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7 小明参加了一场 2 000 m 的跑步比赛，他以 4 m/s 的速度跑了一段路程后，又以 3 m/s 的速度跑完了剩下的路程，一共花了 10 min. 设小明以 4 m/s 的速度跑了 x m，则可列方程为 （
A.$4x = 3(x + 10)$
B.$\dfrac{x}{4} + \dfrac{2000 - x}{3} = 10$
C.$\dfrac{x}{3} + \dfrac{2000 - x}{4} = 60 × 10$
D.$\dfrac{x}{4} + \dfrac{2000 - x}{3} = 60 × 10$
D
）A.$4x = 3(x + 10)$
B.$\dfrac{x}{4} + \dfrac{2000 - x}{3} = 10$
C.$\dfrac{x}{3} + \dfrac{2000 - x}{4} = 60 × 10$
D.$\dfrac{x}{4} + \dfrac{2000 - x}{3} = 60 × 10$
答案
7.D
解析
【分析】
这是一道行程类列方程题目，解题核心是找到等量关系：两段路程的行驶时间之和等于总时间。首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度，其次要注意单位统一：题目中速度单位是m/s，总时间给的是分钟，需先将总时间换算为秒，再分别表示出两段路程对应的行驶时间，相加后等于总时间即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：总时间$10\mathrm{min}=10× 60\mathrm{s}=60× 10\mathrm{s}$。
已知小明以$4\mathrm{m/s}$的速度跑了$x\mathrm{m}$，根据时间=路程÷速度，这段路程的耗时为$\dfrac{x}{4}\mathrm{s}$；
剩余路程为$(2000 - x)\mathrm{m}$，以$3\mathrm{m/s}$的速度行驶，这段路程的耗时为$\dfrac{2000 - x}{3}\mathrm{s}$；
根据“两段耗时之和=总耗时”的等量关系，可列方程：$\dfrac{x}{4} + \dfrac{2000 - x}{3} = 60 × 10$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题基本关系、一元一次方程列写、时间单位换算
【点评】
本题是行程问题列方程的基础题型，易错点为忽略单位统一，直接将总时间10代入方程导致错选，做题时需先核对单位是否一致，再结合等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类列方程题目，解题核心是找到等量关系：两段路程的行驶时间之和等于总时间。首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度，其次要注意单位统一：题目中速度单位是m/s，总时间给的是分钟，需先将总时间换算为秒，再分别表示出两段路程对应的行驶时间，相加后等于总时间即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：总时间$10\mathrm{min}=10× 60\mathrm{s}=60× 10\mathrm{s}$。
已知小明以$4\mathrm{m/s}$的速度跑了$x\mathrm{m}$，根据时间=路程÷速度，这段路程的耗时为$\dfrac{x}{4}\mathrm{s}$；
剩余路程为$(2000 - x)\mathrm{m}$，以$3\mathrm{m/s}$的速度行驶，这段路程的耗时为$\dfrac{2000 - x}{3}\mathrm{s}$；
根据“两段耗时之和=总耗时”的等量关系，可列方程：$\dfrac{x}{4} + \dfrac{2000 - x}{3} = 60 × 10$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题基本关系、一元一次方程列写、时间单位换算
【点评】
本题是行程问题列方程的基础题型，易错点为忽略单位统一，直接将总时间10代入方程导致错选，做题时需先核对单位是否一致，再结合等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
8 [2025深圳]若关于$x$的方程$x+a=5$的解为$x=1$，则$a=$
4
.答案
8.4
解析
【分析】
解答本题首先要明确方程的解的含义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=1是原方程的解，我们只需要把x=1代入原方程，就能得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值，这是已知方程的解求参数类题目的通用思路。
【解析】
解：
∵x=1是方程x+a=5的解
∴将x=1代入原方程，可得：
$1 + a = 5$
移项得：$a = 5 - 1$
计算得：$a = 4$
【答案】
4
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程的解的应用，将已知的解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解是解题核心，计算难度低，容易得分。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确方程的解的含义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=1是原方程的解，我们只需要把x=1代入原方程，就能得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值，这是已知方程的解求参数类题目的通用思路。
【解析】
解：
∵x=1是方程x+a=5的解
∴将x=1代入原方程，可得：
$1 + a = 5$
移项得：$a = 5 - 1$
计算得：$a = 4$
【答案】
4
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程的解的应用，将已知的解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解是解题核心，计算难度低，容易得分。
【难度系数】
0.9
9 根据所设未知数列方程：
（1）[2024 徐州改编]我国古代数学著作《张邱建算经》中有一道题，译文如下：甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲 10 枚钱币，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出 5 倍，即甲的钱币数是乙钱币数的 6 倍；若甲给乙 10 枚钱币，此时两人的钱币数相等.问：甲、乙原来各有多少枚钱币（设甲有钱币 $ x $ 枚，乙有钱币 $ y $ 枚）？
（2）某人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感.问：每一轮传染中平均每人传染了几人（设每一轮传染中平均每人传染了 $ x $ 人）？
（3）5月，甲、乙两个工厂的用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后，两个工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月，甲工厂的用水量比5月减少了15%，乙工厂的用水量比5月减少了10%，两个工厂6月的用水量共为174吨.问：甲工厂5月的用水量为多少吨（设甲工厂5月的用水量为 $ y $ 吨）？
（1）[2024 徐州改编]我国古代数学著作《张邱建算经》中有一道题，译文如下：甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲 10 枚钱币，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出 5 倍，即甲的钱币数是乙钱币数的 6 倍；若甲给乙 10 枚钱币，此时两人的钱币数相等.问：甲、乙原来各有多少枚钱币（设甲有钱币 $ x $ 枚，乙有钱币 $ y $ 枚）？
（2）某人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感.问：每一轮传染中平均每人传染了几人（设每一轮传染中平均每人传染了 $ x $ 人）？
（3）5月，甲、乙两个工厂的用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后，两个工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月，甲工厂的用水量比5月减少了15%，乙工厂的用水量比5月减少了10%，两个工厂6月的用水量共为174吨.问：甲工厂5月的用水量为多少吨（设甲工厂5月的用水量为 $ y $ 吨）？
答案
(1) $x+10=6(y-10),x-10=y+10$ (2) $1+x+x(1+x)=36$ (3) $(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$
解析
【分析】
（1）本题需结合两个情境找等量关系列方程：①乙给甲10枚后，甲的钱币数=乙剩余钱币数×6；②甲给乙10枚后，甲剩余钱币数=乙得到10枚后的钱币数，代入设好的x、y即可列出对应方程。
（2）传染问题的推导逻辑：初始有1名患者，第一轮传染后共有$(1+x)$名患者，第二轮中每名患者再传染x人，第二轮新增$x(1+x)$名患者，两轮后总患者数为36，根据总人数求和的等量关系列方程即可。
（3）先根据5月总用水量得到乙工厂5月用水量为$(200-y)$吨，再结合6月两厂用水量的减少比例，分别表示出两厂6月的用水量，根据“6月总用水量为174吨”的等量关系列方程即可。
【解析】
（1）根据“乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍”，可列方程：$x+10=6(y-10)$；根据“甲给乙10枚后两人钱币数相等”，可列方程：$x-10=y+10$。
（2）两轮传染后总患病人数=初始患者数+第一轮新增患者数+第二轮新增患者数，代入数据可得方程：$1+x+x(1+x)=36$。
（3）甲工厂6月用水量为$(1-15\%)y$吨，乙工厂6月用水量为$(1-10\%)(200-y)$吨，根据6月总用水量可列方程：$(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$。
【答案】
(1) $x+10=6(y-10),x-10=y+10$
(2) $1+x+x(1+x)=36$
(3) $(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$
【知识点】
列方程解应用题、等量关系梳理、百分率应用
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，结合所设未知数将文字描述的等量关系转化为数学方程即可，这类题型是后续解决复杂方程类应用题的基础。
【难度系数】
0.7
（1）本题需结合两个情境找等量关系列方程：①乙给甲10枚后，甲的钱币数=乙剩余钱币数×6；②甲给乙10枚后，甲剩余钱币数=乙得到10枚后的钱币数，代入设好的x、y即可列出对应方程。
（2）传染问题的推导逻辑：初始有1名患者，第一轮传染后共有$(1+x)$名患者，第二轮中每名患者再传染x人，第二轮新增$x(1+x)$名患者，两轮后总患者数为36，根据总人数求和的等量关系列方程即可。
（3）先根据5月总用水量得到乙工厂5月用水量为$(200-y)$吨，再结合6月两厂用水量的减少比例，分别表示出两厂6月的用水量，根据“6月总用水量为174吨”的等量关系列方程即可。
【解析】
（1）根据“乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍”，可列方程：$x+10=6(y-10)$；根据“甲给乙10枚后两人钱币数相等”，可列方程：$x-10=y+10$。
（2）两轮传染后总患病人数=初始患者数+第一轮新增患者数+第二轮新增患者数，代入数据可得方程：$1+x+x(1+x)=36$。
（3）甲工厂6月用水量为$(1-15\%)y$吨，乙工厂6月用水量为$(1-10\%)(200-y)$吨，根据6月总用水量可列方程：$(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$。
【答案】
(1) $x+10=6(y-10),x-10=y+10$
(2) $1+x+x(1+x)=36$
(3) $(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$
【知识点】
列方程解应用题、等量关系梳理、百分率应用
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，结合所设未知数将文字描述的等量关系转化为数学方程即可，这类题型是后续解决复杂方程类应用题的基础。
【难度系数】
0.7
10 新考向 探究题 观察下列关于x的方程及其解的特征：
$2x-\frac{x+1}{2}=1$ 的解为 $x=1$；$3x-\frac{x+2}{3}=2$ 的解为 $x=1$；$4x-\frac{x+3}{4}=3$ 的解为 $x=1$；$···$.
根据观察得到的规律，解答下列问题：
（1）方程 $11x-\frac{x+10}{11}=10$ 的解为 ______；
（2）猜想方程 $100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解，并验证；
（3）直接写出按此规律排列的第2026个方程.
$2x-\frac{x+1}{2}=1$ 的解为 $x=1$；$3x-\frac{x+2}{3}=2$ 的解为 $x=1$；$4x-\frac{x+3}{4}=3$ 的解为 $x=1$；$···$.
根据观察得到的规律，解答下列问题：
（1）方程 $11x-\frac{x+10}{11}=10$ 的解为 ______；
（2）猜想方程 $100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解，并验证；
（3）直接写出按此规律排列的第2026个方程.
答案
(1) $x=1$
(2) 方程 $100x-\dfrac{x+99}{100}=99$ 的解为 $x=1$ 当$x=1$时,方程的左边$=100×1-\dfrac{1+99}{100}=100-1=99$,方程的右边$=99$,所以方程的左边$=$方程的右边. 所以 $x=1$ 是方程$100x-\dfrac{x+99}{100}=99$ 的解
(3) 按此规律排列的第 2026 个方程为 $2027x-\dfrac{x+2026}{2027}=2026$
(2) 方程 $100x-\dfrac{x+99}{100}=99$ 的解为 $x=1$ 当$x=1$时,方程的左边$=100×1-\dfrac{1+99}{100}=100-1=99$,方程的右边$=99$,所以方程的左边$=$方程的右边. 所以 $x=1$ 是方程$100x-\dfrac{x+99}{100}=99$ 的解
(3) 按此规律排列的第 2026 个方程为 $2027x-\dfrac{x+2026}{2027}=2026$
解析
【分析】
首先观察题干给出的已知方程及解的共同特征：①所有同结构方程的解均为$x=1$；②方程结构可总结为：$nx-\frac{x+(n-1)}{n}=n-1$（$n$是大于等于2的正整数）。解题思路如下：（1）直接根据解的规律写出答案即可；（2）先猜想解为$x=1$，再将$x=1$代入方程左右两边计算，验证两边是否相等即可；（3）先推导第$k$个方程的通用形式：第$k$个方程对应$n=k+1$，代入通用结构即可得到第2026个方程。
【解析】
（1）根据已知方程解的共同规律，可直接得到$11x-\frac{x+10}{11}=10$的解为$x=1$。
（2）猜想方程的解为$x=1$，验证过程如下：
把$x=1$代入方程左边：$100×1-\frac{1+99}{100}=100-1=99$，
方程右边为99，左边=右边，因此$x=1$是该方程的解。
（3）观察方程排列规律：
第1个方程：$2x-\frac{x+1}{2}=1$，对应$n=1+1=2$，右边为1；
第2个方程：$3x-\frac{x+2}{3}=2$，对应$n=2+1=3$，右边为2；
……
第$k$个方程：$(k+1)x-\frac{x+k}{k+1}=k$
当$k=2026$时，代入得第2026个方程为$2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026$。
【答案】
(1) $x=1$
(2) 方程的解为$x=1$，验证：当$x=1$时,方程的左边$=100×1-\dfrac{1+99}{100}=100-1=99$,方程的右边$=99$,所以方程的左边$=$方程的右边，所以 $x=1$ 是方程$100x-\dfrac{x+99}{100}=99$ 的解
(3) $2027x-\dfrac{x+2026}{2027}=2026$
【知识点】
一元一次方程的解，规律探究，方程的检验
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要学生通过观察已知示例总结方程的结构特征和解的规律，同时考查了方程解的验证方法，侧重对观察归纳能力和逻辑验证能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察题干给出的已知方程及解的共同特征：①所有同结构方程的解均为$x=1$；②方程结构可总结为：$nx-\frac{x+(n-1)}{n}=n-1$（$n$是大于等于2的正整数）。解题思路如下：（1）直接根据解的规律写出答案即可；（2）先猜想解为$x=1$，再将$x=1$代入方程左右两边计算，验证两边是否相等即可；（3）先推导第$k$个方程的通用形式：第$k$个方程对应$n=k+1$，代入通用结构即可得到第2026个方程。
【解析】
（1）根据已知方程解的共同规律，可直接得到$11x-\frac{x+10}{11}=10$的解为$x=1$。
（2）猜想方程的解为$x=1$，验证过程如下：
把$x=1$代入方程左边：$100×1-\frac{1+99}{100}=100-1=99$，
方程右边为99，左边=右边，因此$x=1$是该方程的解。
（3）观察方程排列规律：
第1个方程：$2x-\frac{x+1}{2}=1$，对应$n=1+1=2$，右边为1；
第2个方程：$3x-\frac{x+2}{3}=2$，对应$n=2+1=3$，右边为2；
……
第$k$个方程：$(k+1)x-\frac{x+k}{k+1}=k$
当$k=2026$时，代入得第2026个方程为$2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026$。
【答案】
(1) $x=1$
(2) 方程的解为$x=1$，验证：当$x=1$时,方程的左边$=100×1-\dfrac{1+99}{100}=100-1=99$,方程的右边$=99$,所以方程的左边$=$方程的右边，所以 $x=1$ 是方程$100x-\dfrac{x+99}{100}=99$ 的解
(3) $2027x-\dfrac{x+2026}{2027}=2026$
【知识点】
一元一次方程的解，规律探究，方程的检验
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要学生通过观察已知示例总结方程的结构特征和解的规律，同时考查了方程解的验证方法，侧重对观察归纳能力和逻辑验证能力的考查。
【难度系数】
0.8
