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一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是 ()
A. 25 m
B. 50 m
C. 75 m
D. 100 m
1. 如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是 ()
A. 25 m
B. 50 m
C. 75 m
D. 100 m
答案
解：
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得$AB=2DE$。
∵$DE=50\ \mathrm{m}$，
∴$AB=2×50=100\ \mathrm{m}$。
故选D。
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得$AB=2DE$。
∵$DE=50\ \mathrm{m}$，
∴$AB=2×50=100\ \mathrm{m}$。
故选D。
2. 如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 ()
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
D
解析
连接BD，交AC于点O。
因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD=1，AC⊥BD，AO=CO，∠OAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°。
又因为∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形，BD=AB=1，BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=$\sqrt{AB^2 - BO^2}$=$\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此AC=2AO=$\sqrt{3}$。
因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD=1，AC⊥BD，AO=CO，∠OAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°。
又因为∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形，BD=AB=1，BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=$\sqrt{AB^2 - BO^2}$=$\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此AC=2AO=$\sqrt{3}$。
3. 如图,在$□ ABCD$中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是 ()
A.BO=DO
B.∠BAD=∠BCD
C.CD=AB
D.AC=BD
A.BO=DO
B.∠BAD=∠BCD
C.CD=AB
D.AC=BD
答案
D
解析
根据平行四边形的性质：
1. 平行四边形对角线互相平分，可得$BO=DO$，A结论成立；
2. 平行四边形对角相等，可得$∠ BAD=∠ BCD$，B结论成立；
3. 平行四边形对边相等，可得$CD=AB$，C结论成立；
4. 平行四边形的对角线不一定相等，仅矩形等特殊平行四边形的对角线相等，故$AC=BD$不一定成立。
1. 平行四边形对角线互相平分，可得$BO=DO$，A结论成立；
2. 平行四边形对角相等，可得$∠ BAD=∠ BCD$，B结论成立；
3. 平行四边形对边相等，可得$CD=AB$，C结论成立；
4. 平行四边形的对角线不一定相等，仅矩形等特殊平行四边形的对角线相等，故$AC=BD$不一定成立。
4. 如图,矩形ABCD被对角线AC,BD分成四个小三角形,这四个小三角形的周长之和是68,AC=10,则矩形ABCD的周长是 ()
A.48
B.38
C.28
D.14
A.48
B.38
C.28
D.14
答案
C
解析
因为矩形对角线相等且互相平分，所以AC=BD=10，AO+CO=AC，BO+DO=BD。
四个小三角形周长之和可整理为：矩形ABCD的周长 + 2(AO+BO+CO+DO)，而2(AO+BO+CO+DO)=2(AC+BD)=2×(10+10)=40。
已知四个小三角形周长之和为68，设矩形周长为C，则C + 40=68，解得C=28。
四个小三角形周长之和可整理为：矩形ABCD的周长 + 2(AO+BO+CO+DO)，而2(AO+BO+CO+DO)=2(AC+BD)=2×(10+10)=40。
已知四个小三角形周长之和为68，设矩形周长为C，则C + 40=68，解得C=28。
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高,CE是边AB上的中线,AD=3,CE=5,则CD的长是 ()
A.3
B.4
C.$\sqrt{21}$
D.$\sqrt{29}$
A.3
B.4
C.$\sqrt{21}$
D.$\sqrt{29}$
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AB=2CE=10，故AE=½AB=5。已知AD=3，所以DE=AE-AD=5-3=2。因为CD是AB边上的高，所以∠CDE=90°，在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=√(CE²-DE²)=√(5²-2²)=√21。
