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6. 下列命题正确的是 ()
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
答案
A
解析
逐一分析选项：
A. 正方形是特殊的矩形，矩形的对角线相等且互相平分，因此正方形的对角线相等且互相平分，该命题正确；
B. 对角互补的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角互补，但不是平行四边形，该命题错误；
C. 矩形的对角线相等且互相平分，但普通矩形的对角线不互相垂直，该命题错误；
D. 一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，该命题错误。
综上，正确的命题是A。
A. 正方形是特殊的矩形，矩形的对角线相等且互相平分，因此正方形的对角线相等且互相平分，该命题正确；
B. 对角互补的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角互补，但不是平行四边形，该命题错误；
C. 矩形的对角线相等且互相平分，但普通矩形的对角线不互相垂直，该命题错误；
D. 一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，该命题错误。
综上，正确的命题是A。
7. 正八边形每一个外角的度数为 ()
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
B
解析
多边形的外角和为360°，正八边形的8个外角均相等，因此每一个外角的度数为360°÷8=45°。
8. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F,P为BC上的一点.当∠PAE=∠DAE时,AP的长为 ()
A.4
B.$\frac{17}{4}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
A.4
B.$\frac{17}{4}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
B
解析
1. 四边形ABCD是矩形，故$AD// BC$，$∠ D=∠ ECF=90°$，$AD=BC=4$，$AB=CD=2$。
2. E为CD中点，得$DE=CE=1$。
3. 在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ D=∠ ECF\\DE=CE\\∠ AED=∠ FEC\end{cases}$，故$△ ADE≌△ FCE$（ASA），则$AD=CF=4$，$BF=BC+CF=8$。
4. 由$AD// BC$得$∠ DAE=∠ F$，结合$∠ PAE=∠ DAE$，得$∠ PAE=∠ F$，故$AP=PF$。
5. 设$BP=x$，则$PF=8-x$，即$AP=8-x$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由勾股定理：$AB^2+BP^2=AP^2$，代入得$2^2+x^2=(8-x)^2$。
7. 解方程得$x=\frac{15}{4}$，则$AP=8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$。
2. E为CD中点，得$DE=CE=1$。
3. 在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ D=∠ ECF\\DE=CE\\∠ AED=∠ FEC\end{cases}$，故$△ ADE≌△ FCE$（ASA），则$AD=CF=4$，$BF=BC+CF=8$。
4. 由$AD// BC$得$∠ DAE=∠ F$，结合$∠ PAE=∠ DAE$，得$∠ PAE=∠ F$，故$AP=PF$。
5. 设$BP=x$，则$PF=8-x$，即$AP=8-x$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由勾股定理：$AB^2+BP^2=AP^2$，代入得$2^2+x^2=(8-x)^2$。
7. 解方程得$x=\frac{15}{4}$，则$AP=8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$。
9. 如图,矩形ABCD的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长是 ()
A.7.5
B.6
C.10
D.5
A.7.5
B.6
C.10
D.5
答案
A
解析
连接AC，设AE=x，由折叠性质得AE=EC=x，则ED=8-x。在Rt△EDC中，由勾股定理得：(8-x)²+6²=x²，解得x=25/4。
计算AC长度：AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10，由折叠性质知EF垂直平分AC，设AC与EF交于O，则AO=5，∠AOE=90°。
在Rt△AOE中，EO=√(AE²-AO²)=√((25/4)²-5²)=15/4，故EF=2EO=15/2=7.5。
计算AC长度：AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10，由折叠性质知EF垂直平分AC，设AC与EF交于O，则AO=5，∠AOE=90°。
在Rt△AOE中，EO=√(AE²-AO²)=√((25/4)²-5²)=15/4，故EF=2EO=15/2=7.5。
10. 如图,四边形OABC为正方形,边长为6,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA上,且点D的坐标为(2,0),P是OB上的一动点,则PD+PA的最小值是 ()
A.$2\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.4
D.6
A.$2\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.4
D.6
答案
A
解析
因为四边形OABC是正方形，OB为对角线，所以点A关于OB的对称点为点C，故PA=PC。则PD+PA=PD+PC，根据两点之间线段最短，当P、D、C三点共线时，PD+PC取得最小值，即CD的长度。
已知C(0,6)，D(2,0)，由勾股定理得：
CD=√[(6-0)²+(0-2)²]=√(36+4)=√40=2√10，
即PD+PA的最小值为2√10。
已知C(0,6)，D(2,0)，由勾股定理得：
CD=√[(6-0)²+(0-2)²]=√(36+4)=√40=2√10，
即PD+PA的最小值为2√10。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 如图,已知直线$l_{1}// l_{2}$,含$30°$角的三角板的直角顶点C在$l_{1}$上,$30°$角的顶点A在$l_{2}$上.如果边AB与$l_{1}$的交点D是AB的中点,那么∠1=°.
11. 如图,已知直线$l_{1}// l_{2}$,含$30°$角的三角板的直角顶点C在$l_{1}$上,$30°$角的顶点A在$l_{2}$上.如果边AB与$l_{1}$的交点D是AB的中点,那么∠1=°.
答案
解：
∵ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ CD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴ ∠B=90°-30°=60°，
∴ △BCD是等边三角形，
∴ ∠BDC=60°，
∴ ∠ADC=180°-∠BDC=120°。
∵ $ l_{1} // l_{2} $，
∴ ∠1=∠ADC=120°（两直线平行，同位角相等）。
最终结论：$\boldsymbol{120}$
∵ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ CD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴ ∠B=90°-30°=60°，
∴ △BCD是等边三角形，
∴ ∠BDC=60°，
∴ ∠ADC=180°-∠BDC=120°。
∵ $ l_{1} // l_{2} $，
∴ ∠1=∠ADC=120°（两直线平行，同位角相等）。
最终结论：$\boldsymbol{120}$
12. 如图,在$□ ABCD$中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则$□ ABCD$的周长是.
答案
20
解析
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC=6$，$AB=CD$。
2. 由于$DE$平分$∠ ADC$，故$∠ ADE=∠ CDE$。
3. 由$AD// BC$，可得$∠ ADE=∠ DEC$，进而$∠ CDE=∠ DEC$，因此$CD=CE$。
4. 计算$CE$：$CE=BC-BE=6-2=4$，所以$CD=4$。
5. 平行四边形$ABCD$的周长$=2×(AD+CD)=2×(6+4)=20$。
2. 由于$DE$平分$∠ ADC$，故$∠ ADE=∠ CDE$。
3. 由$AD// BC$，可得$∠ ADE=∠ DEC$，进而$∠ CDE=∠ DEC$，因此$CD=CE$。
4. 计算$CE$：$CE=BC-BE=6-2=4$，所以$CD=4$。
5. 平行四边形$ABCD$的周长$=2×(AD+CD)=2×(6+4)=20$。
13. 下列给出的条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的为(填序号).
①AB=CD,AD=BC;②AD=BC,$AD// BC$;③AB=CD,∠B=∠D;④$AB// CD$,∠A=∠C.
①AB=CD,AD=BC;②AD=BC,$AD// BC$;③AB=CD,∠B=∠D;④$AB// CD$,∠A=∠C.
答案
③
解析
根据平行四边形的判定定理逐一分析：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定；
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定；
③仅AB=CD，∠B=∠D，无法依据判定定理推出四边形ABCD是平行四边形，不能判定；
④由AB//CD得∠A+∠D=180°，结合∠A=∠C，得∠C+∠D=180°，故AD//BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定。
综上，不能判定的是③。
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定；
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定；
③仅AB=CD，∠B=∠D，无法依据判定定理推出四边形ABCD是平行四边形，不能判定；
④由AB//CD得∠A+∠D=180°，结合∠A=∠C，得∠C+∠D=180°，故AD//BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定。
综上，不能判定的是③。
