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2. 用96朵红花和72朵黄花扎花束，要求每束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，每束花里最少要有几朵花？(要求红花、黄花正好分完而没有剩余)
答案
2. 96 和 72 的最大公因数是 24
红花:$96÷24=4$(朵)
黄花:$72÷24=3$(朵)$4+3=7$(朵)
红花:$96÷24=4$(朵)
黄花:$72÷24=3$(朵)$4+3=7$(朵)
解析
【分析】
要解决这个问题，核心思路是：要让每束花的总朵数最少，就需要扎成的花束数量最多，因为花的总数固定，花束数量越多，每束花的数量就越少。而花束数量必须同时是红花总数96和黄花总数72的公因数，因此最多的花束数量就是96和72的最大公因数。接下来用红花、黄花的总数分别除以这个最大公因数，得到每束里红花和黄花的数量，两者相加就是每束花最少的朵数。
【解析】
1. 求96和72的最大公因数：
分解质因数可得，$96=2×2×2×2×2×3$，$72=2×2×2×3×3$，
所以96和72的最大公因数是$2×2×2×3=24$，即最多能扎24束花。
2. 计算每束花中红花的数量：$96÷24=4$（朵）
3. 计算每束花中黄花的数量：$72÷24=3$（朵）
4. 计算每束花最少的总朵数：$4+3=7$（朵）
【答案】
7朵
【知识点】
最大公因数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，关键是理清“每束花最少”与“花束数量最多”的对应逻辑，需要学生熟练掌握最大公因数的求法，并能将数学知识与实际问题结合分析。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心思路是：要让每束花的总朵数最少，就需要扎成的花束数量最多，因为花的总数固定，花束数量越多，每束花的数量就越少。而花束数量必须同时是红花总数96和黄花总数72的公因数，因此最多的花束数量就是96和72的最大公因数。接下来用红花、黄花的总数分别除以这个最大公因数，得到每束里红花和黄花的数量，两者相加就是每束花最少的朵数。
【解析】
1. 求96和72的最大公因数：
分解质因数可得，$96=2×2×2×2×2×3$，$72=2×2×2×3×3$，
所以96和72的最大公因数是$2×2×2×3=24$，即最多能扎24束花。
2. 计算每束花中红花的数量：$96÷24=4$（朵）
3. 计算每束花中黄花的数量：$72÷24=3$（朵）
4. 计算每束花最少的总朵数：$4+3=7$（朵）
【答案】
7朵
【知识点】
最大公因数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，关键是理清“每束花最少”与“花束数量最多”的对应逻辑，需要学生熟练掌握最大公因数的求法，并能将数学知识与实际问题结合分析。
【难度系数】
0.7
3. 王阿姨将一块长是100cm、宽是80cm的长方形布剪成若干块正方形布，做成手绢。在不浪费布的前提下，这些手绢的最大边长是多少厘米？可以剪成多少块这样的手绢？
答案
3. 100 和 80 的最大公因数是 20,这些手绢的最大边长是 20 cm。
$100÷20=5$(组)
$80÷20=4$(组)$5×4=20$(块)
最多可以剪 20 块这样的手绢。
$100÷20=5$(组)
$80÷20=4$(组)$5×4=20$(块)
最多可以剪 20 块这样的手绢。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“不浪费布”的核心条件：剪成的正方形边长必须能同时整除长方形布的长和宽，即正方形边长是100和80的公因数。要求手绢的最大边长，本质就是求100和80的最大公因数。求出最大边长后，用长方形的长除以最大边长得到每行可剪的块数，宽除以最大边长得到每列可剪的块数，两者相乘就能得到总块数。
【解析】
1. 求100和80的最大公因数：
通过分解质因数可得：
$100 = 2×2×5×5$
$80 = 2×2×2×2×5$
两者公有的质因数为2、2、5，因此最大公因数为$2×2×5 = 20$，即手绢的最大边长是20厘米。
2. 计算可剪成的手绢数量：
长方形长能剪的块数：$100÷20 = 5$（块）
长方形宽能剪的块数：$80÷20 = 4$（块）
总块数：$5×4 = 20$（块）
【答案】
这些手绢的最大边长是20厘米，可以剪成20块这样的手绢。
【知识点】
最大公因数的实际应用
【点评】
本题聚焦最大公因数在实际裁剪场景中的应用，关键是将“不浪费布”转化为数学上的公因数问题，通过求最大公因数确定最优边长，再结合整数乘除法计算裁剪数量，既巩固了最大公因数的概念，又锻炼了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确“不浪费布”的核心条件：剪成的正方形边长必须能同时整除长方形布的长和宽，即正方形边长是100和80的公因数。要求手绢的最大边长，本质就是求100和80的最大公因数。求出最大边长后，用长方形的长除以最大边长得到每行可剪的块数，宽除以最大边长得到每列可剪的块数，两者相乘就能得到总块数。
【解析】
1. 求100和80的最大公因数：
通过分解质因数可得：
$100 = 2×2×5×5$
$80 = 2×2×2×2×5$
两者公有的质因数为2、2、5，因此最大公因数为$2×2×5 = 20$，即手绢的最大边长是20厘米。
2. 计算可剪成的手绢数量：
长方形长能剪的块数：$100÷20 = 5$（块）
长方形宽能剪的块数：$80÷20 = 4$（块）
总块数：$5×4 = 20$（块）
【答案】
这些手绢的最大边长是20厘米，可以剪成20块这样的手绢。
【知识点】
最大公因数的实际应用
【点评】
本题聚焦最大公因数在实际裁剪场景中的应用，关键是将“不浪费布”转化为数学上的公因数问题，通过求最大公因数确定最优边长，再结合整数乘除法计算裁剪数量，既巩固了最大公因数的概念，又锻炼了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
4. 老师们带同学们去野餐，把42瓶果汁和30瓶牛奶平均分给几个小组，都正好分完。最多可以分给几个小组？每个小组各分得两种饮料多少瓶？
答案
4. 6 个小组 7 瓶果汁和 5 瓶牛奶
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解“平均分给几个小组都正好分完”的含义：小组的数量必须同时是42和30的公因数，而要求“最多可以分给几个小组”，就是求42和30的最大公因数。找到最大公因数后，再分别用果汁和牛奶的总瓶数除以小组数，就能得到每个小组分得两种饮料的数量。
【解析】
1. 求42和30的最大公因数：
用短除法分解质因数：
先同时除以公因数2，得到21和15；
再同时除以公因数3，得到7和5（7和5互质，停止计算）。
因此42和30的最大公因数是2×3=6，即最多可以分给6个小组。
2. 计算每个小组分得的饮料数量：
果汁：42÷6=7（瓶）
牛奶：30÷6=5（瓶）
【答案】
最多可以分给6个小组，每个小组分得7瓶果汁和5瓶牛奶。
【知识点】
最大公因数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键是理解“正好分完”对应两个数的公因数，“最多小组数”对应最大公因数。通过本题可强化学生对因数、公因数概念的理解，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要理解“平均分给几个小组都正好分完”的含义：小组的数量必须同时是42和30的公因数，而要求“最多可以分给几个小组”，就是求42和30的最大公因数。找到最大公因数后，再分别用果汁和牛奶的总瓶数除以小组数，就能得到每个小组分得两种饮料的数量。
【解析】
1. 求42和30的最大公因数：
用短除法分解质因数：
先同时除以公因数2，得到21和15；
再同时除以公因数3，得到7和5（7和5互质，停止计算）。
因此42和30的最大公因数是2×3=6，即最多可以分给6个小组。
2. 计算每个小组分得的饮料数量：
果汁：42÷6=7（瓶）
牛奶：30÷6=5（瓶）
【答案】
最多可以分给6个小组，每个小组分得7瓶果汁和5瓶牛奶。
【知识点】
最大公因数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键是理解“正好分完”对应两个数的公因数，“最多小组数”对应最大公因数。通过本题可强化学生对因数、公因数概念的理解，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
三、我会做。
一个长方体木块，长是24cm，宽是16cm，高是12cm，现在要将它锯成同样大小的正方体木块，不能有剩余，锯成的正方体木块的棱长最长是多少厘米？
一个长方体木块，长是24cm，宽是16cm，高是12cm，现在要将它锯成同样大小的正方体木块，不能有剩余，锯成的正方体木块的棱长最长是多少厘米？
答案
因为 24,16 和 12 的最大公因数是 4,所以锯成的正方体木块的棱长最长是 4 cm。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确关键条件：锯成的正方体木块大小相同且无剩余，这说明正方体的棱长必须能同时整除长方体的长、宽、高，也就是正方体的棱长是24、16、12的公因数。题目要求棱长最长，因此我们需要求出这三个数的最大公因数，最大公因数就是能满足条件的最长棱长。
【解析】
1. 分解质因数：
$24 = 2×2×2×3$
$16 = 2×2×2×2$
$12 = 2×2×3$
2. 找出三个数共有的质因数的乘积：
24、16和12共有的质因数是两个2，所以它们的最大公因数为$2×2 = 4$。
由此可知，锯成的正方体木块的棱长最长是4厘米。
【答案】
4厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题将实际生活中的锯木块问题转化为求几个数的最大公因数的数学问题，考查对最大公因数概念的理解及将实际问题转化为数学问题的能力，需要准确把握“无剩余”“最长棱长”与最大公因数的关联。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确关键条件：锯成的正方体木块大小相同且无剩余，这说明正方体的棱长必须能同时整除长方体的长、宽、高，也就是正方体的棱长是24、16、12的公因数。题目要求棱长最长，因此我们需要求出这三个数的最大公因数，最大公因数就是能满足条件的最长棱长。
【解析】
1. 分解质因数：
$24 = 2×2×2×3$
$16 = 2×2×2×2$
$12 = 2×2×3$
2. 找出三个数共有的质因数的乘积：
24、16和12共有的质因数是两个2，所以它们的最大公因数为$2×2 = 4$。
由此可知，锯成的正方体木块的棱长最长是4厘米。
【答案】
4厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题将实际生活中的锯木块问题转化为求几个数的最大公因数的数学问题，考查对最大公因数概念的理解及将实际问题转化为数学问题的能力，需要准确把握“无剩余”“最长棱长”与最大公因数的关联。
【难度系数】
0.7
