1. (2025 盐城市东台市期中) 如图，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$∠ CAB=∠ DBA=60°$，点$P$在线段$AB$上以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动，同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动，它们运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。当点$Q$的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$时，在某一时刻，以$A$，$C$，$P$三点为顶点的三角形与以$B$，$P$，$Q$三点为顶点的三角形全等。其中$x$的值为（）

A.$1$或$\dfrac{4}{3}$
B.$1$或$\dfrac{4}{5}$
C.$2$或$\dfrac{4}{3}$
D.$1$

1. A 提示:因为$∠ CAB=∠ DBA=60°$,以$A,C,P$三点为顶点构成的三角形与以$B,P,Q$三点为顶点构成的三角形全等,所以有两种情况:①$AP=BP$,$AC=BQ$,则$1× t=6-1× t$,解得$t=3$. 所以$4=3x$,解得$x=\dfrac{4}{3}$. ②$AP=BQ$,$AC=BP$,则$1× t=tx$,$6-1× t=4$,解得$t=2$,$x=1$. 综上,$x$的值为$1$或$\dfrac{4}{3}$.

2. 如图, 在$△ AOB$和$△ COD$中,$OA=OB$,$OC=OD$,$OA＜OC$,$∠ AOB=∠ COD=36°$. 连接$AC$,$BD$交于点$M$, 连接$OM$. 有下列结论: ①$∠ AMB=36°$; ②$∠ BOM=∠ COM$; ③$AC=BD$; ④$MO$平分$∠ AMD$.其中正确的结论有（）

A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③④

2. D

3. (2025宿迁市宿豫区期中)如图,AE与BD相交于点$C$,$AC=EC$,$BC=DC$,$AB=$$8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,沿$A\to B\to A$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,点$Q$同时从点$D$出发,沿$D\to E$方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,当点$P$到达点$A$时,$P$,$Q$两点同时停止运动,设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$. 当点$P$在$A\to B$运动时,$BP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$(用含$t$的代数式表示);当$P$,$Q$,$C$三点共线时,$t$的值为.

3. $(8-2t)$ $8$或$\dfrac{8}{3}$ 提示:根据题意,得$DQ=t$ cm. 在$△ ABC$和$△ EDC$中,$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ ACB=∠ ECD, \\ BC=DC, \end{cases}$所以$△ ABC≌△ EDC(\mathrm{SAS})$. 所以$∠ B=∠ D$. 因为$P,Q,C$三点共线,所以$∠ BCP=∠ DCQ$. 在$△ BCP$和$△ DCQ$中,$\begin{cases} ∠ B=∠ D, \\ BC=DC, \\ ∠ BCP=∠ DCQ, \end{cases}$ 所以$△ BCP≌△ DCQ(\mathrm{ASA})$. 所以$BP=DQ$. ①当点$P$在$A\to B$运动时,$BP=(8-2t)\mathrm{cm}$,此时$0＜ t≤4$,所以$8-2t=t$,解得$t=\dfrac{8}{3}$;②当点$P$在$B\to A$运动时,$BP=(2t-8)\mathrm{cm}$,此时$4＜ t≤8$,所以$2t-8=t$,解得$t=8$. 综上所述,当$P,Q,C$三点共线时,$t$的值为$8$或$\dfrac{8}{3}$.

4. 如图,已知 $AC=BC,DC=EC,∠ ACB=$ $∠ ECD=90°,∠ EBD=58°$, 现有下列结论: ①$△ BDC ≌ △ AEC$; ②$∠ AEB=145°$;③$BD=AE$; ④$AE ⊥ BD$. 其中正确的有(填序号).

4. ①③④

5. 如图 1,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=$$α$,$D,E$ 分别为 $AB,AC$ 上的点,且 $AD=$$AE$. 将$△ ADE$ 绕点 $A$ 旋转,连接 $BD$,$CE$,如图 2.
(1) 在图 1 中,$BD$ 与 $CE$ 的数量关系为.
(2) 在图 2 的情形下,求证:$BD=CE$.
(3) 在图 2 中,延长 $BD$ 交 $CE$ 于点 $F$,求$∠ BFC$ 的度数(用含$α$的式子表示).

5. (1) $BD=CE$
(2) 证明:由旋转的性质,得$∠ BAC=∠ DAE$,所以$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$,即$∠ BAD=∠ CAE$. 在$△ ABD$和$△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$ 所以$△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$. 所以$BD=CE$.
(3) 解:设$BD$与$AC$交于点$O$. 因为$△ ABD≌△ ACE$,所以$∠ ABD=∠ ACE$. 又因为$∠ BOA=∠ COF$,所以$∠ BFC=∠ BAC=α$.