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5. 如图，线段AB，BC 的垂直平分线相交于点O，连接OA，OC。若∠AOC=80°，则∠B 的度数为
第5题图 第6题图 第7题图
40°
。第5题图 第6题图 第7题图
答案
5.40°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB、BC的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接OB即可得到OA=OB=OC，进而得到等腰三角形。再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合周角为360°的规律，即可建立已知∠AOC和未知∠B的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接OB，
∵ 点O是线段AB、BC的垂直平分线的交点，
∴ OA=OB，OB=OC，
∴ OA=OB=OC，
∴ ∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB。
在△OAB中，由三角形内角和定理得：$∠ AOB=180°-2∠ OBA$，
在△OBC中，由三角形内角和定理得：$∠ BOC=180°-2∠ OBC$，
∵ 以O为顶点的周角为$360°$，即$∠ AOB + ∠ BOC + ∠ AOC = 360°$，且已知$∠ AOC=80°$，
∴ $∠ AOB + ∠ BOC = 360° - 80° = 280°$，
将$∠ AOB$和$∠ BOC$的表达式代入得：
$(180°-2∠ OBA) + (180°-2∠ OBC) = 280°$，
化简得：$360° - 2(∠ OBA + ∠ OBC) = 280°$，
又
∵ $∠ OBA + ∠ OBC = ∠ ABC$，
∴ $360° - 2∠ ABC = 280°$，
解得：$∠ ABC = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的突破口是作辅助线OB构造等腰三角形，将分散的角的条件集中建立关联，是垂直平分线与等腰三角形结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：AB、BC的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接OB即可得到OA=OB=OC，进而得到等腰三角形。再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合周角为360°的规律，即可建立已知∠AOC和未知∠B的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接OB，
∵ 点O是线段AB、BC的垂直平分线的交点，
∴ OA=OB，OB=OC，
∴ OA=OB=OC，
∴ ∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB。
在△OAB中，由三角形内角和定理得：$∠ AOB=180°-2∠ OBA$，
在△OBC中，由三角形内角和定理得：$∠ BOC=180°-2∠ OBC$，
∵ 以O为顶点的周角为$360°$，即$∠ AOB + ∠ BOC + ∠ AOC = 360°$，且已知$∠ AOC=80°$，
∴ $∠ AOB + ∠ BOC = 360° - 80° = 280°$，
将$∠ AOB$和$∠ BOC$的表达式代入得：
$(180°-2∠ OBA) + (180°-2∠ OBC) = 280°$，
化简得：$360° - 2(∠ OBA + ∠ OBC) = 280°$，
又
∵ $∠ OBA + ∠ OBC = ∠ ABC$，
∴ $360° - 2∠ ABC = 280°$，
解得：$∠ ABC = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的突破口是作辅助线OB构造等腰三角形，将分散的角的条件集中建立关联，是垂直平分线与等腰三角形结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}$等于
2:3:4
。答案
6.2:3:4
解析
【分析】
本题要求角平分线交点分成的三个三角形的面积比，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。由此可知点O到△ABC三边的距离相等，即三个三角形的高相等。而三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，当高相等时，面积比就等于对应底边长的比，因此只需计算△ABC三边的长度比即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、CA三边的距离相等，设该距离为$h$。
则三个三角形的面积分别为：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×h$，
$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×h$，
$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×h$，
因此$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=AB:BC:CA$。
已知AB=20，BC=30，CA=40，代入得：
$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=20:30:40=2:3:4$。
【答案】
2:3:4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，简化了计算，属于几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
本题要求角平分线交点分成的三个三角形的面积比，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。由此可知点O到△ABC三边的距离相等，即三个三角形的高相等。而三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，当高相等时，面积比就等于对应底边长的比，因此只需计算△ABC三边的长度比即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、CA三边的距离相等，设该距离为$h$。
则三个三角形的面积分别为：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×h$，
$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×h$，
$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×h$，
因此$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=AB:BC:CA$。
已知AB=20，BC=30，CA=40，代入得：
$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=20:30:40=2:3:4$。
【答案】
2:3:4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，简化了计算，属于几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$，$DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，垂足分别为点$E$，$F$，且$BC=4$，$DE=2$，则$△ BCD$的面积是
4
。答案
7.4
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，发现CD是∠ACB的角平分线，且DE、DF分别是点D到∠ACB两边的垂线段，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到DF的长度等于DE；要求△BCD的面积，已知底BC的长度，只需要找到BC边上的高DF，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质，可得DF=DE=2，
又
∵BC=4，DF是△BCD中BC边上的高，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对角平分线性质的理解与应用，解题的突破口是结合角平分线性质得到所求三角形的高，只要熟练掌握相关基础知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件，发现CD是∠ACB的角平分线，且DE、DF分别是点D到∠ACB两边的垂线段，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到DF的长度等于DE；要求△BCD的面积，已知底BC的长度，只需要找到BC边上的高DF，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质，可得DF=DE=2，
又
∵BC=4，DF是△BCD中BC边上的高，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对角平分线性质的理解与应用，解题的突破口是结合角平分线性质得到所求三角形的高，只要熟练掌握相关基础知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8.已知:如图,在$△ ABC$中,ON是AB的垂直平分线,$OA=OC$。求证:点O在BC的垂直平分线上。
答案
8.证明:
∵ON 是AB 的垂直平分线，
∴OA=OB。
∵OA=OC,
∴OB=OC。
∴点 O 在 BC 的垂直平分线上。
∵ON 是AB 的垂直平分线，
∴OA=OB。
∵OA=OC,
∴OB=OC。
∴点 O 在 BC 的垂直平分线上。
解析
【分析】
要证明点O在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证得OB=OC即可。首先从已知条件“ON是AB的垂直平分线”出发，利用线段垂直平分线的性质可推出OA=OB，再结合题目给出的OA=OC，通过等量代换就能得到OB=OC，满足垂直平分线的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ON是AB的垂直平分线，
∴OA=OB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵OA=OC，
∴OB=OC（等量代换）。
∴点O在BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明:
∵ON 是AB 的垂直平分线，
∴OA=OB。
∵OA=OC,
∴OB=OC。
∴点 O 在 BC 的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查线段垂直平分线性质与判定的综合应用，解题关键是找准中间量OA完成线段等量关系的代换，对逻辑推理能力的要求较低，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明点O在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证得OB=OC即可。首先从已知条件“ON是AB的垂直平分线”出发，利用线段垂直平分线的性质可推出OA=OB，再结合题目给出的OA=OC，通过等量代换就能得到OB=OC，满足垂直平分线的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ON是AB的垂直平分线，
∴OA=OB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵OA=OC，
∴OB=OC（等量代换）。
∴点O在BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明:
∵ON 是AB 的垂直平分线，
∴OA=OB。
∵OA=OC,
∴OB=OC。
∴点 O 在 BC 的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查线段垂直平分线性质与判定的综合应用，解题关键是找准中间量OA完成线段等量关系的代换，对逻辑推理能力的要求较低，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
