一、填空题
1. [福建中考]某房梁如图所示,立柱$AD ⊥ BC$,E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若$AB=AC=8\ \mathrm{m}$,则DE的长为m.

1. 4

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$∠ B=∠ C=30^{ \circ }$,则$△ ABC$的中线$AD$的长为.

2. 3 cm

3. 如图,在等边三角形$ABC$中,$AB=6$,$BD$是边$AC$上的高,延长$BC$至点$E$,使$CE=CD$,则$BE$的长为.

3. 9

4. 如图,$△ ABC$是等边三角形,$D$是边$AB$上一点,过点$D$作$DE ⊥ BC$,垂足为$E$,直线$DE$与$CA$的延长线相交于点$F$. 若$BD=4\ \mathrm{cm}$,$AF=3\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长为$\mathrm{cm}$.

4. 7

二、解答题
5. 如图,等边三角形$ABC$的边长是6 cm,动点$M,N$分别从点$A,C$同时出发,沿$AC,CB$匀速运动,点$M,N$的运动速度分别是1 cm/s,2 cm/s,当点$M$运动2 s时,求$M,N$两点间的距离.

5. $\because △ ABC$ 是边长为 6 cm 的等边三角形,
$\therefore ∠ C=60°,AC=6\ \mathrm{cm}.\because$ 点 $M,N$ 的运动速度分别是1 cm/s,2 cm/s,点 $M$ 运动 2 s,$\therefore AM=1×2=2(\mathrm{cm})$,$CN=2×2=4(\mathrm{cm}).\therefore CM=AC-AM=6-2=4(\mathrm{cm}).$
$\therefore CM=CN.\because ∠ C=60°,\therefore △ CMN$ 是等边三角形.
$\therefore MN=CM=4\ \mathrm{cm}.\therefore M,N$ 两点间的距离是 4 cm

6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=30^{ \circ }$,$AB$的垂直平分线$DE$分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$. 若$BE=2$,求$CE$的长.

6. 连接 $AE$. 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC,∠ B=30°.\therefore ∠ C=∠ B=30°$. 由三角形内角和定理,得 $∠ BAC = 180°-(∠ C+∠ B)=120°.\because DE$ 是 $AB$ 边的垂直平分线,$BE=2,\therefore AE=BE=2.\therefore ∠ EAB=∠ B=30°.$
$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ EAB=120°-30°=90°.\therefore △ EAC$是直角三角形. 在 $\mathrm{Rt}△ EAC$ 中, $∠ C=30°,AE=2.$
$\therefore CE=2AE=4$,即 $CE$ 的长为 4