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1. 如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可从任意一个洞口跑出。若猫要兼顾三个洞口(到A，B，C三点的距离相等)，尽快抓住老鼠，应蹲在 （
A.$△ ABC$ 三条角平分线的交点
B.$△ ABC$ 三条边的中线的交点
C.$△ ABC$ 三条高的交点
D.$△ ABC$ 三条边的垂直平分线的交点
D
）A.$△ ABC$ 三条角平分线的交点
B.$△ ABC$ 三条边的中线的交点
C.$△ ABC$ 三条高的交点
D.$△ ABC$ 三条边的垂直平分线的交点
答案
1.D
解析
【分析】
要找到同时到A、B、C三点距离相等的点，可结合线段垂直平分线的性质推导：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在BC的垂直平分线上，到A、C距离相等的点在AC的垂直平分线上，同时满足三个条件的点就是三条边垂直平分线的交点。再结合其他选项对应交点的性质逐一排除即可。
【解析】
我们逐个分析选项对应交点的性质：
A. 三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不满足到三个顶点距离相等的要求，故A错误；
B. 三角形三条中线的交点是重心，不具备到三个顶点距离相等的性质，故B错误；
C. 三角形三条高的交点是垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，故C错误；
D. 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形外心定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查三角形各特殊线段交点的性质，解题的关键是区分“到顶点距离相等”和“到边距离相等”对应的不同结论，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
要找到同时到A、B、C三点距离相等的点，可结合线段垂直平分线的性质推导：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在BC的垂直平分线上，到A、C距离相等的点在AC的垂直平分线上，同时满足三个条件的点就是三条边垂直平分线的交点。再结合其他选项对应交点的性质逐一排除即可。
【解析】
我们逐个分析选项对应交点的性质：
A. 三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不满足到三个顶点距离相等的要求，故A错误；
B. 三角形三条中线的交点是重心，不具备到三个顶点距离相等的性质，故B错误；
C. 三角形三条高的交点是垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，故C错误；
D. 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形外心定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查三角形各特殊线段交点的性质，解题的关键是区分“到顶点距离相等”和“到边距离相等”对应的不同结论，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
2. 如图,点 P 在∠AOB 内部的一条射线上,PQ⊥OA 于点 Q,且 PQ=4。已知点 P 到射线 OB 的最小距离为 4,且∠OPQ=65°,则∠AOB 的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题首先要明确：点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此点P到OB的最小距离4就是P到OB的垂线段长度；已知PQ⊥OA且PQ=4，说明点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定定理可推出OP是∠AOB的角平分线。接下来在直角三角形OPQ中，利用直角三角形两锐角互余算出∠POA的度数，再乘2即可得到∠AOB的度数。
【解析】
1. 由垂线段最短的性质可知，点P到射线OB的最小距离4就是点P到OB的垂线段的长度。
2. 已知PQ⊥OA，PQ=4，即点P到OA的距离为4，因此点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB，即$∠ AOB=2∠ POA$。
3. 在$Rt△ OPQ$中，$∠ OQP=90°$，$∠ OPQ=65°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ POA=90°-∠ OPQ=90°-65°=25°$。
4. 因此$∠ AOB=2×25°=50°$。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短、角平分线的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的突破口是结合“点到直线的最小距离是垂线段长度”判断出点P到角两边距离相等，从而得到角平分线，再结合直角三角形的角度关系计算即可，考查了对基础几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确：点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此点P到OB的最小距离4就是P到OB的垂线段长度；已知PQ⊥OA且PQ=4，说明点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定定理可推出OP是∠AOB的角平分线。接下来在直角三角形OPQ中，利用直角三角形两锐角互余算出∠POA的度数，再乘2即可得到∠AOB的度数。
【解析】
1. 由垂线段最短的性质可知，点P到射线OB的最小距离4就是点P到OB的垂线段的长度。
2. 已知PQ⊥OA，PQ=4，即点P到OA的距离为4，因此点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB，即$∠ AOB=2∠ POA$。
3. 在$Rt△ OPQ$中，$∠ OQP=90°$，$∠ OPQ=65°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ POA=90°-∠ OPQ=90°-65°=25°$。
4. 因此$∠ AOB=2×25°=50°$。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短、角平分线的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的突破口是结合“点到直线的最小距离是垂线段长度”判断出点P到角两边距离相等，从而得到角平分线，再结合直角三角形的角度关系计算即可，考查了对基础几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=40°$,分别以点$A$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧,两弧分别交于点$M$和点$N$,连接$MN$,直线$MN$与$AC$交于点$D$,连接$BD$,则$∠ DBC$的度数是（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
3.B
解析
【分析】
首先根据题中尺规作图的特征，判断出MN是线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；再结合等腰△ABC的边长关系和已知的顶角度数，利用三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∵点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°。
2.
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
3.
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=70°-40°=30°。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是准确识别尺规作图的类型，再结合相关几何性质推导角度关系，是三角形章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
首先根据题中尺规作图的特征，判断出MN是线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；再结合等腰△ABC的边长关系和已知的顶角度数，利用三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∵点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°。
2.
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
3.
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=70°-40°=30°。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是准确识别尺规作图的类型，再结合相关几何性质推导角度关系，是三角形章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AC$的垂直平分线，$△ ABC$的周长为19 cm，$△ ABD$的周长为13 cm，则$AE$的长为 （
A.3 cm
B.6 cm
C.12 cm
D.16 cm
A
）A.3 cm
B.6 cm
C.12 cm
D.16 cm
答案
4.A
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=DC，AE=EC=½AC。我们可以先利用AD=DC将△ABD的周长转化为AB+BC的长度，再用△ABC的周长减去AB+BC的和得到AC的长度，最后取AC的一半即可求出AE的长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=DC，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC（线段垂直平分线的性质）
∵△ABD的周长为13 cm
∴$AB + BD + AD = 13\ \mathrm{cm}$
将AD替换为DC，可得：
$AB + BD + DC = AB + BC = 13\ \mathrm{cm}$
又
∵△ABC的周长为19 cm
∴$AB + BC + AC = 19\ \mathrm{cm}$
把$AB + BC =13\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$13 + AC =19$，解得$AC=6\ \mathrm{cm}$
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量替换，解题的关键是将△ABD的周长转化为AB与BC的长度和，整体难度不高，熟练掌握垂直平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=DC，AE=EC=½AC。我们可以先利用AD=DC将△ABD的周长转化为AB+BC的长度，再用△ABC的周长减去AB+BC的和得到AC的长度，最后取AC的一半即可求出AE的长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=DC，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC（线段垂直平分线的性质）
∵△ABD的周长为13 cm
∴$AB + BD + AD = 13\ \mathrm{cm}$
将AD替换为DC，可得：
$AB + BD + DC = AB + BC = 13\ \mathrm{cm}$
又
∵△ABC的周长为19 cm
∴$AB + BC + AC = 19\ \mathrm{cm}$
把$AB + BC =13\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$13 + AC =19$，解得$AC=6\ \mathrm{cm}$
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量替换，解题的关键是将△ABD的周长转化为AB与BC的长度和，整体难度不高，熟练掌握垂直平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
