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9 分类讨论思想 若关于$x$的一元一次方程$ax - x = 3$有正整数解，且$a$为整数，则$a$的值是（
A.2
B.4
C.1或3
D.2或4
D
）A.2
B.4
C.1或3
D.2或4
答案
D 【解析】原方程可化为$(a-1)x=3$.因为原方程有解,所以$x=\dfrac{3}{a-1}$.又因为$a$为整数,$x$为正整数,所以$a-1=1$或$a-1=3$.所以$a=2$或$a=4$.
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程求参数值的问题，解题思路如下：第一步，先对原方程合并同类项，整理为“系数×未知数=常数”的标准一元一次方程形式；第二步，因为方程有解，所以未知数的系数不为0，用含参数a的代数式表示出x的解；第三步，结合x是正整数、a是整数的条件，可知x的表达式的分母是分子3的正约数，列出所有符合要求的分母取值，分别计算对应的a值即可。
【解析】
解：对原方程合并同类项，得$(a-1)x=3$，
因为方程是一元一次方程且有解，所以$a-1≠0$，
解得$x=\dfrac{3}{a-1}$。
因为方程的解$x$是正整数，且$a$为整数，所以$a-1$是3的正因数，
3的正因数为1、3，因此：
当$a-1=1$时，解得$a=2$，此时$x=3$，符合要求；
当$a-1=3$时，解得$a=4$，此时$x=1$，符合要求。
综上，$a$的值为2或4。
【答案】
D
【知识点】
1.一元一次方程求解 2.正因数的应用 3.分类讨论思想
【点评】
本题是一元一次方程含参问题的常见考法，解题核心是用参数表示出方程的解，再结合解的限制条件和参数的整数属性分类讨论，掌握这类题的解题逻辑能很好地提升对一元一次方程的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道含参数的一元一次方程求参数值的问题，解题思路如下：第一步，先对原方程合并同类项，整理为“系数×未知数=常数”的标准一元一次方程形式；第二步，因为方程有解，所以未知数的系数不为0，用含参数a的代数式表示出x的解；第三步，结合x是正整数、a是整数的条件，可知x的表达式的分母是分子3的正约数，列出所有符合要求的分母取值，分别计算对应的a值即可。
【解析】
解：对原方程合并同类项，得$(a-1)x=3$，
因为方程是一元一次方程且有解，所以$a-1≠0$，
解得$x=\dfrac{3}{a-1}$。
因为方程的解$x$是正整数，且$a$为整数，所以$a-1$是3的正因数，
3的正因数为1、3，因此：
当$a-1=1$时，解得$a=2$，此时$x=3$，符合要求；
当$a-1=3$时，解得$a=4$，此时$x=1$，符合要求。
综上，$a$的值为2或4。
【答案】
D
【知识点】
1.一元一次方程求解 2.正因数的应用 3.分类讨论思想
【点评】
本题是一元一次方程含参问题的常见考法，解题核心是用参数表示出方程的解，再结合解的限制条件和参数的整数属性分类讨论，掌握这类题的解题逻辑能很好地提升对一元一次方程的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
10 新考向 开放性问题 请写出一个解为$x=-2026$的一元一次方程：
答案不唯一,如$x+2\ 026=0$
.答案
答案不唯一,如$x+2\ 026=0$
解析
【分析】
要构造解为$x=-2026$的一元一次方程，首先明确两个核心要求：第一，方程需满足一元一次方程的定义：只含1个未知数、未知数次数为1、等号两边都是整式；第二，把$x=-2026$代入方程后，等号左右两边相等。我们可以从解的表达式$x=-2026$出发，通过简单的等式变形得到符合要求的方程，比如对等式两边做同加、同乘非零数的操作就能得到不同答案，最简单的就是移项把常数移到左边即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义以及方程解的含义，我们可以直接对$x=-2026$进行移项变形：
将等式右边的$-2026$移到左边，得$x + 2026 = 0$。该方程只含有未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，且将$x=-2026$代入时，左边$=-2026+2026=0=$右边，完全满足要求。也可构造其他符合要求的方程，如$2x=-4052$等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$x+2026=0$
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题为开放性基础题，考查对一元一次方程相关核心概念的理解与应用，只要构造的方程同时满足一元一次方程的要求、代入$x=-2026$后等式成立即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.9
要构造解为$x=-2026$的一元一次方程，首先明确两个核心要求：第一，方程需满足一元一次方程的定义：只含1个未知数、未知数次数为1、等号两边都是整式；第二，把$x=-2026$代入方程后，等号左右两边相等。我们可以从解的表达式$x=-2026$出发，通过简单的等式变形得到符合要求的方程，比如对等式两边做同加、同乘非零数的操作就能得到不同答案，最简单的就是移项把常数移到左边即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义以及方程解的含义，我们可以直接对$x=-2026$进行移项变形：
将等式右边的$-2026$移到左边，得$x + 2026 = 0$。该方程只含有未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，且将$x=-2026$代入时，左边$=-2026+2026=0=$右边，完全满足要求。也可构造其他符合要求的方程，如$2x=-4052$等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$x+2026=0$
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题为开放性基础题，考查对一元一次方程相关核心概念的理解与应用，只要构造的方程同时满足一元一次方程的要求、代入$x=-2026$后等式成立即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.9
11（1）（易错题）如果关于 $ x $ 的方程 $ kx + 5 = 2x - 1 $ 是一元一次方程，那么 $ k $ 的取值范围是 ______；
（2）若 $ (|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程，则 $ a $ 的值为 ______；
（3）（易错题）已知 $ (m - 1)x^{|m|} - 2 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程，则 $ m $ 的值为 ______。
（2）若 $ (|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程，则 $ a $ 的值为 ______；
（3）（易错题）已知 $ (m - 1)x^{|m|} - 2 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程，则 $ m $ 的值为 ______。
答案
(1) $k≠2$ (2) $-10$ (3) $-1$
解析
【分析】
解题的核心依据是一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0的整式方程。
（1）先将方程整理为一次项系数含k的形式，令一次项系数不等于0即可求出k的取值范围；
（2）方程是一元一次方程，说明二次项系数为0，同时一次项系数不为0，联立两个条件即可求出a的值；
（3）根据定义，未知数x的次数为1，且一次项系数不为0，联立两个条件即可求出m的值。
【解析】
（1）对方程$kx + 5 = 2x - 1$移项合并同类项，得：
$(k - 2)x = -6$
若方程是一元一次方程，则一次项系数不为0，即$k - 2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$。
（2）$\because (|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程
$\therefore$二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |a| - 10 = 0 \\ a - 10 ≠ 0 \end{cases}$
由$|a| - 10 = 0$得$a = \pm 10$，由$a - 10 ≠ 0$得$a ≠ 10$，故$a = -10$。
（3）$\because (m - 1)x^{|m|} - 2 = 0$是关于$x$的一元一次方程
$\therefore$未知数的次数为1，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |m| = 1 \\ m - 1 ≠ 0 \end{cases}$
由$|m| = 1$得$m = \pm 1$，由$m - 1 ≠ 0$得$m ≠ 1$，故$m = -1$。
【答案】
(1)$k ≠ 2$；(2)$-10$；(3)$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质，不等式求解
【点评】
本组题属于一元一次方程定义的典型应用类题目，解题的关键是牢记一元一次方程需同时满足“未知数最高次数为1”和“一次项系数不为0”两个核心条件，忽略任意一个都会导致解题错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0的整式方程。
（1）先将方程整理为一次项系数含k的形式，令一次项系数不等于0即可求出k的取值范围；
（2）方程是一元一次方程，说明二次项系数为0，同时一次项系数不为0，联立两个条件即可求出a的值；
（3）根据定义，未知数x的次数为1，且一次项系数不为0，联立两个条件即可求出m的值。
【解析】
（1）对方程$kx + 5 = 2x - 1$移项合并同类项，得：
$(k - 2)x = -6$
若方程是一元一次方程，则一次项系数不为0，即$k - 2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$。
（2）$\because (|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程
$\therefore$二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |a| - 10 = 0 \\ a - 10 ≠ 0 \end{cases}$
由$|a| - 10 = 0$得$a = \pm 10$，由$a - 10 ≠ 0$得$a ≠ 10$，故$a = -10$。
（3）$\because (m - 1)x^{|m|} - 2 = 0$是关于$x$的一元一次方程
$\therefore$未知数的次数为1，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |m| = 1 \\ m - 1 ≠ 0 \end{cases}$
由$|m| = 1$得$m = \pm 1$，由$m - 1 ≠ 0$得$m ≠ 1$，故$m = -1$。
【答案】
(1)$k ≠ 2$；(2)$-10$；(3)$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质，不等式求解
【点评】
本组题属于一元一次方程定义的典型应用类题目，解题的关键是牢记一元一次方程需同时满足“未知数最高次数为1”和“一次项系数不为0”两个核心条件，忽略任意一个都会导致解题错误。
【难度系数】
0.7
12 判断方程$-8x=4$的解是否为下面一元一次方程的解：
(1) $7 - 6x = 2x + 11$；
(2) $4x - 5 = 3(2x - 4)$。
(1) $7 - 6x = 2x + 11$；
(2) $4x - 5 = 3(2x - 4)$。
答案
(1) 是 (2) 不是
解析
【分析】
解题思路分为两步：① 先求解方程$-8x=4$，得到未知数$x$的取值；② 根据方程的解的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解），将求得的$x$分别代入两个待判断的方程，分别计算左右两边的结果，若左右两边相等，则该值是这个方程的解，反之则不是。
【解析】
首先解方程$-8x=4$：
系数化为1，两边同时除以$-8$，得$x=-\frac{1}{2}$（或$x=-0.5$）。
(1) 检验$x=-\frac{1}{2}$是否为$7 - 6x = 2x + 11$的解：
把$x=-\frac{1}{2}$代入方程左边：$7 - 6×(-\frac{1}{2})=7+3=10$
代入方程右边：$2×(-\frac{1}{2})+11=-1+11=10$
左边=右边，因此$x=-\frac{1}{2}$是该方程的解。
(2) 检验$x=-\frac{1}{2}$是否为$4x - 5 = 3(2x - 4)$的解：
把$x=-\frac{1}{2}$代入方程左边：$4×(-\frac{1}{2})-5=-2-5=-7$
代入方程右边：$3×[2×(-\frac{1}{2})-4]=3×(-1-4)=-15$
左边≠右边，因此$x=-\frac{1}{2}$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是 (2) 不是
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
3. 方程解的检验
【点评】
本题核心是考查方程的解的概念，掌握代入检验的方法即可顺利解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：① 先求解方程$-8x=4$，得到未知数$x$的取值；② 根据方程的解的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解），将求得的$x$分别代入两个待判断的方程，分别计算左右两边的结果，若左右两边相等，则该值是这个方程的解，反之则不是。
【解析】
首先解方程$-8x=4$：
系数化为1，两边同时除以$-8$，得$x=-\frac{1}{2}$（或$x=-0.5$）。
(1) 检验$x=-\frac{1}{2}$是否为$7 - 6x = 2x + 11$的解：
把$x=-\frac{1}{2}$代入方程左边：$7 - 6×(-\frac{1}{2})=7+3=10$
代入方程右边：$2×(-\frac{1}{2})+11=-1+11=10$
左边=右边，因此$x=-\frac{1}{2}$是该方程的解。
(2) 检验$x=-\frac{1}{2}$是否为$4x - 5 = 3(2x - 4)$的解：
把$x=-\frac{1}{2}$代入方程左边：$4×(-\frac{1}{2})-5=-2-5=-7$
代入方程右边：$3×[2×(-\frac{1}{2})-4]=3×(-1-4)=-15$
左边≠右边，因此$x=-\frac{1}{2}$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是 (2) 不是
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
3. 方程解的检验
【点评】
本题核心是考查方程的解的概念，掌握代入检验的方法即可顺利解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13 解下列方程：
(1) $0.7x + \frac{1}{14} = 0$；
(2) $2y = -3y + 15$；
(3) $7x - 6 = 5x - 8$。
(1) $0.7x + \frac{1}{14} = 0$；
(2) $2y = -3y + 15$；
(3) $7x - 6 = 5x - 8$。
答案
(1) $x=-\dfrac{5}{49}$ (2) $y=3$ (3) $x=-1$
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程的基础求解问题，解题思路统一为：①移项：将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要改变符号；②合并同类项：将等号两侧的同类项分别合并；③系数化为1：通过乘除运算将未知数的系数变为1，得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得：$0.7x = -\dfrac{1}{14}$
将$0.7$化为分数$\dfrac{7}{10}$，得：$\dfrac{7}{10}x = -\dfrac{1}{14}$
系数化为1，两边同时乘$\dfrac{10}{7}$：$x = -\dfrac{1}{14} × \dfrac{10}{7} = -\dfrac{5}{49}$
(2) 移项，得：$2y + 3y = 15$
合并同类项，得：$5y = 15$
系数化为1，两边同时除以5：$y = 3$
(3) 移项，得：$7x - 5x = -8 + 6$
合并同类项，得：$2x = -2$
系数化为1，两边同时除以2：$x = -1$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{5}{49}$；(2) $y=3$；(3) $x=-1$
【知识点】
一元一次方程解法、移项法则、系数化为1
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项变号的规则和基础运算能力，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
这三道题均为一元一次方程的基础求解问题，解题思路统一为：①移项：将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要改变符号；②合并同类项：将等号两侧的同类项分别合并；③系数化为1：通过乘除运算将未知数的系数变为1，得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得：$0.7x = -\dfrac{1}{14}$
将$0.7$化为分数$\dfrac{7}{10}$，得：$\dfrac{7}{10}x = -\dfrac{1}{14}$
系数化为1，两边同时乘$\dfrac{10}{7}$：$x = -\dfrac{1}{14} × \dfrac{10}{7} = -\dfrac{5}{49}$
(2) 移项，得：$2y + 3y = 15$
合并同类项，得：$5y = 15$
系数化为1，两边同时除以5：$y = 3$
(3) 移项，得：$7x - 5x = -8 + 6$
合并同类项，得：$2x = -2$
系数化为1，两边同时除以2：$x = -1$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{5}{49}$；(2) $y=3$；(3) $x=-1$
【知识点】
一元一次方程解法、移项法则、系数化为1
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项变号的规则和基础运算能力，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
14 已知$(|a|-1)x^2-(a+1)x+8=0$是关于$x$的一元一次方程.求:
(1) 代数式$200(a+x)(x-2a)+3a+25$的值；
(2) 关于$y$的方程$a|y|=2x$的解.
(1) 代数式$200(a+x)(x-2a)+3a+25$的值；
(2) 关于$y$的方程$a|y|=2x$的解.
答案
(1) 根据题意,得$|a|-1=0$,且$-(a+1)≠0$,所以$a=1$.所以$-2x+8=0$,解得$x=4$.所以原式$=200×(1+4)×(4-2)+3+25=2\ 028$ (2) 当$a=1,x=4$时,$|y|=8$,所以$y=±8$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需紧扣一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0。第一步先根据该定义列出关于a的条件，求出a的取值；再将a代入原一元一次方程，求出x的值；最后把a、x的值分别代入(1)的代数式和(2)的方程，计算结果即可。解题时要注意，求a时不能遗漏“一次项系数不为0”的限制条件，解绝对值方程时要考虑正负两种情况。
【解析】
首先根据一元一次方程的定义确定a的值：
∵ $(|a|-1)x^2-(a+1)x+8=0$是关于x的一元一次方程
∴ 二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|a|-1=0 \\-(a+1)≠ 0\end{cases}$
解$|a|-1=0$得$a=\pm1$，解$-(a+1)≠ 0$得$a≠ -1$，因此$a=1$。
将$a=1$代入原方程，得：
$-2x+8=0$
解得$x=4$。
(1) 把$a=1$，$x=4$代入代数式$200(a+x)(x-2a)+3a+25$：
$\begin{aligned}原式&=200×(1+4)×(4-2×1)+3×1+25 \\&=200×5×2 + 3 +25 \\&=2000 + 28 \\&=2028\end{aligned}$
(2) 把$a=1$，$x=4$代入方程$a|y|=2x$，得：
$|y|=8$
根据绝对值的性质，绝对值为8的数有两个，即$y=8$或$y=-8$，所以方程的解为$y=\pm8$。
【答案】
(1) $\boxed{2028}$；(2) $\boxed{y=\pm8}$
【知识点】
一元一次方程的定义；代数式求值；绝对值方程解法
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的理解，解题的关键是根据定义准确求出参数a的值，后续的代数式计算和解绝对值方程都属于基础运算，需注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，解绝对值方程时不要漏解。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需紧扣一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0。第一步先根据该定义列出关于a的条件，求出a的取值；再将a代入原一元一次方程，求出x的值；最后把a、x的值分别代入(1)的代数式和(2)的方程，计算结果即可。解题时要注意，求a时不能遗漏“一次项系数不为0”的限制条件，解绝对值方程时要考虑正负两种情况。
【解析】
首先根据一元一次方程的定义确定a的值：
∵ $(|a|-1)x^2-(a+1)x+8=0$是关于x的一元一次方程
∴ 二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|a|-1=0 \\-(a+1)≠ 0\end{cases}$
解$|a|-1=0$得$a=\pm1$，解$-(a+1)≠ 0$得$a≠ -1$，因此$a=1$。
将$a=1$代入原方程，得：
$-2x+8=0$
解得$x=4$。
(1) 把$a=1$，$x=4$代入代数式$200(a+x)(x-2a)+3a+25$：
$\begin{aligned}原式&=200×(1+4)×(4-2×1)+3×1+25 \\&=200×5×2 + 3 +25 \\&=2000 + 28 \\&=2028\end{aligned}$
(2) 把$a=1$，$x=4$代入方程$a|y|=2x$，得：
$|y|=8$
根据绝对值的性质，绝对值为8的数有两个，即$y=8$或$y=-8$，所以方程的解为$y=\pm8$。
【答案】
(1) $\boxed{2028}$；(2) $\boxed{y=\pm8}$
【知识点】
一元一次方程的定义；代数式求值；绝对值方程解法
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的理解，解题的关键是根据定义准确求出参数a的值，后续的代数式计算和解绝对值方程都属于基础运算，需注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，解绝对值方程时不要漏解。
【难度系数】
0.75
