出$a$，$a^2$，$a^3$对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值）.
（2）观察$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，…，写出$2^n$（$n$为正整数）的末位数字的规律，再求$2^{2026}$的末位数字.
【应用】（3）若一个数的平方等于它本身，这个数是
（4）已知$|x-2|+(y+1)^2=0$，求$x^y$的值，并说明该值在数轴上的位置特征.
【拓展】（5）当$n$为正整数时，探究$(-1)^n+(-1)^{n+1}$的值. 并思考：是否存在整数$x$，使得$|x+3|+(x-1)^4=0$？若存在，求$x$的值；若不存在，说明理由.
【阅读】我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观地理解乘方的意义. 例如，$2^3$既表示$2×2×2$，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；$(-2)^2$表示$(-2)×(-2)$，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”.
【理解】（1）已知$a=-3$，计算$a^2$和$a^3$的值，并在数轴上分别表示出$a$，$a^2$，$a^3$对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值）.
（2）观察$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，…，写出$2^n$（$n$为正整数）的末位数字的规律，再求$2^{2026}$的末位数字.
【应用】（3）若一个数的平方等于它本身，这个数是
0或1
；若一个数的立方等于它本身，这个数是0或1或-1
.（4）已知$|x-2|+(y+1)^2=0$，求$x^y$的值，并说明该值在数轴上的位置特征.
【拓展】（5）当$n$为正整数时，探究$(-1)^n+(-1)^{n+1}$的值. 并思考：是否存在整数$x$，使得$|x+3|+(x-1)^4=0$？若存在，求$x$的值；若不存在，说明理由.
答案
11. (1) $\because a=-3, \therefore a^2=(-3)^2=9, a^3=(-3)^3=-27. \because -3＜0, |-3|=3, \therefore -3$在数轴上原点左侧3个单位长度处. $\because 9＞0, |9|=9, \therefore 9$在数轴上原点右侧9个单位长度处. $\because -27＜0, |-27|=27, \therefore -27$在原点左侧27个单位长度处. 如答图5，$a$用点$A$，$a^2$用点$B$，$a^3$用点$C$表示
(2) $\because 2^1=2$（末位是2），$2^2=4$（末位是4），$2^3=8$（末位是8），$2^4=16$（末位是6），$2^5=32$（末位是2），$2^6=64$（末位是4），$2^7=128$（末位是8），$2^8=256$（末位是6），…，$\therefore$周期为4（2，4，8，6循环）. $\because 2026÷4=506······2$，余数为2，对应周期的第2个数，故$2^{2026}$的末位数字是4
(3) 0或1 0或1或-1
(4) $\because |x-2|+(y+1)^2=0, \therefore x-2=0$且$y+1=0$，解得$x=2, y=-1. \therefore x^y=2^{-1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{1}{2}$在原点右侧，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处
(5) $\because n$为正整数，$\therefore n$和$n+1$是两个连续的正整数，$\therefore$当$(-1)^n=1$时，$(-1)^{n+1}=-1$，此时$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$；当$(-1)^n=-1$时，$(-1)^{n+1}=1$，此时$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$. 综上，当$n$为正整数时，$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$. 不存在整数$x$，使得$|x+3|+(x-1)^4=0$. 理由如下：$\because |x+3|\ge0, (x-1)^4\ge0, \therefore$当$|x+3|+(x-1)^4=0$时，$|x+3|=0$且$(x-1)^4=0$，解得$x=-3$且$x=1. \because -3\ne1, \therefore x$不存在
解析
【分析】
本题围绕有理数乘方相关知识分层设置问题，解题思路如下：
（1）先代入$a=-3$，根据乘方运算法则计算$a^2$、$a^3$的值，再根据数的符号确定对应点在数轴原点的左右侧，结合绝对值确定到原点的距离，即可完成数轴标注；
（2）先列举前几个$2$的正整数次幂的末位数字，找到循环周期，再用$2026$除以周期，根据余数对应周期内的数字，即可得到$2^{2026}$的末位数字；
（3）通过枚举特殊整数的乘方结果，即可找到满足“平方等于本身”“立方等于本身”的数；
（4）利用绝对值和偶次幂的非负性：两个非负数相加和为0时，两个非负数各自为0，求出$x$、$y$的值后计算$x^y$，再描述其数轴位置即可；
（5）$n$为正整数时，$n$和$n+1$是连续整数，必为一奇一偶，因此$(-1)^n$和$(-1)^{n+1}$互为相反数，和为0；再利用非负性判断方程$|x+3|+(x-1)^4=0$的成立条件，看是否存在同时满足两个条件的整数$x$即可。
【解析】
(1) 已知$a=-3$，根据乘方运算规则：
$a^2=(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$a^3=(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$。
$a=-3$为负数，绝对值是3，对应数轴原点左侧3个单位长度的点；$a^2=9$为正数，绝对值是9，对应数轴原点右侧9个单位长度的点；$a^3=-27$为负数，绝对值是27，对应数轴原点左侧27个单位长度的点。其中$a$用点$A$表示，$a^2$用点$B$表示，$a^3$用点$C$表示。
(2) 观察$2$的正整数次幂的末位数字：$2^1$末位为2，$2^2$末位为4，$2^3$末位为8，$2^4$末位为6，$2^5$末位为2……可见末位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期长度为4。计算$2026÷4=506······2$，余数为2，对应周期内第2个数字，因此$2^{2026}$的末位数字是4。
(3) 平方等于本身的数：$0^2=0$，$1^2=1$，即0或1；立方等于本身的数：$0^3=0$，$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，即0或1或-1。
(4) 由绝对值和偶次幂的非负性可知$|x-2|\ge0$，$(y+1)^2\ge0$，二者和为0，则$x-2=0$且$y+1=0$，解得$x=2$，$y=-1$。因此$x^y=2^{-1}=\frac{1}{2}$，该数为正数，在数轴原点右侧，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处。
(5) 当$n$为正整数时，$n$和$n+1$是连续正整数，必为一奇一偶：若$n$为奇数，$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+1}=1$，和为0；若$n$为偶数，$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+1}=-1$，和为0，因此$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$。
不存在满足条件的整数$x$，理由：$|x+3|\ge0$，$(x-1)^4\ge0$，若二者和为0，则需$|x+3|=0$且$(x-1)^4=0$，解得$x=-3$且$x=1$，结果矛盾，因此不存在这样的整数$x$。
【答案】
11. (1) $\because a=-3, \therefore a^2=(-3)^2=9, a^3=(-3)^3=-27. \because -3＜0, |-3|=3, \therefore -3$在数轴上原点左侧3个单位长度处. $\because 9＞0, |9|=9, \therefore 9$在数轴上原点右侧9个单位长度处. $\because -27＜0, |-27|=27, \therefore -27$在原点左侧27个单位长度处. 如答图5，$a$用点$A$，$a^2$用点$B$，$a^3$用点$C$表示
(2) $\because 2^1=2$（末位是2），$2^2=4$（末位是4），$2^3=8$（末位是8），$2^4=16$（末位是6），$2^5=32$（末位是2），$2^6=64$（末位是4），$2^7=128$（末位是8），$2^8=256$（末位是6），…，$\therefore$周期为4（2，4，8，6循环）. $\because 2026÷4=506······2$，余数为2，对应周期的第2个数，故$2^{2026}$的末位数字是4
(3) 0或1 0或1或-1
(4) $\because |x-2|+(y+1)^2=0, \therefore x-2=0$且$y+1=0$，解得$x=2, y=-1. \therefore x^y=2^{-1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{1}{2}$在原点右侧，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处
(5) $\because n$为正整数，$\therefore n$和$n+1$是两个连续的正整数，$\therefore$当$(-1)^n=1$时，$(-1)^{n+1}=-1$，此时$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$；当$(-1)^n=-1$时，$(-1)^{n+1}=1$，此时$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$. 综上，当$n$为正整数时，$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$. 不存在整数$x$，使得$|x+3|+(x-1)^4=0$. 理由如下：$\because |x+3|\ge0, (x-1)^4\ge0, \therefore$当$|x+3|+(x-1)^4=0$时，$|x+3|=0$且$(x-1)^4=0$，解得$x=-3$且$x=1. \because -3\ne1, \therefore x$不存在
【知识点】
有理数乘方运算，非负数的性质，数字规律探究
【点评】
本题结合“数与形”的思想，从基础乘方计算、数轴表示，到规律探究、性质应用，层层递进，全面考查了乘方的概念、性质以及非负性等核心知识点，既注重基础掌握，也考查了逻辑推理和灵活运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕有理数乘方相关知识分层设置问题，解题思路如下：
（1）先代入$a=-3$，根据乘方运算法则计算$a^2$、$a^3$的值，再根据数的符号确定对应点在数轴原点的左右侧，结合绝对值确定到原点的距离，即可完成数轴标注；
（2）先列举前几个$2$的正整数次幂的末位数字，找到循环周期，再用$2026$除以周期，根据余数对应周期内的数字，即可得到$2^{2026}$的末位数字；
（3）通过枚举特殊整数的乘方结果，即可找到满足“平方等于本身”“立方等于本身”的数；
（4）利用绝对值和偶次幂的非负性：两个非负数相加和为0时，两个非负数各自为0，求出$x$、$y$的值后计算$x^y$，再描述其数轴位置即可；
（5）$n$为正整数时，$n$和$n+1$是连续整数，必为一奇一偶，因此$(-1)^n$和$(-1)^{n+1}$互为相反数，和为0；再利用非负性判断方程$|x+3|+(x-1)^4=0$的成立条件，看是否存在同时满足两个条件的整数$x$即可。
【解析】
(1) 已知$a=-3$，根据乘方运算规则：
$a^2=(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$a^3=(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$。
$a=-3$为负数，绝对值是3，对应数轴原点左侧3个单位长度的点；$a^2=9$为正数，绝对值是9，对应数轴原点右侧9个单位长度的点；$a^3=-27$为负数，绝对值是27，对应数轴原点左侧27个单位长度的点。其中$a$用点$A$表示，$a^2$用点$B$表示，$a^3$用点$C$表示。
(2) 观察$2$的正整数次幂的末位数字：$2^1$末位为2，$2^2$末位为4，$2^3$末位为8，$2^4$末位为6，$2^5$末位为2……可见末位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期长度为4。计算$2026÷4=506······2$，余数为2，对应周期内第2个数字，因此$2^{2026}$的末位数字是4。
(3) 平方等于本身的数：$0^2=0$，$1^2=1$，即0或1；立方等于本身的数：$0^3=0$，$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，即0或1或-1。
(4) 由绝对值和偶次幂的非负性可知$|x-2|\ge0$，$(y+1)^2\ge0$，二者和为0，则$x-2=0$且$y+1=0$，解得$x=2$，$y=-1$。因此$x^y=2^{-1}=\frac{1}{2}$，该数为正数，在数轴原点右侧，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处。
(5) 当$n$为正整数时，$n$和$n+1$是连续正整数，必为一奇一偶：若$n$为奇数，$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+1}=1$，和为0；若$n$为偶数，$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+1}=-1$，和为0，因此$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$。
不存在满足条件的整数$x$，理由：$|x+3|\ge0$，$(x-1)^4\ge0$，若二者和为0，则需$|x+3|=0$且$(x-1)^4=0$，解得$x=-3$且$x=1$，结果矛盾，因此不存在这样的整数$x$。
【答案】
11. (1) $\because a=-3, \therefore a^2=(-3)^2=9, a^3=(-3)^3=-27. \because -3＜0, |-3|=3, \therefore -3$在数轴上原点左侧3个单位长度处. $\because 9＞0, |9|=9, \therefore 9$在数轴上原点右侧9个单位长度处. $\because -27＜0, |-27|=27, \therefore -27$在原点左侧27个单位长度处. 如答图5，$a$用点$A$，$a^2$用点$B$，$a^3$用点$C$表示
(2) $\because 2^1=2$（末位是2），$2^2=4$（末位是4），$2^3=8$（末位是8），$2^4=16$（末位是6），$2^5=32$（末位是2），$2^6=64$（末位是4），$2^7=128$（末位是8），$2^8=256$（末位是6），…，$\therefore$周期为4（2，4，8，6循环）. $\because 2026÷4=506······2$，余数为2，对应周期的第2个数，故$2^{2026}$的末位数字是4
(3) 0或1 0或1或-1
(4) $\because |x-2|+(y+1)^2=0, \therefore x-2=0$且$y+1=0$，解得$x=2, y=-1. \therefore x^y=2^{-1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{1}{2}$在原点右侧，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处
(5) $\because n$为正整数，$\therefore n$和$n+1$是两个连续的正整数，$\therefore$当$(-1)^n=1$时，$(-1)^{n+1}=-1$，此时$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$；当$(-1)^n=-1$时，$(-1)^{n+1}=1$，此时$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$. 综上，当$n$为正整数时，$(-1)^n+(-1)^{n+1}=0$. 不存在整数$x$，使得$|x+3|+(x-1)^4=0$. 理由如下：$\because |x+3|\ge0, (x-1)^4\ge0, \therefore$当$|x+3|+(x-1)^4=0$时，$|x+3|=0$且$(x-1)^4=0$，解得$x=-3$且$x=1. \because -3\ne1, \therefore x$不存在
【知识点】
有理数乘方运算，非负数的性质，数字规律探究
【点评】
本题结合“数与形”的思想，从基础乘方计算、数轴表示，到规律探究、性质应用，层层递进，全面考查了乘方的概念、性质以及非负性等核心知识点，既注重基础掌握，也考查了逻辑推理和灵活运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
