1.若式子$\sqrt{x+1}+\dfrac{1}{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（）

A.$x≥ -1$
B.$x≥ -1$且$x≠3$
C.$x＞-1$
D.$x＞1$且$x≠3$

B

要使式子$\sqrt{x+1}+\dfrac{1}{x-3}$在实数范围内有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
综合两个条件，得$x$的取值范围是$x≥ -1$且$x≠3$。

2. 下列变形中,正确的是()

A.$\frac{0.2a - b}{0.3a + 2b} = \frac{2a - b}{3a + 2b}$
B.$\frac{a - b}{c - d} = \frac{b - a}{d - c}$
C.$\frac{1 - a}{a^2 - 1} = \frac{-(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{1}{a + 1}$
D.$\frac{b}{a} = \frac{bc}{ac}$

B

根据分式的基本性质逐一判断：
1. 选项A：分子分母同时乘10时，分子的$-b$需变为$-10b$，分母的$2b$需变为$20b$，变形错误。
2. 选项B：分子分母同时提取负号，两个负号相除得1，可得$\frac{a-b}{c-d}=\frac{-(b-a)}{-(d-c)}=\frac{b-a}{d-c}$，变形正确。
3. 选项C：约去公因式$a-1$后结果应为$-\frac{1}{a+1}$，符号错误，变形错误。
4. 选项D：未说明$c≠0$，当$c=0$时右侧分式无意义，变形不成立。
综上，只有B的变形正确。

3.若将分式$\dfrac{xy}{x-2y}$中$x,y$的值都扩大到原来的3倍,则该分式的值()

A.扩大到原来的3倍
B.扩大到原来的9倍
C.扩大到原来的6倍
D.不变

A

将x、y替换为扩大后的3x、3y，代入原分式计算：$\dfrac{(3x)·(3y)}{3x - 2·(3y)}=\dfrac{9xy}{3(x-2y)}=3·\dfrac{xy}{x-2y}$，可得新分式的值为原分式值的3倍，即该分式的值扩大到原来的3倍。

4.若分式$\dfrac{|x|-3}{x-3}$的值为0，则$x$的值为________。

-3

要使分式的值为0，需同时满足两个条件：①分子的值为0；②分母的值不为0。
1. 令分子为0：$|x|-3=0$，解得$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$。
2. 令分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综合两个条件，舍去不符合要求的$x=3$，最终得$x=-3$。

5. 请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式$\dfrac{100}{a}$来表示：______？

示例：用100元去购买单价为a元的签字笔，总共可以购买多少支（答案不唯一，符合要求即可）

本题考查分式的实际意义，结合日常常见的消费、行程、工程等场景，只要设定总对应量为100，单位相关量为a，所求的量为总对应量除以单位相关量，即可构造出符合分式$\dfrac{100}{a}$的问题情境，答案不唯一，合理即可。

6.约分：
(1)$\dfrac{8m^2n}{2mn^3}$；
(2)$\dfrac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}$。

(1) $\dfrac{4m}{n^2}$；(2) $\dfrac{a+3b}{a-3b}$

(1) 先找出分子、分母的公因式，分子$8m^2n$和分母$2mn^3$的公因式为$2mn$，将分子分母同时除以公因式$2mn$，完成约分：
$\dfrac{8m^2n}{2mn^3}=\dfrac{2mn· 4m}{2mn· n^2}=\dfrac{4m}{n^2}$
(2) 先对分子、分母分别因式分解：分子利用平方差公式分解得$a^2-9b^2=(a+3b)(a-3b)$，分母利用完全平方公式分解得$a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2$，再约去公因式$(a-3b)$，完成约分：
$\dfrac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}=\dfrac{(a+3b)(a-3b)}{(a-3b)^2}=\dfrac{a+3b}{a-3b}$

7. 小明同学计划暑假期间制作 $ m $ 张祝福贺卡送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时做 $ a $ 张，制作后一半贺卡时每小时做 $ b $ 张；方式二：每小时做 $ \dfrac{a+b}{2} $ 张。已知 $ a ≠ b $，他想知道哪种方式用时较少，请你帮助他解答下列问题。
(1) 完成这 $ m $ 张祝福贺卡，方式一需要 ______ h，方式二需要 ______ h。
(2) 请你通过计算说明哪种方式用时较少。

(1) $\boldsymbol{\frac{m(a+b)}{2ab}}$；$\boldsymbol{\frac{2m}{a+b}}$ (2) 方式二用时较少。

(1) 计算方式一总用时：前一半贺卡数量为$\frac{m}{2}$，对应用时为$\frac{\frac{m}{2}}{a}=\frac{m}{2a}$，后一半贺卡对应用时为$\frac{\frac{m}{2}}{b}=\frac{m}{2b}$，求和通分可得总用时为$\frac{m}{2a}+\frac{m}{2b}=\frac{m(a+b)}{2ab}$；
方式二总用时：总贺卡数除以每小时制作数量，即$m÷\frac{a+b}{2}=\frac{2m}{a+b}$。
(2) 用作差法比较两种方式的用时大小：
计算时间差：
$\begin{aligned}\frac{m(a+b)}{2ab}-\frac{2m}{a+b}&=\frac{m(a+b)^2-4mab}{2ab(a+b)}\\&=\frac{m(a^2+2ab+b^2-4ab)}{2ab(a+b)}\\&=\frac{m(a-b)^2}{2ab(a+b)}\end{aligned}$
由题意可知$m、a、b$均为正数，且$a≠ b$，因此$(a-b)^2＞0$，可得$\frac{m(a-b)^2}{2ab(a+b)}＞0$，即$\frac{m(a+b)}{2ab}＞\frac{2m}{a+b}$，方式一用时大于方式二用时。