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6. (2025 苏州市吴中区期中)如图 1,在四边形
$ABCD$ 中,$AB=AD$,$∠ B=∠ D=90°$,$E$,$F$ 分别是边 $BC$,$CD$ 上的点,且 $∠ BAD=2∠ EAF$.
(1) 求$∠ FEC$ 与$∠ BAE$ 的数量关系,并写出理由.
(2) 如图 2,在四边形 $ABCD$ 中,$AB=AD$,$∠ B+∠ D=180°$,$E$,$F$ 分别是边 $BC$,$CD$ 上的点,且 $∠ BAD=2∠ EAF$.请猜想 $EF$,$BE$,$DF$ 三条线段间的数量关系,并写出理由.
(3) 如图 3,在四边形 $ABCD$ 中,$AB=AD$,$∠ B+∠ ADC=180°$,$E$,$F$ 分别是边 $BC$,$CD$ 延长线上的点,且 $∠ BAD=2∠ EAF$. 请猜想 $EF$,$BE$,$DF$ 三条线段间的数量关系,并写出理由.
$ABCD$ 中,$AB=AD$,$∠ B=∠ D=90°$,$E$,$F$ 分别是边 $BC$,$CD$ 上的点,且 $∠ BAD=2∠ EAF$.
(1) 求$∠ FEC$ 与$∠ BAE$ 的数量关系,并写出理由.
(2) 如图 2,在四边形 $ABCD$ 中,$AB=AD$,$∠ B+∠ D=180°$,$E$,$F$ 分别是边 $BC$,$CD$ 上的点,且 $∠ BAD=2∠ EAF$.请猜想 $EF$,$BE$,$DF$ 三条线段间的数量关系,并写出理由.
(3) 如图 3,在四边形 $ABCD$ 中,$AB=AD$,$∠ B+∠ ADC=180°$,$E$,$F$ 分别是边 $BC$,$CD$ 延长线上的点,且 $∠ BAD=2∠ EAF$. 请猜想 $EF$,$BE$,$DF$ 三条线段间的数量关系,并写出理由.
答案
6. 解:(1) $∠ FEC=2∠ BAE$. 理由如下:设$∠ BAE=α$,则$∠ AEB=90°-α$. 如图1,延长$CB$到点$D'$,使$BD'=DF$,连接$AD'$. 因为$∠ ABC=∠ D=90°$,所以$∠ ABD'=∠ D=90°$. 在$△ ABD'$和$△ ADF$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ ABD'=∠ D, \\ BD'=DF, \end{cases}$所以$△ ABD'≌△ ADF(\mathrm{SAS})$. 所以$AD'=AF$,$∠ D'AB=∠ DAF$. 因为$∠ BAD=2∠ EAF$,所以$∠ EAF=∠ BAE+∠ DAF$. 所以$∠ EAF=∠ BAE+∠ D'AB=∠ EAD'$. 在$△ AED'$和$△ AEF$ 中, $\begin{cases} AD'=AF, \\ ∠ EAD'=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$所以$△ AED'≌△ AEF(\mathrm{SAS})$. 所以$∠ AEF=∠ AED'=90°-α$. 所以$∠ FEC=180°-2(90°-α)=2α$. 所以$∠ FEC=2∠ BAE$.
(2) $EF=BE+DF$. 理由如下:如图2,延长$CB$到点$D'$,使$BD'=DF$,连接$AD'$. 因为$∠ ABE+∠ D=180°$,$∠ ABD'+∠ ABE=180°$,所以$∠ ABD'=∠ D$. 在$△ ABD'$和$△ ADF$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ ABD'=∠ D, \\ BD'=DF, \end{cases}$所以$△ ABD'≌△ ADF(\mathrm{SAS})$. 所以$AD'=AF$,$∠ D'AB=∠ DAF$. 因为$∠ BAD=2∠ EAF$,所以$∠ EAF=∠ BAE+∠ DAF$. 所以$∠ EAF=∠ BAE+∠ D'AB=∠ EAD'$. 在$△ AED'$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AD'=AF, \\ ∠ EAD'=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$所以$△ AED'≌△ AEF(\mathrm{SAS})$. 所以$ED'=EF$. 因为$ED'=BD'+BE$,$BD'=DF$,所以$EF=BE+DF$.
(3) $EF=BE-DF$. 理由如下:如图3,在$BC$上截取$BD'=DF$,连接$AD'$. 同理可得,$△ ABD'≌△ ADF$. 所以$AD'=AF$,$∠ BAD'=∠ DAF$. 所以$∠ BAD=∠ D'AF$. 因为$∠ BAD=2∠ EAF$,所以$∠ D'AF=2∠ EAF=∠ D'AE+∠ EAF$,所以$∠ D'AE=∠ EAF$. 在$△ AED'$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AD'=AF, \\ ∠ EAD'=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$所以$△ AED'≌△ AEF(\mathrm{SAS})$. 所以$ED'=EF$. 因为$ED'=BE-BD'$,$BD'=DF$,所以$EF=BE-DF$.
7. 根据对材料的理解解决以下问题：
（1）如图$1$，$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=90°$，$AC=BC$.猜想$DE$，$AD$，$BE$之间的数量关系，并给出证明.
（2）如图$2$，将（1）中条件改为$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=α\ (90°＜α＜180°)$，$AC=BC$，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）如图$3$，在$△ ABC$中，$D$为$AB$上一点，$DE=DF$，$∠ A=∠ EDF=∠ B$，$AE=2$，$BF=5$，请直接写出$AB$的长.
（1）如图$1$，$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=90°$，$AC=BC$.猜想$DE$，$AD$，$BE$之间的数量关系，并给出证明.
（2）如图$2$，将（1）中条件改为$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=α\ (90°＜α＜180°)$，$AC=BC$，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）如图$3$，在$△ ABC$中，$D$为$AB$上一点，$DE=DF$，$∠ A=∠ EDF=∠ B$，$AE=2$，$BF=5$，请直接写出$AB$的长.
答案
7. 解:(1) $DE=AD+BE$. 证明:因为$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=90°$,所以$∠ ACD+∠ CAD=∠ ACD+∠ BCE=90°$. 所以$∠ CAD=∠ BCE$. 在$△ ADC$和$△ CEB$ 中, $\begin{cases} ∠ CAD=∠ BCE, \\ ∠ ADC=∠ CEB, \\ AC=CB, \end{cases}$所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$. 所以$CE=AD$,$CD=BE$. 所以$DE=CD+CE=AD+BE$.
(2) (1)中结论仍然成立. 理由如下:因为$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB$,$∠ BCE+∠ ACD=180°-∠ ACB$,$∠ ACD+∠ CAD=180°-∠ ADC$,所以$∠ CAD=∠ BCE$. 在$△ ADC$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ ADC=∠ CEB, \\ ∠ CAD=∠ BCE, \\ AC=CB, \end{cases}$所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$. 所以$AD=CE$,$DC=BE$. 所以$DE=AD+BE$. 故(1)中结论仍然成立.
(3) $AB=7$. 提示:因为$∠ A=∠ EDF=∠ B$,$∠ EDB=∠ A+∠ AED=∠ EDF+∠ FDB$,所以$∠ AED=∠ FDB$. 在$△ AED$和$△ BDF$ 中, $\begin{cases} ∠ AED=∠ BDF, \\ ∠ A=∠ B, \\ DE=FD, \end{cases}$ 所以$△ AED≌△ BDF(\mathrm{AAS})$. 所以$AE=BD$,$AD=BF$. 所以$AB=AD+BD=AE+BF=2+5=7$.
(2) (1)中结论仍然成立. 理由如下:因为$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB$,$∠ BCE+∠ ACD=180°-∠ ACB$,$∠ ACD+∠ CAD=180°-∠ ADC$,所以$∠ CAD=∠ BCE$. 在$△ ADC$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ ADC=∠ CEB, \\ ∠ CAD=∠ BCE, \\ AC=CB, \end{cases}$所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$. 所以$AD=CE$,$DC=BE$. 所以$DE=AD+BE$. 故(1)中结论仍然成立.
(3) $AB=7$. 提示:因为$∠ A=∠ EDF=∠ B$,$∠ EDB=∠ A+∠ AED=∠ EDF+∠ FDB$,所以$∠ AED=∠ FDB$. 在$△ AED$和$△ BDF$ 中, $\begin{cases} ∠ AED=∠ BDF, \\ ∠ A=∠ B, \\ DE=FD, \end{cases}$ 所以$△ AED≌△ BDF(\mathrm{AAS})$. 所以$AE=BD$,$AD=BF$. 所以$AB=AD+BD=AE+BF=2+5=7$.
