1. 如图,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,已知BF=4,DE=6,则线段EF的长为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

B

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，则∠BAF+∠DAE=90°。∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AFB=∠DEA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，故∠ABF=∠DAE。在△ABF和△DAE中，$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠DEA\\∠ABF=∠DAE\\AB=AD\end{array} $，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF=DE=6，AE=BF=4，∴EF=AF - AE=6-4=2。

2. 如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一动点，PE⊥BC，PF⊥CD，若要知道阴影部分的面积，则只需要知道下列条件中的（）

A.PE的长
B.矩形PECF对角线的长
C.矩形PECF的周长
D.矩形PECF的面积

D

设正方形边长为$a$，$P$在对角线$BD$上，$PE=x$，则$BE=x$，$EC=a-x$，矩形$PECF$面积为$x(a-x)$。通过几何推导可得阴影部分面积等于矩形$PECF$的面积，因此只需知道矩形$PECF$的面积即可。

3. 下列说法正确的是.(填序号)
① 同位角相等；② 两条平行线被第三条直线截成的同位角的平分线互相平行；③ 三角形的角平分线、中线、高都是线段；④ 十边形的内角和为$1800°$；⑤两个非零单项式相乘，积的次数是这两个单项式次数的和。

②③⑤

1. 分析①：只有两直线平行时，同位角才相等，原说法未限定两直线平行，故①错误；
2. 分析②：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，其平分线分得的角也相等，根据内错角相等可证两条平分线互相平行，故②正确；
3. 分析③：三角形的角平分线、中线、高均是有两个端点的线段，故③正确；
4. 分析④：多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，十边形内角和为$(10-2)×180°=1440°≠1800°$，故④错误；
5. 分析⑤：根据单项式乘法法则，两个非零单项式相乘，积的次数等于两个单项式次数的和，故⑤正确。
综上，正确的是②③⑤。

4. 如图，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=1，PB=2，则PC的最大值是。

2√2 +1

将△BAP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△BCP'。由旋转的性质得：BP=BP'=2，P'C=PA=1，∠PBP'=90°。在Rt△PBP'中，由勾股定理得PP'=√(PB²+BP'²)=√(2²+2²)=2√2。根据三角形三边关系，PC≤PP'+P'C，当点P、P'、C共线时，PC取最大值，最大值为PP'+P'C=2√2+1。

三、解答题
5. 如图①是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门. 门槛 AB 长为 250 cm, AD, BC 分别为左右门扇的底部门宽, 且 AD=BC,关上门时,点 C 与点 D 重合. 阳光明媚的某天,将两扇门向外开到如图②的位置(平面示意图),这时阳光正好垂直照射向门槛 AB,因门的遮挡,在门槛上留下三线段 AF, FH, HB,只有线段 FH 晒到太阳,且 AF : FH : HB=24 : 11 : 15,求此时 C,D 两点间的距离.

5√290 cm

设AF=24x，FH=11x，HB=15x，由AB=250cm得：24x+11x+15x=50x=250，解得x=5，因此AF=24×5=120cm，FH=11×5=55cm，HB=15×5=75cm。
关上门时点C与D重合，且AD=BC，故AD=BC=AB÷2=125cm。
在Rt△ADF中，DF=√(AD² - AF²)=√(125² -120²)=35cm；
在Rt△BCH中，CH=√(BC² - HB²)=√(125² -75²)=100cm。
因为DF⊥AB，CH⊥AB，所以DF//CH，C、D两点间的距离为：
CD=√[FH² + (CH - DF)²]=√[55² + (100-35)²]=√(55²+65²)=5√290 cm。