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1 下列方程中,属于一元一次方程的是 (
A.$2π r=6.28$
B.$x-y=7$
C.$x^2 -1=5$
D.$3+\dfrac{2}{x}=0$
A
)A.$2π r=6.28$
B.$x-y=7$
C.$x^2 -1=5$
D.$3+\dfrac{2}{x}=0$
答案
A
解析
【分析】
解题核心是明确一元一次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式（分母不含未知数）。解题时先牢记这三个条件，再逐一核对每个选项，全部符合的即为正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程。我们逐个分析选项：
选项A：$2π r=6.28$中，$π$是固定常数，仅含未知数$r$，$r$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项B：$x-y=7$含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不属于一元一次方程；
选项C：$x^2 -1=5$中未知数$x$的最高次数为2，不符合“未知数次数为1”的要求，不属于一元一次方程；
选项D：$3+\dfrac{2}{x}=0$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不属于一元一次方程。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题考查一元一次方程的识别，解题关键是牢记一元一次方程的三个判定条件，注意$π$是常数而非未知数，分母含未知数的方程不属于整式方程，自然也不属于一元一次方程，做题时需逐一核对条件避免错选。
【难度系数】
0.8
解题核心是明确一元一次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式（分母不含未知数）。解题时先牢记这三个条件，再逐一核对每个选项，全部符合的即为正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程。我们逐个分析选项：
选项A：$2π r=6.28$中，$π$是固定常数，仅含未知数$r$，$r$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项B：$x-y=7$含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不属于一元一次方程；
选项C：$x^2 -1=5$中未知数$x$的最高次数为2，不符合“未知数次数为1”的要求，不属于一元一次方程；
选项D：$3+\dfrac{2}{x}=0$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不属于一元一次方程。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题考查一元一次方程的识别，解题关键是牢记一元一次方程的三个判定条件，注意$π$是常数而非未知数，分母含未知数的方程不属于整式方程，自然也不属于一元一次方程，做题时需逐一核对条件避免错选。
【难度系数】
0.8
2 若关于$ x $的一元一次方程$ 2x - kx + 1 = 5x - 2 $的解为$ x = -1 $，则$ k $的值为（
A.10
B.-4
C.-6
D.-8
C
）A.10
B.-4
C.-6
D.-8
答案
C
解析
【分析】
根据一元一次方程解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以将已知的解x=-1代入原方程，此时原方程会转化为只含未知数k的一元一次方程，再解这个新方程即可求出k的值。
【解析】
已知x=-1是方程$2x - kx + 1 = 5x - 2$的解，将x=-1代入原方程，得：
$2×(-1) - k×(-1) + 1 = 5×(-1) - 2$
分别计算方程左右两边：
左边化简为：$-2 + k + 1 = k - 1$
右边化简为：$-5 - 2 = -7$
由此得到关于k的方程：$k - 1 = -7$
移项计算得：$k = -7 + 1 = -6$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程部分的基础题型，解题核心是利用方程解的含义，将求参数的问题转化为常规的一元一次方程求解问题，掌握方程解的概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
根据一元一次方程解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以将已知的解x=-1代入原方程，此时原方程会转化为只含未知数k的一元一次方程，再解这个新方程即可求出k的值。
【解析】
已知x=-1是方程$2x - kx + 1 = 5x - 2$的解，将x=-1代入原方程，得：
$2×(-1) - k×(-1) + 1 = 5×(-1) - 2$
分别计算方程左右两边：
左边化简为：$-2 + k + 1 = k - 1$
右边化简为：$-5 - 2 = -7$
由此得到关于k的方程：$k - 1 = -7$
移项计算得：$k = -7 + 1 = -6$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程部分的基础题型，解题核心是利用方程解的含义，将求参数的问题转化为常规的一元一次方程求解问题，掌握方程解的概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
3 如果方程$(m-1)x+2=0$是关于$x$的一元一次方程，那么$m$的取值范围是 （
A.$m≠0$
B.$m≠1$
C.$m＞-1$
D.$m＞0$
B
）A.$m≠0$
B.$m≠1$
C.$m＞-1$
D.$m＞0$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的判定条件：一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的次数为1，且未知数的系数不为0的整式方程。本题中的方程已经满足只含x一个未知数、x的次数是1的条件，因此只需要保证x的系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值范围。
【解析】
根据一元一次方程的定义，一元一次方程的一次项系数不能为0。
在方程$(m-1)x+2=0$中，x的一次项系数为$m-1$，因此有：
$m-1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 1$
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题是对一元一次方程基本概念的考查，解题关键是牢记一元一次方程中一次项系数不为0的要求，避免遗漏该条件导致出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的判定条件：一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的次数为1，且未知数的系数不为0的整式方程。本题中的方程已经满足只含x一个未知数、x的次数是1的条件，因此只需要保证x的系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值范围。
【解析】
根据一元一次方程的定义，一元一次方程的一次项系数不能为0。
在方程$(m-1)x+2=0$中，x的一次项系数为$m-1$，因此有：
$m-1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 1$
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题是对一元一次方程基本概念的考查，解题关键是牢记一元一次方程中一次项系数不为0的要求，避免遗漏该条件导致出错。
【难度系数】
0.8
4（1）若$x=2$是关于$x$的一元一次方程$mx - n = 3$的解，则$4 - 6m + 3n$的值是________；
（2）[2024 海南]若代数式$x - 3$的值为$5$，则$x$的值为________；
（3）已知$|a + 23| = 0$，则$a$的值为________.
（2）[2024 海南]若代数式$x - 3$的值为$5$，则$x$的值为________；
（3）已知$|a + 23| = 0$，则$a$的值为________.
答案
(1) -5 (2) 8 (3) -23
解析
【分析】
（1）先利用一元一次方程解的定义，将x=2代入方程得到m和n的数量关系式，再将所求代数式变形为含有该关系式的形式，整体代入计算即可得出结果；
（2）根据代数式的值的定义列出关于x的一元一次方程，通过移项运算即可求出x的值；
（3）根据绝对值的非负性可知，若一个数的绝对值为0，则绝对值内的代数式等于0，据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
（1）
∵x=2是方程$mx - n = 3$的解，将x=2代入方程可得：$2m - n = 3$，
对所求代数式变形得：$4 - 6m + 3n = 4 - 3(2m - n)$，
将$2m - n=3$代入上式得：原式$=4 - 3×3 =4 -9 =-5$；
（2）由题意可得方程：$x - 3 =5$，
移项计算得：$x =5 +3=8$；
（3）
∵$\vert a + 23\vert = 0$，根据绝对值的性质，绝对值为0时绝对值内的式子值为0，
∴$a +23 =0$，
解得：$a=-23$。
【答案】
(1) -5；(2) 8；(3) -23
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；绝对值的性质
【点评】
三道题均为基础题型，分别考查了方程解的整体代入应用、简单一元一次方程求解、绝对值性质的应用，熟练掌握基础概念和基本运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
（1）先利用一元一次方程解的定义，将x=2代入方程得到m和n的数量关系式，再将所求代数式变形为含有该关系式的形式，整体代入计算即可得出结果；
（2）根据代数式的值的定义列出关于x的一元一次方程，通过移项运算即可求出x的值；
（3）根据绝对值的非负性可知，若一个数的绝对值为0，则绝对值内的代数式等于0，据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
（1）
∵x=2是方程$mx - n = 3$的解，将x=2代入方程可得：$2m - n = 3$，
对所求代数式变形得：$4 - 6m + 3n = 4 - 3(2m - n)$，
将$2m - n=3$代入上式得：原式$=4 - 3×3 =4 -9 =-5$；
（2）由题意可得方程：$x - 3 =5$，
移项计算得：$x =5 +3=8$；
（3）
∵$\vert a + 23\vert = 0$，根据绝对值的性质，绝对值为0时绝对值内的式子值为0，
∴$a +23 =0$，
解得：$a=-23$。
【答案】
(1) -5；(2) 8；(3) -23
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；绝对值的性质
【点评】
三道题均为基础题型，分别考查了方程解的整体代入应用、简单一元一次方程求解、绝对值性质的应用，熟练掌握基础概念和基本运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5 教材 P114 练习 T1 变式 判断 $x=-3$ 是否为下列一元一次方程的解：
(1) $2x - 6 = 0$；
(2) $4x - 1 = -13$；
(3) $3x - 6 = -5x$。
(1) $2x - 6 = 0$；
(2) $4x - 1 = -13$；
(3) $3x - 6 = -5x$。
答案
(1) 不是 (2) 是 (3) 不是
解析
【分析】
判断一个数值是否为一元一次方程的解，核心方法是代入检验法，依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时只需将x=-3分别代入三个方程的左边和右边，分别计算结果后比较两边是否相等，相等即为方程的解，不相等则不是。
【解析】
(1) 将$x=-3$代入方程$2x - 6 = 0$：
左边 $=2×(-3)-6=-6-6=-12$，右边$=0$
$\because$ 左边 $≠$ 右边，$\therefore x=-3$不是该方程的解。
(2) 将$x=-3$代入方程$4x - 1 = -13$：
左边 $=4×(-3)-1=-12-1=-13$，右边$=-13$
$\because$ 左边 $=$ 右边，$\therefore x=-3$是该方程的解。
(3) 将$x=-3$代入方程$3x - 6 = -5x$：
左边 $=3×(-3)-6=-9-6=-15$，右边$=-5×(-3)=15$
$\because$ 左边 $≠$ 右边，$\therefore x=-3$不是该方程的解。
【答案】
(1) 不是 (2) 是 (3) 不是
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题考查方程的解的判断，代入检验法是判断方程解的基础方法，也是解方程后验证结果正确性的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
判断一个数值是否为一元一次方程的解，核心方法是代入检验法，依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时只需将x=-3分别代入三个方程的左边和右边，分别计算结果后比较两边是否相等，相等即为方程的解，不相等则不是。
【解析】
(1) 将$x=-3$代入方程$2x - 6 = 0$：
左边 $=2×(-3)-6=-6-6=-12$，右边$=0$
$\because$ 左边 $≠$ 右边，$\therefore x=-3$不是该方程的解。
(2) 将$x=-3$代入方程$4x - 1 = -13$：
左边 $=4×(-3)-1=-12-1=-13$，右边$=-13$
$\because$ 左边 $=$ 右边，$\therefore x=-3$是该方程的解。
(3) 将$x=-3$代入方程$3x - 6 = -5x$：
左边 $=3×(-3)-6=-9-6=-15$，右边$=-5×(-3)=15$
$\because$ 左边 $≠$ 右边，$\therefore x=-3$不是该方程的解。
【答案】
(1) 不是 (2) 是 (3) 不是
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题考查方程的解的判断，代入检验法是判断方程解的基础方法，也是解方程后验证结果正确性的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
6 解下列方程：
(1) $0.3x = -9$；
(2) $6x = 5x - \frac{3}{2}$；
(3) $-2x + 5 = -9$。
(1) $0.3x = -9$；
(2) $6x = 5x - \frac{3}{2}$；
(3) $-2x + 5 = -9$。
答案
(1) $x=-30$ (2) $x=-\dfrac{3}{2}$ (3) $x=7$
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程的基础求解题型，解题核心是运用等式的基本性质，按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。解题时注意：移项需改变符号，系数化为1时要留意系数的正负，避免符号错误。具体思路：(1)直接给等式两边同时除以x的系数，将系数化为1即可得解；(2)先将含x的项移到等式左侧合并，直接得到x的值；(3)先将常数项移到等式右侧合并，再将x的系数化为1即可得解。
【解析】
(1) 解方程$0.3x = -9$：
根据等式的基本性质，等式两边同时除以0.3，得
$x = -9 ÷ 0.3$
计算得 $x = -30$
(2) 解方程$6x = 5x - \frac{3}{2}$：
移项，将$5x$移到左侧并变号，得
$6x - 5x = -\frac{3}{2}$
合并同类项，得
$x = -\frac{3}{2}$
(3) 解方程$-2x + 5 = -9$：
移项，将常数项5移到右侧并变号，得
$-2x = -9 - 5$
合并同类项，得
$-2x = -14$
根据等式的基本性质，等式两边同时除以$-2$，得
$x = 7$
【答案】
(1) $x=-30$ (2) $x=-\dfrac{3}{2}$ (3) $x=7$
【知识点】
一元一次方程解法、等式的基本性质、移项法则
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题，主要考查对等式基本性质的运用和移项变号规则的掌握，是后续学习复杂方程求解的重要基础，解题时需注意避免移项忘变号、系数化1时符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.85
这三道题均为一元一次方程的基础求解题型，解题核心是运用等式的基本性质，按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。解题时注意：移项需改变符号，系数化为1时要留意系数的正负，避免符号错误。具体思路：(1)直接给等式两边同时除以x的系数，将系数化为1即可得解；(2)先将含x的项移到等式左侧合并，直接得到x的值；(3)先将常数项移到等式右侧合并，再将x的系数化为1即可得解。
【解析】
(1) 解方程$0.3x = -9$：
根据等式的基本性质，等式两边同时除以0.3，得
$x = -9 ÷ 0.3$
计算得 $x = -30$
(2) 解方程$6x = 5x - \frac{3}{2}$：
移项，将$5x$移到左侧并变号，得
$6x - 5x = -\frac{3}{2}$
合并同类项，得
$x = -\frac{3}{2}$
(3) 解方程$-2x + 5 = -9$：
移项，将常数项5移到右侧并变号，得
$-2x = -9 - 5$
合并同类项，得
$-2x = -14$
根据等式的基本性质，等式两边同时除以$-2$，得
$x = 7$
【答案】
(1) $x=-30$ (2) $x=-\dfrac{3}{2}$ (3) $x=7$
【知识点】
一元一次方程解法、等式的基本性质、移项法则
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题，主要考查对等式基本性质的运用和移项变号规则的掌握，是后续学习复杂方程求解的重要基础，解题时需注意避免移项忘变号、系数化1时符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.85
7 有下列式子:① $x-2=\dfrac{2}{x}$;② $0.3x ≥ 1$;③ $\dfrac{x}{2}=5x-1$;④ $x^2-4x=3$;⑤ $x=6$;⑥ $x+2y=0$.其中,一元一次方程的个数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
A
解析
【分析】要解决本题，首先需明确一元一次方程的判定要点：第一，必须是含有未知数的等式（不等式不属于方程）；第二，只含有1个未知数；第三，未知数的最高次数为1；第四，是整式方程（分母中不含未知数）。接下来依次将每个式子对照上述要点逐一判断，统计符合条件的式子个数即可。
【解析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，我们逐个判断：
① $x-2=\dfrac{2}{x}$：分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
② $0.3x ≥ 1$：是用不等号连接的不等式，不属于等式，因此不是方程，不符合要求；
③ $\dfrac{x}{2}=5x-1$：只含有未知数$x$，$x$的最高次数为1，且是整式等式，符合一元一次方程的定义；
④ $x^2-4x=3$：未知数$x$的最高次数是2，不符合要求；
⑤ $x=6$：只含有未知数$x$，$x$的最高次数为1，且是整式等式，符合一元一次方程的定义；
⑥ $x+2y=0$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合要求。
综上，符合一元一次方程的是③和⑤，共2个。
【答案】A
【知识点】一元一次方程的定义；方程的概念；整式方程判断
【点评】本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢掌握一元一次方程的几个判定要素，逐一排查即可得出答案，注意不要漏看“分母不含未知数”“仅含一个未知数”这些易忽略的判断条件。
【难度系数】0.8
【解析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，我们逐个判断：
① $x-2=\dfrac{2}{x}$：分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
② $0.3x ≥ 1$：是用不等号连接的不等式，不属于等式，因此不是方程，不符合要求；
③ $\dfrac{x}{2}=5x-1$：只含有未知数$x$，$x$的最高次数为1，且是整式等式，符合一元一次方程的定义；
④ $x^2-4x=3$：未知数$x$的最高次数是2，不符合要求；
⑤ $x=6$：只含有未知数$x$，$x$的最高次数为1，且是整式等式，符合一元一次方程的定义；
⑥ $x+2y=0$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合要求。
综上，符合一元一次方程的是③和⑤，共2个。
【答案】A
【知识点】一元一次方程的定义；方程的概念；整式方程判断
【点评】本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢掌握一元一次方程的几个判定要素，逐一排查即可得出答案，注意不要漏看“分母不含未知数”“仅含一个未知数”这些易忽略的判断条件。
【难度系数】0.8
8 下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：$2x - 0.5 = 3x + $
$$，答案显示此方程的解是$x = -1$，被墨水污染的部分是一个常数，则这个常数是（
A.1
B.$-1$
C.$-0.5$
D.$0.5$
$$，答案显示此方程的解是$x = -1$，被墨水污染的部分是一个常数，则这个常数是（D
）A.1
B.$-1$
C.$-0.5$
D.$0.5$
答案
D
解析
【分析】
首先设被墨水污染的常数为a，根据一元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以将已知的解x=-1代入含有a的原方程，得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程即可求出被污染的常数。
【解析】
设被墨水污染的常数为a，则原方程为：
$2x - 0.5 = 3x + a$
将$x=-1$代入方程中：
左边$=2×(-1) - 0.5 = -2 - 0.5 = -2.5$
右边$=3×(-1) + a = -3 + a$
根据方程左右两边相等可得：
$-2.5 = -3 + a$
移项计算得：$a = -2.5 + 3 = 0.5$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，解题关键是理解方程的解的含义，将已知解代入原方程把问题转化为求未知参数的一元一次方程，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先设被墨水污染的常数为a，根据一元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以将已知的解x=-1代入含有a的原方程，得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程即可求出被污染的常数。
【解析】
设被墨水污染的常数为a，则原方程为：
$2x - 0.5 = 3x + a$
将$x=-1$代入方程中：
左边$=2×(-1) - 0.5 = -2 - 0.5 = -2.5$
右边$=3×(-1) + a = -3 + a$
根据方程左右两边相等可得：
$-2.5 = -3 + a$
移项计算得：$a = -2.5 + 3 = 0.5$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，解题关键是理解方程的解的含义，将已知解代入原方程把问题转化为求未知参数的一元一次方程，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
