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9.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$∠ C=90°$,$DE⊥ AB$于点E,点F在AC上,$BD=DF$。
(1)求证:$CF=EB$；
(2)若$AB=12$,$AF=8$,求$CF$的长。
(1)求证:$CF=EB$；
(2)若$AB=12$,$AF=8$,求$CF$的长。
答案
9.(1)证明:
∵AD 平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB 于点E,
∴DE=DC。
在Rt△CDF与Rt△EDB中，$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)。
∴CF=EB。
(2)解:设CF=x,由(1)得EB=x,
则AE=12−x,
在Rt△ACD与Rt△AED中，$\begin{cases} AD=AD, \\ CD=DE, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)。
∴AC=AE,即8+x=12−x,
解得x=2,即CF=2。
∵AD 平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB 于点E,
∴DE=DC。
在Rt△CDF与Rt△EDB中，$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)。
∴CF=EB。
(2)解:设CF=x,由(1)得EB=x,
则AE=12−x,
在Rt△ACD与Rt△AED中，$\begin{cases} AD=AD, \\ CD=DE, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)。
∴AC=AE,即8+x=12−x,
解得x=2,即CF=2。
解析
【分析】
(1)要证CF=EB，可通过证明两条线段所在的Rt△CDF与Rt△EDB全等推导。首先根据角平分线的性质，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，可得DC=DE，再结合已知BD=DF，利用HL定理即可证明两个直角三角形全等，进而得到对应边相等。
(2)求CF的长可采用方程思想，设CF=x，由(1)可知EB=x，先证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，再将AC表示为AF+CF=8+x，AE表示为AB-EB=12-x，根据AC=AE列方程求解即可得到CF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，
∴DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB。
(2)解：设CF=x，由(1)得EB=x，
则AE=AB-EB=12−x。
在Rt△ACD与Rt△AED中，
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=DE \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
又
∵AC=AF+CF=8+x，
∴8+x=12−x，
解得x=2，即CF=2。
【答案】
(1)CF=EB得证；(2)CF=2
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将角平分线性质、全等三角形的判定与性质结合考查，第二问运用方程思想求解线段长度是几何计算的常用方法，熟练掌握相关定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)要证CF=EB，可通过证明两条线段所在的Rt△CDF与Rt△EDB全等推导。首先根据角平分线的性质，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，可得DC=DE，再结合已知BD=DF，利用HL定理即可证明两个直角三角形全等，进而得到对应边相等。
(2)求CF的长可采用方程思想，设CF=x，由(1)可知EB=x，先证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，再将AC表示为AF+CF=8+x，AE表示为AB-EB=12-x，根据AC=AE列方程求解即可得到CF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，
∴DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB。
(2)解：设CF=x，由(1)得EB=x，
则AE=AB-EB=12−x。
在Rt△ACD与Rt△AED中，
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=DE \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
又
∵AC=AF+CF=8+x，
∴8+x=12−x，
解得x=2，即CF=2。
【答案】
(1)CF=EB得证；(2)CF=2
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将角平分线性质、全等三角形的判定与性质结合考查，第二问运用方程思想求解线段长度是几何计算的常用方法，熟练掌握相关定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
10.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF=
10°
。答案
10.10°
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠BAC的度数；②根据题中给出的尺规作图步骤，判断AF是∠BAC的角平分线，由此求出∠BAF的度数；③结合AD是BC边上的高，在直角△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；④最后用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 30° = 100°$。
2. 判断AF的性质并求∠BAF：
由尺规作图的操作步骤可知，AF是∠BAC的角平分线，因此$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
3. 求∠BAD的度数：
因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB = 90°$，在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 50° = 40°$。
4. 计算∠DAF：
$∠ DAF = ∠ BAF - ∠ BAD = 50° - 40° = 10°$。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的尺规作图；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是准确识别尺规作图的类型，再结合三角形的基本性质逐步推导角度，计算量小，是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠BAC的度数；②根据题中给出的尺规作图步骤，判断AF是∠BAC的角平分线，由此求出∠BAF的度数；③结合AD是BC边上的高，在直角△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；④最后用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 30° = 100°$。
2. 判断AF的性质并求∠BAF：
由尺规作图的操作步骤可知，AF是∠BAC的角平分线，因此$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
3. 求∠BAD的度数：
因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB = 90°$，在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 50° = 40°$。
4. 计算∠DAF：
$∠ DAF = ∠ BAF - ∠ BAD = 50° - 40° = 10°$。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的尺规作图；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是准确识别尺规作图的类型，再结合三角形的基本性质逐步推导角度，计算量小，是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ ACB=90°$，且$BC=2$，$MN$为$AC$的垂直平分线，设点$P$为直线$MN$上任一点，则$PB+PC$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
11.4
解析
【分析】
本题属于最短路径求值问题，解题思路如下：首先根据垂直平分线的性质，可得直线MN上任意一点P到点C和点A的距离相等，即可将PB+PC转化为PB+PA；再根据两点之间线段最短，可知PB+PA的最小值即为线段AB的长度；最后结合含30°角的直角三角形的性质计算AB的长度，即可得到结果。
【解析】
∵ MN是AC的垂直平分线，点P在MN上
∴ PC=PA（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ PB+PC=PB+PA
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，PB+PA取得最小值，最小值为AB的长度。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴ AB=2BC=2×2=4
即PB+PC的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂直平分线的性质；最短路径问题；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的典型考题，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段和的转化，再结合特殊直角三角形的性质计算结果，解题时要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径求值问题，解题思路如下：首先根据垂直平分线的性质，可得直线MN上任意一点P到点C和点A的距离相等，即可将PB+PC转化为PB+PA；再根据两点之间线段最短，可知PB+PA的最小值即为线段AB的长度；最后结合含30°角的直角三角形的性质计算AB的长度，即可得到结果。
【解析】
∵ MN是AC的垂直平分线，点P在MN上
∴ PC=PA（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ PB+PC=PB+PA
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，PB+PA取得最小值，最小值为AB的长度。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2
∵ 30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴ AB=2BC=2×2=4
即PB+PC的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂直平分线的性质；最短路径问题；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的典型考题，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段和的转化，再结合特殊直角三角形的性质计算结果，解题时要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
