1. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD=110°，则∠FPC的度数是 （）

A.35°
B.45°
C.50°
D.55°

1.D

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 利用菱形邻角互补的性质，先求出∠B的度数；2. 结合E、F是AB、BC边的中点，可得BE=BF，进而求出等腰△BEF的底角∠BEF的度数；3. 延长PF交AB的延长线于点G，利用菱形对边平行的性质证明△BGF≌△CPF，得到F是PG的中点；4. 结合EP⊥CD推出EP⊥AB，得到Rt△PEG，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出EF=PF，再通过角的和差关系最终求出∠FPC的度数。
【解析】
解：延长PF交AB的延长线于点G。
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=110°，
∴AB//CD，∠B=180°-∠BAD=70°。
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE=BF，
∴△BEF为等腰三角形，∠BEF=∠BFE=(180°-70°)÷2=55°。
∵AB//CD，
∴∠GBF=∠PCF，
又
∵BF=CF，∠BFG=∠CFP，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，即F为PG的中点。
∵EP⊥CD，AB//CD，
∴EP⊥AB，即∠PEG=90°，
在Rt△PEG中，EF是斜边PG的中线，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠FPE。
∵∠BEP=90°，∠BEF=55°，
∴∠FEP=90°-55°=35°，
∴∠FPE=35°，
又
∵∠EPC=90°，
∴∠FPC=90°-∠FPE=90°-35°=55°。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了菱形和三角形的基础几何知识点，解题的核心是通过构造全等三角形转化线段关系，结合直角三角形斜边中线的性质推导角的等量关系，对几何辅助线构造能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.65

2. 两矩形ABCD与CEFG如图放置，点B,C,E共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH. 若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）

A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$

2.B

【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系，先确定所有已知点的坐标，再利用中点坐标公式求出AF中点H的坐标，最后用两点间的距离公式计算GH的长度。该方法将几何问题转化为代数计算，无需构造复杂辅助线，符合八年级已学知识范畴，解题思路清晰易懂。
【解析】
解：以点B为坐标原点，BE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据已知条件BC=EF=2，CD=CE=1，可得各点坐标：
$A(0,1)$，$F(3,2)$，$G(2,2)$
∵H是AF的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
∴H点横坐标为$\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$，纵坐标为$\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，即$H(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$
根据两点间距离公式：两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
则$GH=\sqrt{(2-\frac{3}{2})^2+(2-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系、中点坐标公式、两点间距离公式
【点评】
本题是矩形性质与坐标法的综合应用，通过建系把几何线段长度计算转化为代数运算，是解决组合图形线段长度问题的常用思路，难度适中。
【难度系数】
0.7

3. 如图，在菱形$ABCD$中，$AB=4$，$∠ A=120°$，顺次连接菱形$ABCD$各边中点$E,F,G,H$，则四边形$EFGH$的周长为（）

A.$4+2\sqrt{3}$
B.$6+2\sqrt{3}$
C.$4+4\sqrt{3}$
D.$6+4\sqrt{3}$

3.C

【分析】
要计算中点四边形EFGH的周长，我们可以先连接菱形的两条对角线AC、BD：根据三角形中位线定理，中点四边形的各边长度分别等于菱形两条对角线长度的一半，且由菱形对角线互相垂直可知四边形EFGH是矩形，对边相等。因此只需要先求出菱形的两条对角线长度，就能得到矩形各边的长度，最终求和得到周长。具体步骤为：首先根据菱形的边长和120°内角，推出相邻内角为60°，得到短对角线AC的长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出长对角线BD的长度；最后根据中位线定理算出矩形的边长，计算周长即可。
【解析】
解：连接AC、BD，交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=120°
∴AB=BC=4，∠ABC=180°-120°=60°，AC⊥BD
∴△ABC是等边三角形，即AC=AB=4
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
∴BD=2BO=$4\sqrt{3}$
∵E、F、G、H分别是菱形各边的中点
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=2，EH=$\frac{1}{2}$BD=$2\sqrt{3}$
易证四边形EFGH是矩形，因此它的周长为：
$2×(EF+EH)=2×(2+2\sqrt{3})=4+4\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是菱形性质与中点四边形的综合应用题，解题的核心是通过连接对角线，将中点四边形的边长转化为菱形对角线长度的一半，再结合特殊三角形的性质和勾股定理求出对角线长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7

1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$,$E$,$F$分别为$AB$,$BC$,$CA$的中点.若$EF$的长为$10$,则$CD$的长为.

1.10

【分析】
解题时首先观察已知条件：E、F分别是BC、CA的中点，由此可联想到三角形中位线定理，得到EF与AB的数量关系，先求出AB的长度；再结合△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，即可得到CD与AB的数量关系，进而求出CD的长度。
【解析】
解：
∵E、F分别为BC、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AB$，
已知$EF=10$，代入得：$AB=2EF=2×10=20$。
又
∵$∠ACB=90°$，D是AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得：$CD=\frac{1}{2}AB$，
代入AB的值得：$CD=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中位线定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是准确识别中位线和直角三角形斜边中线，熟练掌握对应性质定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85

2. 如图，$□ ABCD$的顶点C在等边$△ BEF$的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若$AD=3$，$AB=CF=2$，则CG的长为.

2.$\frac{3}{2}$

【分析】
解题时先利用平行四边形对边相等、对边平行的性质，得到对应边的长度和CD与AE的平行关系；再通过构造辅助线，延长CG交AE于点H，结合G是DE中点的条件，证明△DCG和△EHG全等，得到CG=GH、CD=EH的结论；接下来结合等边三角形BEF的性质求出BE的长度，进而得到BH的长度，判断△BCH为等边三角形得到CH的长度，最后根据CG是CH的一半求出结果。
【解析】
1. 利用平行四边形性质推导已知条件
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=3$，$AB=CD=2$，且$CD// AB$（即$CD// AE$），
∴$∠ CDG=∠ HEG$。
2. 构造辅助线证明全等
延长CG交AE于点H，
∵G为DE的中点，
∴$DG=EG$，
在$△ DCG$和$△ EHG$中：
$\begin{cases}∠ CDG=∠ HEG\\DG=EG\\∠ DGC=∠ EGH\end{cases}$
∴$△ DCG≌△ EHG$（ASA），
∴$CG=HG$，$CD=EH=2$。
3. 结合等边三角形性质求CH长度
∵$△ BEF$是等边三角形，
∴$BF=BE$，$∠ CBH=60°$，
又
∵$BF=BC+CF=3+2=5$，
∴$BE=5$，
∴$BH=BE-EH=5-2=3$，
∵$BC=3$，
∴$BC=BH=3$，
∴$△ BCH$是等边三角形，
∴$CH=BC=3$。
4. 计算CG的长度
∵$CG=HG=\frac{1}{2}CH$，
∴$CG=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类典型题型，将平行四边形、全等三角形、等边三角形的性质结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，通过全等转化线段关系，对特殊几何图形性质的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

3. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E在边BC上,且EC=2BE.
(1)线段AE的长为;
(2)F为CD的中点,M为AF的中点,N为EF上一点,若∠FMN=75°,则线段MN的长为.

3.(1)$\sqrt{5}$ (2)$\frac{\sqrt{15}}{3}$

【分析】
(1) 先根据EC=2BE和BC的长度求出BE的长，再利用矩形四个角为直角的性质，在Rt△ABE中用勾股定理即可计算出AE的长度。
(2) 先分别计算EF、AF的长度，通过勾股定理逆定理证明△AEF是等腰直角三角形，得到∠AFE=45°；再结合M是AF中点求出MF的长度，过M作EF的垂线构造直角三角形，利用特殊角的直角三角形边长关系即可求出MN的长度。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
∵ BC=3，EC=2BE，
∴ $BE=\frac{1}{3}BC=1$，
在Rt△ABE中，AB=2，BE=1，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
(2) 连接EF，过M作$MH⊥ EF$于点H，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C=∠D=90°，$CD=AB=2$，$AD=BC=3$，
∵ F是CD中点，
∴ $DF=CF=1$，
∵ $EC=2BE=2$，
在Rt△ECF中，$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
在Rt△ADF中，$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵ $AE^2+EF^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10=AF^2$，
∴ △AEF是等腰直角三角形，$∠ AFE=45°$，
∵ M是AF中点，
∴ $MF=\frac{1}{2}AF=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△MFH中，$∠ MFH=45°$，
∴ $△ MFH$是等腰直角三角形，
$MH=\frac{\sqrt{2}}{2}MF=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵ $∠ FMN=75°$，
∴ $∠ NMH=∠ FMN-∠ HMF=75°-45°=30°$，
在Rt△MNH中，设$NH=x$，则$MN=2x$，由勾股定理得$MH=\sqrt{MN^2-NH^2}=\sqrt{3}x$，
∴ $\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得$x=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$，
∴ $MN=2x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $\frac{\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；特殊直角三角形性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是先通过勾股定理及其逆定理判断出△AEF为等腰直角三角形，得到特殊角度，再结合直角三角形的性质求解边长。
【难度系数】
0.65