登录
三、解答题.
请阅读下列材料:
问题:如图所示,在等边△ABC内有一点P,且AP=2,BP=$\sqrt{3}$,CP=1,求∠BPC的度数和等边△ABC的边长.
分析:直接求△ABC的边长显然比较困难,这道题目里的条件“AP=2,BP=$\sqrt{3}$,CP=1”是一组勾股数,但是比较分散,用起来不是很方便,如果通过旋转变换把它们集中在一个图形中,就可以构造出一个直角三角形,然后求出相关的角度和边长,使问题得以顺利解决.
李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(
).连接PP',可得△P'PB是等边三角形,而又由勾股定理的逆定理可证△PP'A是直角三角形,所以∠AP'B=150°,即∠BPC=∠AP'B=150°.又由在Rt△PP'A中,AP'=$\frac{1}{2}$AP,可求出∠APP'=30°,所以∠APB=90°,进而求出等边△ABC的边长为$\sqrt{7}$,使问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:
如图②所示,在正方形ABCD内有一点P,且PA=$\sqrt{5}$,PB=$\sqrt{2}$,PC=1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长.
请阅读下列材料:
问题:如图所示,在等边△ABC内有一点P,且AP=2,BP=$\sqrt{3}$,CP=1,求∠BPC的度数和等边△ABC的边长.
分析:直接求△ABC的边长显然比较困难,这道题目里的条件“AP=2,BP=$\sqrt{3}$,CP=1”是一组勾股数,但是比较分散,用起来不是很方便,如果通过旋转变换把它们集中在一个图形中,就可以构造出一个直角三角形,然后求出相关的角度和边长,使问题得以顺利解决.
李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(
).连接PP',可得△P'PB是等边三角形,而又由勾股定理的逆定理可证△PP'A是直角三角形,所以∠AP'B=150°,即∠BPC=∠AP'B=150°.又由在Rt△PP'A中,AP'=$\frac{1}{2}$AP,可求出∠APP'=30°,所以∠APB=90°,进而求出等边△ABC的边长为$\sqrt{7}$,使问题得到解决.请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:
如图②所示,在正方形ABCD内有一点P,且PA=$\sqrt{5}$,PB=$\sqrt{2}$,PC=1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长.
答案
∠BPC=135°,正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$.
解析
【分析】
参考等边三角形问题的旋转解题思路，解决本题可按以下步骤思考：①正方形内角为90°，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP'A，利用旋转的全等性质，把分散的PA、PB、PC转化到相邻的三角形中，解决线段分散难用的问题；②先证明△P'PB是等腰直角三角形，求出PP'的长度和∠BP'P的度数；③再用勾股定理的逆定理判定△AP'P是直角三角形，得到∠AP'P的度数，两个角度相加即可得∠BPC的度数；④最后构造直角三角形，用勾股定理求出正方形的边长。
【解析】
解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'。
由旋转的性质可得△BPC≌△BP'A，因此：
$BP=BP'=\sqrt{2}$，$P'A=PC=1$，$∠ PBP'=90°$，$∠ BPC=∠ BP'A$。
在$\mathrm{Rt}△ PBP'$中，$BP=BP'=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$PP'=\sqrt{BP^2+BP'^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，且$∠ BP'P=45°$。
在$△ APP'$中，$P'A=1$，$PP'=2$，$PA=\sqrt{5}$，
$\because 1^2+2^2=5=(\sqrt{5})^2$，即$P'A^2+PP'^2=PA^2$，
$\therefore △ APP'$是直角三角形，$∠ AP'P=90°$。
$\therefore ∠ BP'A=∠ AP'P+∠ BP'P=90°+45°=135°$，即$∠ BPC=135°$。
过点B作$BE⊥ AP'$，交$AP'$的延长线于点E：
$\because ∠ BP'E=180°-∠ BP'A=45°$，$\therefore △ BEP'$是等腰直角三角形。
设$BE=EP'=x$，由勾股定理得$x^2+x^2=(\sqrt{2})^2$，解得$x=1$，即$BE=EP'=1$。
$\therefore AE=AP'+EP'=1+1=2$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$∠ BPC=135°$，正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理及逆定理，正方形的性质
【点评】
本题通过旋转变换将分散的已知条件集中到同一图形中，构造特殊三角形求解角度和边长，是处理共顶点等线段几何问题的常用方法，需熟练掌握旋转前后图形全等的性质，结合勾股定理灵活应用。
【难度系数】
0.65
参考等边三角形问题的旋转解题思路，解决本题可按以下步骤思考：①正方形内角为90°，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP'A，利用旋转的全等性质，把分散的PA、PB、PC转化到相邻的三角形中，解决线段分散难用的问题；②先证明△P'PB是等腰直角三角形，求出PP'的长度和∠BP'P的度数；③再用勾股定理的逆定理判定△AP'P是直角三角形，得到∠AP'P的度数，两个角度相加即可得∠BPC的度数；④最后构造直角三角形，用勾股定理求出正方形的边长。
【解析】
解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'。
由旋转的性质可得△BPC≌△BP'A，因此：
$BP=BP'=\sqrt{2}$，$P'A=PC=1$，$∠ PBP'=90°$，$∠ BPC=∠ BP'A$。
在$\mathrm{Rt}△ PBP'$中，$BP=BP'=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$PP'=\sqrt{BP^2+BP'^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，且$∠ BP'P=45°$。
在$△ APP'$中，$P'A=1$，$PP'=2$，$PA=\sqrt{5}$，
$\because 1^2+2^2=5=(\sqrt{5})^2$，即$P'A^2+PP'^2=PA^2$，
$\therefore △ APP'$是直角三角形，$∠ AP'P=90°$。
$\therefore ∠ BP'A=∠ AP'P+∠ BP'P=90°+45°=135°$，即$∠ BPC=135°$。
过点B作$BE⊥ AP'$，交$AP'$的延长线于点E：
$\because ∠ BP'E=180°-∠ BP'A=45°$，$\therefore △ BEP'$是等腰直角三角形。
设$BE=EP'=x$，由勾股定理得$x^2+x^2=(\sqrt{2})^2$，解得$x=1$，即$BE=EP'=1$。
$\therefore AE=AP'+EP'=1+1=2$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$∠ BPC=135°$，正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理及逆定理，正方形的性质
【点评】
本题通过旋转变换将分散的已知条件集中到同一图形中，构造特殊三角形求解角度和边长，是处理共顶点等线段几何问题的常用方法，需熟练掌握旋转前后图形全等的性质，结合勾股定理灵活应用。
【难度系数】
0.65
花园花卉如何摆放
园艺师想要在广场花园里摆放12盆郁金香，要求排成6行，每行摆放4盆。请问他应该怎么规划摆放位置，才能满足这个要求？
“动动脑筋”参考答案：
$\mathrm{P}_{30}$ 谁的糖块多：原来小华糖块多. 可设小明、小华原来各有 $x,y$ 块糖, 则 $x-8+14=y+8-14$, 则 $y-x=12$. 所以原来小华比小明多12块糖.
$\mathrm{P}_{34}$ 细胞分裂：在晚上11点钟的时候孢子装满容器的$\frac{1}{3}$.
$\mathrm{P}_{40}$ 相距多远：这两艘飞行器正以每分钟20 km的速度相互接近,所以在相遇前一分钟,它们必定相距20 km.
园艺师想要在广场花园里摆放12盆郁金香，要求排成6行，每行摆放4盆。请问他应该怎么规划摆放位置，才能满足这个要求？
“动动脑筋”参考答案：
$\mathrm{P}_{30}$ 谁的糖块多：原来小华糖块多. 可设小明、小华原来各有 $x,y$ 块糖, 则 $x-8+14=y+8-14$, 则 $y-x=12$. 所以原来小华比小明多12块糖.
$\mathrm{P}_{34}$ 细胞分裂：在晚上11点钟的时候孢子装满容器的$\frac{1}{3}$.
$\mathrm{P}_{40}$ 相距多远：这两艘飞行器正以每分钟20 km的速度相互接近,所以在相遇前一分钟,它们必定相距20 km.
答案
解：可以将12盆郁金香按正六角星（两个全等的等边三角形一正一反叠加组成的六芒星图案）的所有交点位置摆放：
该图案共有6条边，每条边上恰好分布4个互不重复的交点，对应排成6行，每行4盆；所有不同的交点总数为12，刚好对应12盆郁金香，完全满足摆放要求。
答：将12盆郁金香摆放在六芒星图案的全部交点处，即可实现排成6行、每行4盆的要求。
该图案共有6条边，每条边上恰好分布4个互不重复的交点，对应排成6行，每行4盆；所有不同的交点总数为12，刚好对应12盆郁金香，完全满足摆放要求。
答：将12盆郁金香摆放在六芒星图案的全部交点处，即可实现排成6行、每行4盆的要求。
解析
【分析】
解题时首先计算如果每行花盆都不重复的总需求：6行×4盆/行=24盆，而题目仅提供12盆，说明每盆需要被2行共用。接下来我们需要寻找符合“有6条边、每条边有4个交点、总交点数为12”特征的几何图形，很容易联想到由两个全等等边三角形一正一反叠加形成的正六角星（六芒星），验证该图形的交点和边的属性是否匹配题目要求即可。
【解析】
1. 先计算不共用花盆的总需求：$6×4=24$盆，现有仅12盆，说明所有花盆都需要被2行同时计入，实现共用。
2. 选取六芒星（正六角星）作为摆放基准图形：它由两个全等的等边三角形一正一反叠加构成，共有6条边，对应题目要求的6行；每条边上恰好分布4个互不重复的交点，对应每行4盆；所有不同交点的总数恰好为12，刚好可以摆放12盆郁金香，完全满足题目要求。
【答案】
将12盆郁金香摆放在六芒星（正六角星）图案的全部交点处，即可实现排成6行、每行4盆的要求。
【知识点】
几何图形构造，交点计数，排列规划
【点评】
这是一道趣味几何应用题，打破了常规横竖排列的思维定式，需要结合几何图形特征灵活思考，能够很好地锻炼发散思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先计算如果每行花盆都不重复的总需求：6行×4盆/行=24盆，而题目仅提供12盆，说明每盆需要被2行共用。接下来我们需要寻找符合“有6条边、每条边有4个交点、总交点数为12”特征的几何图形，很容易联想到由两个全等等边三角形一正一反叠加形成的正六角星（六芒星），验证该图形的交点和边的属性是否匹配题目要求即可。
【解析】
1. 先计算不共用花盆的总需求：$6×4=24$盆，现有仅12盆，说明所有花盆都需要被2行同时计入，实现共用。
2. 选取六芒星（正六角星）作为摆放基准图形：它由两个全等的等边三角形一正一反叠加构成，共有6条边，对应题目要求的6行；每条边上恰好分布4个互不重复的交点，对应每行4盆；所有不同交点的总数恰好为12，刚好可以摆放12盆郁金香，完全满足题目要求。
【答案】
将12盆郁金香摆放在六芒星（正六角星）图案的全部交点处，即可实现排成6行、每行4盆的要求。
【知识点】
几何图形构造，交点计数，排列规划
【点评】
这是一道趣味几何应用题，打破了常规横竖排列的思维定式，需要结合几何图形特征灵活思考，能够很好地锻炼发散思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.4
