1. 观察下列各式:①$\frac{x+y}{x^2+2xy+y^2}$；②$\frac{(a-b)^2}{(b-a)^3}$；③$\frac{x+y}{x^2+y^2}$；④$\frac{m+n}{5π}$；⑤$\frac{5x+1}{x^2}$。其中是分式且是最简分式的有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

A

先依据定义逐一判断：
1. 分式定义：形如$\frac{A}{B}$，A、B为整式，且B中含有字母的式子为分式；最简分式定义：分子、分母没有公因式的分式为最简分式。
2. 逐个分析各式：
① $\frac{x+y}{x^2+2xy+y^2}=\frac{x+y}{(x+y)^2}$，是分式，但分子分母有公因式$x+y$，不是最简分式；
② $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^3}=\frac{(a-b)^2}{-(a-b)^3}$，是分式，但分子分母有公因式$(a-b)^2$，不是最简分式；
③ $\frac{x+y}{x^2+y^2}$，是分式，分母$x^2+y^2$无法因式分解，分子分母无公因式，属于最简分式；
④ $\frac{m+n}{5π}$，$π$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
⑤ $\frac{5x+1}{x^2}$，是分式，分子$5x+1$无法因式分解，分子分母无公因式，属于最简分式。
最终符合条件的最简分式共2个。

2. 下列运算正确的是()

A.$2 · \frac{1}{2x} · \frac{5}{2y} = \frac{5}{xy}$
B.$5xy ÷ \frac{2xy^2}{5} = \frac{2}{y}$
C.$\frac{2b^2}{5a^2} ÷ \frac{a}{2b} = \frac{b}{5a}$
D.$(y - x) · \frac{xy}{x - y} = -xy$

D

根据分式乘除运算法则逐一验证：
1. 计算A选项：$2 · \frac{1}{2x} · \frac{5}{2y} = \frac{2×1×5}{2x×2y}=\frac{5}{2xy} ≠ \frac{5}{xy}$，A错误。
2. 计算B选项：$5xy ÷ \frac{2xy^2}{5} =5xy · \frac{5}{2xy^2}=\frac{25}{2y} ≠ \frac{2}{y}$，B错误。
3. 计算C选项：$\frac{2b^2}{5a^2} ÷ \frac{a}{2b} = \frac{2b^2}{5a^2} · \frac{2b}{a}=\frac{4b^3}{5a^3} ≠ \frac{b}{5a}$，C错误。
4. 计算D选项：$(y - x) · \frac{xy}{x - y} = -(x-y) · \frac{xy}{x - y}=-xy$，D运算正确。

3.若把分式$\frac{2x}{x^2 - 25}$与$\frac{3x}{x + 5}$进行通分,则它们的最简公分母是________。

$x^2 - 25$（或$(x+5)(x-5)$）

先对两个分式的分母分别因式分解：
1. 利用平方差公式对第一个分式的分母变形：$x^2 - 25=(x+5)(x-5)$
2. 第二个分式的分母为$x+5$。
根据最简公分母的确定规则：取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，两个分母的独有因式为$x+5$、$x-5$，因此二者的最简公分母为$(x+5)(x-5)=x^2-25$。

4.若实数$a$满足$a^2 - 2a - 4 = 0$，则$(\dfrac{a+2}{a^2 - 2a} - \dfrac{a-1}{a^2 - 4a + 4}) ÷ \dfrac{a-4}{a-2} =$______。

$\dfrac{1}{4}$

1. 先对原式各分式的分母因式分解：
$a^2-2a=a(a-2)$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，原式改写为：
$[\dfrac{a+2}{a(a-2)} - \dfrac{a-1}{(a-2)^2}] ÷ \dfrac{a-4}{a-2}$
2. 计算括号内的减法，取最简公分母$a(a-2)^2$通分：
$=[\dfrac{(a+2)(a-2)}{a(a-2)^2} - \dfrac{a(a-1)}{a(a-2)^2}] · \dfrac{a-2}{a-4}$
3. 化简括号内的分子：
$(a^2-4)-(a^2-a)=a-4$，括号部分化简为$\dfrac{a-4}{a(a-2)^2}$
4. 计算乘法并约分：
$=\dfrac{a-4}{a(a-2)^2} · \dfrac{a-2}{a-4} = \dfrac{1}{a(a-2)}=\dfrac{1}{a^2-2a}$
5. 由已知$a^2-2a-4=0$，得$a^2-2a=4$，代入化简后的式子得原式的值为$\dfrac{1}{4}$

5. 分式$\dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}$的最大值是________。

$\dfrac{1}{4}$

先对分式的分母配方变形：$x^2+2x+5 = x^2+2x+1 +4 = (x+1)^2 +4$。根据平方的非负性，可知$(x+1)^2 ≥ 0$，因此$(x+1)^2 +4 ≥ 4$，即分母的最小值为4。当分母取最小值时，分式$\dfrac{1}{x^2+2x+5}$取得最大值，最大值为$\dfrac{1}{4}$。

6.阅读下面的解题过程。
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值。
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$可知，$x≠0$，$\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
$\therefore \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$。
故$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{7}$。
该题的解法叫作“倒数法”。请你利用“倒数法”解答下列问题。
(1)已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = -1$，求$\frac{x^2}{x^4 - 7x^2 + 1}$的值。
(2)已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$，$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{12}$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{18}$，求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$的值。

(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $\frac{72}{11}$

(1) 由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = -1$可知$x≠0$，对等式两边同时取倒数：
$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = -1$，拆分整理得$x + \frac{1}{x} - 3 = -1$，即$x + \frac{1}{x} = 2$。
对所求式子$\frac{x^2}{x^4 - 7x^2 + 1}$取倒数：
$\frac{x^4 - 7x^2 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} -7$，利用完全平方公式变形得：
$(x+\frac{1}{x})^2 - 2 -7 = 2^2 -9 = -5$，因此原式的值为$- \frac{1}{5}$。
(2) 对所求式子$\frac{abc}{ab + bc + ac}$取倒数：
$\frac{ab+bc+ac}{abc} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$。
将已知三个等式$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$，$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{12}$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{18}$左右两边分别相加：
$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18} = \frac{11}{36}$，整理得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{11}{72}$，因此原式的值为$\frac{72}{11}$。