1. 关于分式$\frac{x-2}{x^2 - 4}$，下列说法正确的是（）

A.化为最简分式等于$\frac{1}{x - 2}$
B.当$x=2$时，分式的值为$\frac{1}{4}$
C.当$x=2$时，分式的值为0
D.当$x=2$时，分式没有意义

D

先对原分式的分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，逐一分析选项：
1. 选项A：约去分子分母的公因式$x-2$（$x≠±2$）后，最简分式为$\frac{1}{x+2}$，不是$\frac{1}{x-2}$，A错误。
2. 分式有意义的前提是分母不为0，当$x=2$时，分母$x^2-4=0$，此时分式没有意义，因此B、C的说法错误，D的说法正确。

2. 下列约分正确的是（）

A.$\dfrac{x+a}{x+b}=\dfrac{a}{b}$
B.$\dfrac{x+a}{x+b}=\dfrac{1+a}{1+b}$
C.$\dfrac{b^2 - a^2}{a + b}=b - a$
D.$\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{x}{y}$

C

根据分式约分的规则，约分需约去分子分母的公因式，逐一判断选项：
1. 选项A：$\dfrac{x+a}{x+b}$的分子分母没有公因式，不能直接消去分子分母的$x$，等式不成立，A错误；
2. 选项B：$\dfrac{x+a}{x+b}$的分子分母没有公因式，不能直接将分子分母的$x$替换为1，等式不成立，B错误；
3. 选项C：对分子用平方差公式因式分解，$\dfrac{b^2 - a^2}{a + b}=\dfrac{(b-a)(b+a)}{a+b}$，约去公因式$a+b$，可得结果为$b-a$，等式成立，C正确；
4. 选项D：$\dfrac{x^2}{y^2}$的分子分母没有公因式，不能直接将平方消去得到$\dfrac{x}{y}$，等式不成立，D错误。

3. 观察下列按一定规律排列的代数式：$-2,\dfrac{4}{x^{2}},-\dfrac{8}{x^{4}},\dfrac{16}{x^{6}},-\dfrac{32}{x^{8}},···$。按照这个规律，第$n$个代数式是（）

A.$(-1)^{n}\dfrac{2^{n}}{x^{2n-2}}$
B.$(-1)^{n-1}\dfrac{2^{n}}{x^{2n-2}}$
C.$(-1)^{n-1}\dfrac{2^{n}}{x^{2n}}$
D.$(-1)^{n}\dfrac{2n}{x^{2n}}$

A

我们分三部分推导规律：
1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用$(-1)^n$表示；
2. 分子的数字部分：第1项为$2^1$，第2项为$2^2$，第3项为$2^3$，以此类推，第n项分子的绝对值为$2^n$；
3. 分母的x的指数：第1项可写为$\frac{-2}{x^0}$，指数$0=2×1-2$，第2项x的指数$2=2×2-2$，第3项x的指数$4=2×3-2$，以此类推，第n项分母为$x^{2n-2}$。
组合三部分可得第n个代数式为$(-1)^{n}\dfrac{2^{n}}{x^{2n-2}}$，验证前5项均符合已知序列。

4. 计算：$3^{-2}=$ ______；$(\sqrt{3} - 1)^0=$ ______；$(\dfrac{b}{5a})^2=$ ______。

$\dfrac{1}{9}$；$1$；$\dfrac{b^2}{25a^2}$

1. 计算$3^{-2}$：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），代入得$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
2. 计算$(\sqrt{3} - 1)^0$：根据零指数幂的运算法则$a^0=1$（$a≠0$），因为$\sqrt{3}-1≠0$，因此$(\sqrt{3} - 1)^0=1$。
3. 计算$(\dfrac{b}{5a})^2$：根据分式乘方的运算法则，将分子、分母分别乘方，可得$(\dfrac{b}{5a})^2=\dfrac{b^2}{(5a)^2}=\dfrac{b^2}{25a^2}$。

5.不改变分式的值,将分式分子、分母的各项系数化为整数,且分子、分母的首项系数为正数:
$\frac{-0.03x+0.1}{-0.04x-0.03}= \_\_\_\_\_\_。$

$\frac{3x-10}{4x+3}$

根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘以100，消去所有小数系数，得到$\frac{-3x+10}{-4x-3}$；再将分子、分母同时乘以$-1$，保证分子、分母的首项系数均为正数，化简后即可得到符合要求的结果。

6.若分式$\frac{2x^2 - 4x + 2}{(x - 1)^3}$的值为整数，则整数$x$的值有________个。

4

先对分式的分子进行因式分解：
分子$2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x-1)^2$，
结合分母不为0的要求，可得$x≠1$，约去公因式$(x-1)^2$后，原式化简为：
$\frac{2}{x-1}$。
要使分式的值为整数，且x为整数，则$x-1$必须是2的整数约数。
2的整数约数为$\pm1、\pm2$，分别计算对应x的值：
1. $x-1=1$时，$x=2$，符合要求；
2. $x-1=-1$时，$x=0$，符合要求；
3. $x-1=2$时，$x=3$，符合要求；
4. $x-1=-2$时，$x=-1$，符合要求。
综上符合条件的整数x共有4个。

7. 先化简,再求值:$(\dfrac{x^2}{x+1} - x + 1) ÷ \dfrac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$,其中 $x = (\dfrac{1}{2})^{-1}$。

化简结果为$\frac{x+1}{x+2}$，求值结果为$\frac{3}{4}$

本题考查分式的化简求值，步骤如下：
1. 计算括号内的部分：
将$-x+1$通分，改写为分母为$x+1$的分式：
$\frac{x^2}{x+1} - x +1 = \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = \frac{x^2 - (x^2-1)}{x+1} = \frac{1}{x+1}$
2. 处理除法运算：
先对除式的分母因式分解：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，将除法转化为乘法：
$\frac{1}{x+1} ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1} × \frac{(x+1)^2}{x+2}$
3. 约分得到最简式：
约去公因式$x+1$，化简得：$\frac{x+1}{x+2}$
4. 计算已知条件的$x$值：
$x=(\frac{1}{2})^{-1}=2$
5. 代入最简式求值：
把$x=2$代入$\frac{x+1}{x+2}$，得$\frac{2+1}{2+2}=\frac{3}{4}$

8.下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程(部分)，但部分式子被遮挡。
解:($$$ - \frac{21}{a-2}) ÷ \frac{a-5}{a-2} = \frac{a^2 - 25}{a-2} ÷ \frac{a-5}{a-2} = ···$
(1)求出被遮挡部分的式子。
(2)先将化简过程补充完整，再求值，其中$a$从$2,5,7$中取一个合适的数代入求值。

(1) 被遮挡的式子为$\boldsymbol{a+2}$；(2) 化简结果为$a+5$，代入$a=7$求得值为$\boldsymbol{12}$。

(1) 设被遮挡的式子为$A$，根据题意可得：
$A - \frac{21}{a-2} = \frac{a^2 - 25}{a-2}$
移项得：
$A = \frac{a^2 - 25}{a-2} + \frac{21}{a-2}$
同分母分式相加，分母不变、分子合并：
$A = \frac{a^2 -25 +21}{a-2} = \frac{a^2 -4}{a-2}$
对分子因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，约去公因式$a-2$得：
$A = a+2$
即被遮挡部分的式子为$a+2$。
(2) 补充完整化简过程：
原式$=\frac{a^2 - 25}{a-2} ÷ \frac{a-5}{a-2}$
将除法转化为乘法，同时对分子因式分解：
$=\frac{(a+5)(a-5)}{a-2} · \frac{a-2}{a-5}$
约去公因式$(a-2)$和$(a-5)$，得化简结果：
$=a+5$
根据分式有意义的条件：分母和除式不能为0，因此$a-2≠0$，$a-5≠0$，即$a≠2$且$a≠5$，因此只能选取$a=7$代入：
当$a=7$时，原式$=7+5=12$。