一、我会填。
1. 把一张长是20cm，宽是16cm的长方形纸板剪成同样大小的若干个正方形，纸没有剩余，边长可以是多少厘米？最大是多少厘米？可以这样想：沿着纸板的长剪，没有剩余，剪成的正方形的边长必须是20的( )，沿着纸板的宽剪也没有剩余，剪成的正方形的边长也必须是16的( )，也就是说，剪成的正方形的边长应该是20和16的( )，20和16的公因数有( )，最大公因数是( )，所以剪成正方形的边长可以是( )cm，最大是( )cm。

1. 因数 因数 公因数 1,2,4 4 1,2 或 4 4

【分析】
要解决这个问题，我们可以从“纸没有剩余”这个关键条件入手思考：
1. 沿着长方形的长剪没有剩余，说明正方形的边长能整除长方形的长，也就是边长必须是20的因数；
2. 沿着宽剪没有剩余，同理边长必须是16的因数；
3. 综合来看，正方形的边长既要满足是20的因数，又要满足是16的因数，所以应该是20和16的公因数；
4. 接下来我们需要找出20和16的所有公因数，其中最大的那个就是正方形的最大边长。
【解析】
1. 沿着长剪无剩余，边长需是20的因数；沿宽剪无剩余，边长需是16的因数，因此边长是20和16的公因数。
2. 列举20的因数：1、2、4、5、10、20；列举16的因数：1、2、4、8、16。
3. 找出两者共有的因数（即公因数）：1、2、4；其中最大的公因数是4。
4. 所以剪成正方形的边长可以是1cm、2cm或4cm，最大是4cm。
【答案】
因数 因数 公因数 1,2,4 4 1,2或4 4
【知识点】
公因数的应用、最大公因数的求法
【点评】
本题考查因数、公因数及最大公因数在实际裁剪问题中的应用，需要学生理解“无剩余”的数学含义，将实际问题转化为求公因数的数学问题，掌握列举法找公因数的方法，是对基础概念的典型应用。
【难度系数】
0.8

2. 小明家客厅的长是4m，宽是3.2m，要使地面都是整块的地砖，最大应该选择边长是 ( )cm的地砖。

2. 80

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确核心思路：要使地砖都是整块，地砖的边长必须同时整除客厅的长和宽，因此最大地砖边长就是客厅长和宽的最大公因数。首先要统一单位，将米转换为厘米，避免单位混乱；然后把问题转化为求两个整数的最大公因数，通过分解质因数或短除法计算出最大公因数，这个数就是地砖的最大边长。
【解析】
步骤1：统一单位
因为题目最终要求的单位是厘米，所以将长和宽的单位从米转换为厘米：
$4m = 4×100 = 400cm$
$3.2m = 3.2×100 = 320cm$
步骤2：求400和320的最大公因数
使用分解质因数法：
$400 = 2^4×5^2$
$320 = 2^6×5$
两个数的最大公因数是它们共有的质因数的最低次幂的乘积，即$2^4×5 = 16×5 = 80$
因此，最大应该选择边长是80cm的地砖。
【答案】
80
【知识点】
最大公因数的应用、长度单位换算
【点评】
本题考查了最大公因数在实际生活中的应用，同时涉及长度单位的换算。解题关键是将实际问题转化为数学问题，即求两个数的最大公因数，培养学生运用数学知识解决生活实际问题的能力。
【难度系数】
0.6

3. 如果把18个苹果和24个梨平均分给若干名小朋友，都正好分完，那么最多有( )名小朋友，每名小朋友分得( )个苹果，( )个梨。

3. 6 3 4

【分析】
这道题的关键是理解“平均分给若干名小朋友都正好分完”的含义，即小朋友的人数是18和24的公因数，要求最多有多少名小朋友，就是求18和24的最大公因数。求出最大公因数后，用苹果总数除以小朋友人数得到每名小朋友分得的苹果数，用梨的总数除以小朋友人数得到每名小朋友分得的梨数。
【解析】
1. 求18和24的最大公因数：
分解质因数可得：
18 = 2×3×3
24 = 2×2×2×3
两个数公有的质因数是2和3，所以最大公因数为2×3 = 6，即最多有6名小朋友。
2. 计算每名小朋友分得的苹果数：
18÷6 = 3（个）
3. 计算每名小朋友分得的梨数：
24÷6 = 4（个）
【答案】
6 3 4
【知识点】
最大公因数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际平均分问题中的应用，需要准确理解“正好分完”对应的数学关系，掌握分解质因数求最大公因数的方法，再通过简单的整数除法计算每人分得的水果数量，属于基础应用型题目，有助于提升学生运用数论知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

4. 写出下面相邻两个数的最大公因数。

4. 4 3 15 9 24 4

【分析】
要解决这个问题，首先明确最大公因数的定义：两个数公有的因数中最大的那个数就是它们的最大公因数。我们可以通过列举法或短除法来计算每一组相邻数的最大公因数：
1. 对于有倍数关系的两个数，它们的最大公因数是较小的数；
2. 对于一般的数，先分别列举出两个数的所有因数，再找出公有的因数中最大的那个；或者用短除法，将两个数同时除以它们的公有质因数，直到商互质，所有除数的乘积就是最大公因数。
【解析】
1. 计算8和12的最大公因数：
8的因数：1、2、4、8；12的因数：1、2、3、4、6、12。
公有的因数中最大的是4，因此8和12的最大公因数是4。
2. 计算12和15的最大公因数：
12的因数：1、2、3、4、6、12；15的因数：1、3、5、15。
公有的因数中最大的是3，因此12和15的最大公因数是3。
3. 计算15和45的最大公因数：
因为45是15的倍数，根据倍数关系的最大公因数规律，它们的最大公因数是较小数15。
4. 计算45和72的最大公因数：
用短除法，将45和72同时除以公有质因数9，得到商5和8，5和8互质，因此最大公因数是9。
5. 计算72和48的最大公因数：
用短除法，将72和48同时除以公有质因数24，得到商3和2，3和2互质，因此最大公因数是24。
6. 计算48和28的最大公因数：
48的因数：1、2、4、6、8、12、16、24、48；28的因数：1、2、4、7、14、28。
公有的因数中最大的是4，因此48和28的最大公因数是4。
【答案】
4 3 15 9 24 4
【知识点】
最大公因数求法、倍数关系的最大公因数、短除法
【点评】
本题主要考查最大公因数的计算，需要熟练掌握列举法、短除法等求最大公因数的方法，同时牢记“成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数”的规律，能快速简化计算。
【难度系数】
0.8

5. 按要求写两个数，使它们的最大公因数是你所写的数中较小的数。
(1) 两个数都是合数：___和_______。
(2) 一个数是质数，另一个数是合数：___和_______。
(3) 一个数是奇数，另一个数是偶数：___和_______。

5. (1)18 9 (2)5 10 (3)3 6(答案均不唯一)

【分析】
首先要明确核心逻辑：当两个数存在倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数。接下来根据不同要求分别思考：
1. 两个数都是合数：需找两个合数，且大数是小数的倍数，比如选合数9，再选它的倍数18，二者均为合数且满足倍数关系；
2. 一个数是质数，另一个是合数：质数的因数只有1和它本身，只要合数是该质数的倍数即可，比如选质数5，再选它的倍数10；
3. 一个数是奇数，另一个是偶数：只要偶数是奇数的倍数就行，比如选奇数3，再选它的倍数6。
【解析】
依据“两个数为倍数关系时，最大公因数是较小数”的性质：
(1) 选取合数9和18，18是9的2倍，二者均为合数，最大公因数是较小数9，符合要求；
(2) 选取质数5和合数10，10是5的2倍，最大公因数是较小数5，符合要求；
(3) 选取奇数3和偶数6，6是3的2倍，最大公因数是较小数3，符合要求。（答案均不唯一）
【答案】
(1)18 9 (2)5 10 (3)3 6(答案均不唯一)
【知识点】
倍数关系的最大公因数、合数与质数、奇数与偶数
【点评】
本题考查对最大公因数性质的理解，以及合数、质数、奇数、偶数概念的综合运用，需要学生掌握倍数关系下最大公因数的特点，并能结合数的分类灵活举例，有助于巩固相关概念。
【难度系数】
0.8

二、我会解答。
1. 霏霏和依依一起买了几条金鱼，霏霏花了40元，依依花了52元。如果这些金鱼的单价相同且是整数，单价最高是多少元？此时霏霏和依依各买了几条金鱼？

1. 40 和 52 的最大公因数是 4 单价最高是4 元
霏霏:$40÷4=10$(条)
依依:$52÷4=13$(条)

【分析】
要解决这个问题，首先明确：因为金鱼单价相同且为整数，所以单价必须是霏霏花费的40元和依依花费的52元的公因数。要求最高单价，就是求40和52的最大公因数。找到最大公因数后，用各自的总花费除以单价，就能得到两人分别购买的金鱼条数。
【解析】
1. 求40和52的最大公因数：
分解质因数：
$40 = 2×2×2×5$
$52 = 2×2×13$
两个数公有的质因数是2和2，因此最大公因数为$2×2 = 4$，即单价最高是4元。
2. 计算霏霏购买的金鱼条数：
$40÷4 = 10$（条）
3. 计算依依购买的金鱼条数：
$52÷4 = 13$（条）
【答案】
单价最高是4元；霏霏买了10条，依依买了13条。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，需要理解“单价相同且为整数”意味着单价是两人花费金额的公因数，最高单价即为最大公因数，通过分解质因数求最大公因数，再结合除法运算求出数量，锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8