12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB＞90°$，$AC$边的垂直平分线$DM$交$AC$于点$D$，交$AB$于点$M$，$BC$边的垂直平分线$EN$交$BC$于点$E$，交$AB$于点$N$，$DM$与$EN$相交于点$F$。
(1)若$△ CMN$的周长为20 cm，求$AB$的长；
(2)若$∠ MFN=70°$，求$∠ MCN$的度数。

12.解:(1)
∵DM 是AC 边的垂直平分线，
∴MA=MC。
∵EN 是BC 边的垂直平分线，
∴NB=NC。
∵△CMN 的周长=MC+MN+NC=20 cm，
∴AM+MN+NB=20 cm。
即AB=20 cm。
(2)
∵MD⊥AC,NE⊥BC,
∴∠CDF=∠CEF=90°。
易得∠CDF + ∠CEF + ∠MFN + ∠ACB=360°,
∴∠ACB=180°−∠MFN=110°。
∴∠A+∠B=180°−∠ACB=70°。
∵MA=MC,NB=NC,
∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B。
∴∠MCA+∠NCB=∠A+∠B=70°。
∴ ∠MCN = ∠ACB − (∠MCA + ∠NCB)=40°。

【分析】
(1) 要求AB的长度，已知△CMN的周长，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到MA=MC、NB=NC，将△CMN的周长转化为AB上线段的和，即可直接求出AB的长。
(2) 求∠MCN的度数时，先在四边形CDFE中利用四边形内角和为360°，结合已知的直角和∠MFN的度数求出∠ACB，再通过三角形内角和得到∠A+∠B的度数，结合等边对等角的性质得到∠MCA=∠A、∠NCB=∠B，最后用∠ACB减去∠MCA与∠NCB的和即可得出结果。
【解析】
(1)
∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC。
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC。
∵△CMN的周长=MC+MN+NC=20 cm，
∴AM+MN+NB=20 cm，
即AB=20 cm。
(2)
∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠CDF=∠CEF=90°。
∵四边形CDFE内角和为360°，即∠CDF + ∠CEF + ∠MFN + ∠ACB=360°，
∴∠ACB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠A+∠B=180°−∠ACB=70°。
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCA+∠NCB=∠A+∠B=70°，
∴∠MCN = ∠ACB − (∠MCA + ∠NCB)=110°-70°=40°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB=20\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{∠ MCN=40°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等边对等角
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查等量代换思想的应用，解题关键是利用垂直平分线的性质完成线段、角度的等量转化，将未知量和已知量建立关联。
【难度系数】
0.65