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4. 已知四边形ABCD是平行四边形，补充条件
$AC=BD$(或$∠BAD=90°$等)
（写一个即可），可使四边形ABCD是矩形。答案
4.$AC=BD$(或$∠BAD=90°$等)
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：四边形ABCD已经是平行四边形，接下来回忆矩形的判定定理中适用于平行四边形的条目：一是有一个内角为直角的平行四边形是矩形，二是对角线相等的平行四边形是矩形，我们只需从这两类条件中任选一个补充即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定规则：
1. 若补充对角线相等的条件，即$AC=BD$，依据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形；
2. 若补充一个内角为直角的条件，即$∠BAD=90°$（或$∠ABC=90°$、$∠BCD=90°$、$∠CDA=90°$均可），依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形。
以上两类条件任选其一填写即可。
【答案】
$AC=BD$(或$∠BAD=90°$等)
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，核心考查平行四边形转化为矩形的判定条件，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确已知条件：四边形ABCD已经是平行四边形，接下来回忆矩形的判定定理中适用于平行四边形的条目：一是有一个内角为直角的平行四边形是矩形，二是对角线相等的平行四边形是矩形，我们只需从这两类条件中任选一个补充即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定规则：
1. 若补充对角线相等的条件，即$AC=BD$，依据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形；
2. 若补充一个内角为直角的条件，即$∠BAD=90°$（或$∠ABC=90°$、$∠BCD=90°$、$∠CDA=90°$均可），依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形。
以上两类条件任选其一填写即可。
【答案】
$AC=BD$(或$∠BAD=90°$等)
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，核心考查平行四边形转化为矩形的判定条件，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上任意一点,过E作EF⊥BC于点F,作EG⊥CD于点G,若正方形ABCD的周长为m,则四边形EFCG的周长为
$\frac{1}{2}m$
. 答案
5.$\frac{1}{2}m$
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤走：①先根据正方形周长求出边长，明确正方形对角线的性质：对角线平分内角，可得∠DBC=45°；②由EF⊥BC、EG⊥CD及正方形∠C为直角，可判定四边形EFCG是矩形，得到对边相等的关系；③结合∠DBC=45°，可知△BEF是等腰直角三角形，得到EF=BF，将四边形EFCG的周长转化为正方形边长的2倍，即可求出结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的周长为m，
∴正方形的边长$BC=\frac{m}{4}$，且∠C=90°，对角线BD平分∠ABC，即∠DBC=45°。
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EFC=∠EGC=∠C=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴EG=FC，EF=GC。
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF。
∴四边形EFCG的周长为：
$2(EF+EG)=2(BF+FC)=2BC=2×\frac{m}{4}=\frac{1}{2}m$。
【答案】
$\frac{1}{2}m$
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过等腰直角三角形的边角关系将所求四边形的边长进行转化，把未知边长和已知正方形的边长建立联系，简化计算。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤走：①先根据正方形周长求出边长，明确正方形对角线的性质：对角线平分内角，可得∠DBC=45°；②由EF⊥BC、EG⊥CD及正方形∠C为直角，可判定四边形EFCG是矩形，得到对边相等的关系；③结合∠DBC=45°，可知△BEF是等腰直角三角形，得到EF=BF，将四边形EFCG的周长转化为正方形边长的2倍，即可求出结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的周长为m，
∴正方形的边长$BC=\frac{m}{4}$，且∠C=90°，对角线BD平分∠ABC，即∠DBC=45°。
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EFC=∠EGC=∠C=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴EG=FC，EF=GC。
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF。
∴四边形EFCG的周长为：
$2(EF+EG)=2(BF+FC)=2BC=2×\frac{m}{4}=\frac{1}{2}m$。
【答案】
$\frac{1}{2}m$
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过等腰直角三角形的边角关系将所求四边形的边长进行转化，把未知边长和已知正方形的边长建立联系，简化计算。
【难度系数】
0.7
三、解答题.
如图①,已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)试说明OE=OF;
(2)如图②,若点E在AC的延长线上,AM⊥EB的延长线于点M,交DB的延长线于点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?请说明理由.
如图①,已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)试说明OE=OF;
(2)如图②,若点E在AC的延长线上,AM⊥EB的延长线于点M,交DB的延长线于点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?请说明理由.
答案
(1)证明:易证$△ ABF ≌ △ BCE$. 故 $BF=CE$,而 $OB=OC,\therefore OE=OF$.
(2)$OE=OF$仍成立.理由略.
(2)$OE=OF$仍成立.理由略.
解析
【分析】
本题可结合正方形性质与全等三角形的知识证明线段相等：
(1) 首先根据正方形的性质可得对角线相关结论、内角度数及边长关系，再结合AM⊥BE的条件，利用同角的余角相等推导得到一组角相等，即可证明△ABF与△BCE全等，得到BF=CE，结合OB=OC作差即可推出OE=OF。
(2) 结论仍然成立，解题思路与(1)类似，依旧利用正方形固定的边角特征，结合垂直关系推导角相等，证明三角形全等，进而得到OE=OF。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°，AC⊥BD，OB=OC，对角线平分内角，即∠ABF=∠BCE=45°
∵AM⊥BE，
∴∠AME=90°
∴∠BAF + ∠ABM = 90°
又
∵∠CBE + ∠ABM = ∠ABC = 90°
∴∠BAF = ∠CBE
在△ABF和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAF=∠CBE \\AB=BC \\∠ABF=∠BCE\end{array} $
∴△ABF≌△BCE（ASA）
∴BF=CE
又
∵OB=OC
∴OB - BF = OC - CE，即OE=OF
(2) OE=OF仍成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB，∠AOB=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，
∴∠AME=90°
∴∠F + ∠OAF = 90°，∠E + ∠OAF = 90°
∴∠F = ∠E
在△AOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠AOF=∠BOE \\OA=OB \\∠F=∠E\end{array} $
∴△AOF≌△BOE（AAS）
∴OE=OF
【答案】
(1)证明:易证$△ ABF ≌ △ BCE$. 故 $BF=CE$,而 $OB=OC,\therefore OE=OF$.
(2)$OE=OF$仍成立.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的几何动态证明题，解题核心是抓住图形变化过程中不变的边角关系，利用全等三角形实现线段的等量转化，掌握特殊几何图形的性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
本题可结合正方形性质与全等三角形的知识证明线段相等：
(1) 首先根据正方形的性质可得对角线相关结论、内角度数及边长关系，再结合AM⊥BE的条件，利用同角的余角相等推导得到一组角相等，即可证明△ABF与△BCE全等，得到BF=CE，结合OB=OC作差即可推出OE=OF。
(2) 结论仍然成立，解题思路与(1)类似，依旧利用正方形固定的边角特征，结合垂直关系推导角相等，证明三角形全等，进而得到OE=OF。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°，AC⊥BD，OB=OC，对角线平分内角，即∠ABF=∠BCE=45°
∵AM⊥BE，
∴∠AME=90°
∴∠BAF + ∠ABM = 90°
又
∵∠CBE + ∠ABM = ∠ABC = 90°
∴∠BAF = ∠CBE
在△ABF和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAF=∠CBE \\AB=BC \\∠ABF=∠BCE\end{array} $
∴△ABF≌△BCE（ASA）
∴BF=CE
又
∵OB=OC
∴OB - BF = OC - CE，即OE=OF
(2) OE=OF仍成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB，∠AOB=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，
∴∠AME=90°
∴∠F + ∠OAF = 90°，∠E + ∠OAF = 90°
∴∠F = ∠E
在△AOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠AOF=∠BOE \\OA=OB \\∠F=∠E\end{array} $
∴△AOF≌△BOE（AAS）
∴OE=OF
【答案】
(1)证明:易证$△ ABF ≌ △ BCE$. 故 $BF=CE$,而 $OB=OC,\therefore OE=OF$.
(2)$OE=OF$仍成立.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的几何动态证明题，解题核心是抓住图形变化过程中不变的边角关系，利用全等三角形实现线段的等量转化，掌握特殊几何图形的性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
如何安排能在最短时间内让所有人都过桥
有a,b,c,d四人在漆黑的晚上要从桥的东边到西边,桥一次最多只能走两人,且只有一支手电筒,过桥时必须用手电筒,四人过桥最快所需时间分别为:a需2分钟、b需3分钟、c需8分钟、d需10分钟,走得快的人要等走得慢的人,问如何安排能在最短时间内让所有人都过桥？
有a,b,c,d四人在漆黑的晚上要从桥的东边到西边,桥一次最多只能走两人,且只有一支手电筒,过桥时必须用手电筒,四人过桥最快所需时间分别为:a需2分钟、b需3分钟、c需8分钟、d需10分钟,走得快的人要等走得慢的人,问如何安排能在最短时间内让所有人都过桥？
答案
解：
安排步骤如下：
1. a和b同时从东边过桥到西边，耗时3分钟，之后a带手电筒返回东边，耗时2分钟，累计用时：$3+2=5$分钟。
2. c和d同时从东边过桥到西边，耗时10分钟，之后b带手电筒返回东边，耗时3分钟，累计用时：$5+10+3=18$分钟。
3. a和b同时从东边过桥到西边，耗时3分钟，累计总用时：$18+3=21$分钟。
该方案为最短耗时方案，总用时21分钟。
答：按照上述三步安排，仅需21分钟就能让所有人全部过桥，是满足条件的最短时间安排。
安排步骤如下：
1. a和b同时从东边过桥到西边，耗时3分钟，之后a带手电筒返回东边，耗时2分钟，累计用时：$3+2=5$分钟。
2. c和d同时从东边过桥到西边，耗时10分钟，之后b带手电筒返回东边，耗时3分钟，累计用时：$5+10+3=18$分钟。
3. a和b同时从东边过桥到西边，耗时3分钟，累计总用时：$18+3=21$分钟。
该方案为最短耗时方案，总用时21分钟。
答：按照上述三步安排，仅需21分钟就能让所有人全部过桥，是满足条件的最短时间安排。
解析
【分析】
这是一道统筹优化类的时间安排题，解题核心是通过合理安排人员搭配降低总耗时，优化思路可分为两点：① 过桥耗时很长的c、d两人结伴过桥，避免两人分别过桥时重复累加长耗时，节省总时间；② 返程送手电筒的人员尽量选过桥耗时短的，减少返程环节浪费的时间。按照该思路，先安排速度最快的a、b先过桥，保证对岸有速度快的人可送回手电筒，再安排c、d结伴过桥，最后由快的人员返程后一同过桥，即可得到最短耗时方案。
【解析】
安排步骤如下：
1. a和b同时从东边过桥到西边，按较慢的b的速度计算耗时3分钟，之后a带手电筒返回东边，耗时2分钟，累计用时：$3+2=5$分钟。
2. c和d同时从东边过桥到西边，按较慢的d的速度计算耗时10分钟，之后b带手电筒返回东边，耗时3分钟，累计用时：$5+10+3=18$分钟。
3. a和b再次同时从东边过桥到西边，耗时3分钟，累计总用时：$18+3=21$分钟。
【答案】
按照上述三步安排，仅需21分钟就能让所有人全部过桥，是满足条件的最短时间安排。
【知识点】
统筹优化，最优策略，时间规划
【点评】
这道题是经典的最优规划类问题，解题时需要跳出“最快的人来回送手电”的惯性思维，抓住减少长耗时重复计算、短耗时人员负责返程的核心原则，能有效锻炼逻辑推理和全局规划能力。
【难度系数】
0.5
这是一道统筹优化类的时间安排题，解题核心是通过合理安排人员搭配降低总耗时，优化思路可分为两点：① 过桥耗时很长的c、d两人结伴过桥，避免两人分别过桥时重复累加长耗时，节省总时间；② 返程送手电筒的人员尽量选过桥耗时短的，减少返程环节浪费的时间。按照该思路，先安排速度最快的a、b先过桥，保证对岸有速度快的人可送回手电筒，再安排c、d结伴过桥，最后由快的人员返程后一同过桥，即可得到最短耗时方案。
【解析】
安排步骤如下：
1. a和b同时从东边过桥到西边，按较慢的b的速度计算耗时3分钟，之后a带手电筒返回东边，耗时2分钟，累计用时：$3+2=5$分钟。
2. c和d同时从东边过桥到西边，按较慢的d的速度计算耗时10分钟，之后b带手电筒返回东边，耗时3分钟，累计用时：$5+10+3=18$分钟。
3. a和b再次同时从东边过桥到西边，耗时3分钟，累计总用时：$18+3=21$分钟。
【答案】
按照上述三步安排，仅需21分钟就能让所有人全部过桥，是满足条件的最短时间安排。
【知识点】
统筹优化，最优策略，时间规划
【点评】
这道题是经典的最优规划类问题，解题时需要跳出“最快的人来回送手电”的惯性思维，抓住减少长耗时重复计算、短耗时人员负责返程的核心原则，能有效锻炼逻辑推理和全局规划能力。
【难度系数】
0.5
