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1 根据下列条件,能列出方程的是 （
A.$a$ 与 $b$ 的和的 $20\%$
B.一个数的 $2$ 倍与该数的 $\dfrac{1}{5}$ 的和是 $11$
C.$a$ 与 $1$ 的差的一半
D.一个数的 $2$ 倍比它小
B
）A.$a$ 与 $b$ 的和的 $20\%$
B.一个数的 $2$ 倍与该数的 $\dfrac{1}{5}$ 的和是 $11$
C.$a$ 与 $1$ 的差的一半
D.一个数的 $2$ 倍比它小
答案
1.B
解析
【分析】
解题的核心依据是方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断能否列出方程需同时满足两个条件：一是描述中存在相等关系（可写出等号），二是存在未知量。我们逐一排查每个选项是否满足这两个条件，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确方程的判定标准：同时具备①含有未知数，②是表示相等关系的等式，两个特征的式子才是方程。
选项A：描述可转化为代数式$20\%(a+b)$，仅表示数量关系，无相等关系，无法列出方程；
选项B：设这个未知的数为$x$，根据“和是11”的相等关系，可列方程$2x+\frac{1}{5}x=11$，符合方程的定义，能列出方程；
选项C：描述可转化为代数式$\frac{1}{2}(a-1)$，无相等关系，无法列出方程；
选项D：“比它小”描述的是不等的大小关系，只能列出不等式，无法列出方程。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 方程的定义
2. 相等关系识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确把握方程的两个核心特征，注意区分代数式、等式、不等式的差异，避免将不等关系或无相等关系的代数式错当成方程。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断能否列出方程需同时满足两个条件：一是描述中存在相等关系（可写出等号），二是存在未知量。我们逐一排查每个选项是否满足这两个条件，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确方程的判定标准：同时具备①含有未知数，②是表示相等关系的等式，两个特征的式子才是方程。
选项A：描述可转化为代数式$20\%(a+b)$，仅表示数量关系，无相等关系，无法列出方程；
选项B：设这个未知的数为$x$，根据“和是11”的相等关系，可列方程$2x+\frac{1}{5}x=11$，符合方程的定义，能列出方程；
选项C：描述可转化为代数式$\frac{1}{2}(a-1)$，无相等关系，无法列出方程；
选项D：“比它小”描述的是不等的大小关系，只能列出不等式，无法列出方程。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 方程的定义
2. 相等关系识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确把握方程的两个核心特征，注意区分代数式、等式、不等式的差异，避免将不等关系或无相等关系的代数式错当成方程。
【难度系数】
0.85
2 在下列方程中,解是$x=-1$的为 （
A.$2x+1=1$
B.$1-2x=1$
C.$\dfrac{x+1}{2}=2$
D.$\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{x-3}{2}=2$
D
）A.$2x+1=1$
B.$1-2x=1$
C.$\dfrac{x+1}{2}=2$
D.$\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{x-3}{2}=2$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个方程的解是$x=-1$，可依据方程的解的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解），选择两种解题思路：一是将$x=-1$分别代入四个选项的方程，验证左右两边是否相等；二是分别解四个方程，判断解是否为$x=-1$。其中代入验证法更简便快捷，适合做这类选择题。
【解析】
我们采用代入验证法逐一判断：
选项A：把$x=-1$代入方程左边，得$2×(-1)+1=-2+1=-1$，方程右边为1，左边≠右边，故$x=-1$不是该方程的解；
选项B：把$x=-1$代入方程左边，得$1-2×(-1)=1+2=3$，方程右边为1，左边≠右边，故$x=-1$不是该方程的解；
选项C：把$x=-1$代入方程左边，得$\dfrac{-1+1}{2}=0$，方程右边为2，左边≠右边，故$x=-1$不是该方程的解；
选项D：把$x=-1$代入方程左边，得$\dfrac{-1+1}{3}-\dfrac{-1-3}{2}=0-\dfrac{-4}{2}=0+2=2$，方程右边为2，左边=右边，故$x=-1$是该方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程的解的概念的理解，代入验证法是解决这类判断方程解的选择题的常用技巧，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
要判断哪个方程的解是$x=-1$，可依据方程的解的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解），选择两种解题思路：一是将$x=-1$分别代入四个选项的方程，验证左右两边是否相等；二是分别解四个方程，判断解是否为$x=-1$。其中代入验证法更简便快捷，适合做这类选择题。
【解析】
我们采用代入验证法逐一判断：
选项A：把$x=-1$代入方程左边，得$2×(-1)+1=-2+1=-1$，方程右边为1，左边≠右边，故$x=-1$不是该方程的解；
选项B：把$x=-1$代入方程左边，得$1-2×(-1)=1+2=3$，方程右边为1，左边≠右边，故$x=-1$不是该方程的解；
选项C：把$x=-1$代入方程左边，得$\dfrac{-1+1}{2}=0$，方程右边为2，左边≠右边，故$x=-1$不是该方程的解；
选项D：把$x=-1$代入方程左边，得$\dfrac{-1+1}{3}-\dfrac{-1-3}{2}=0-\dfrac{-4}{2}=0+2=2$，方程右边为2，左边=右边，故$x=-1$是该方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程的解的概念的理解，代入验证法是解决这类判断方程解的选择题的常用技巧，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
3 [2024广西]《九章算术》中记载了一个问题，其大致意思为现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱，三年共得100钱。问：出租的田有多少亩？设出租的田有$ x $亩，可列方程为（
A.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 1$
B.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 100$
C.$3x + 4x + 5x = 1$
D.$3x + 4x + 5x = 100$
B
）A.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 1$
B.$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 100$
C.$3x + 4x + 5x = 1$
D.$3x + 4x + 5x = 100$
答案
3.B
解析
【分析】
解题的核心是先找准题目中的等量关系：三年收取的租金总和为100钱。已知出租田总亩数为$x$亩，我们只需分别算出每年的租金再相加，让其等于总租金100钱即可列出方程。计算每年租金时，先根据“$n$亩1钱”得出当年每亩租金为$\frac{1}{n}$钱，再乘总亩数$x$就能得到当年的租金。
【解析】
设出租的田有$x$亩：
1. 第一年3亩收1钱，每亩租金为$\frac{1}{3}$钱，因此第一年租金为$\frac{x}{3}$钱；
2. 第二年4亩收1钱，每亩租金为$\frac{1}{4}$钱，因此第二年租金为$\frac{x}{4}$钱；
3. 第三年5亩收1钱，每亩租金为$\frac{1}{5}$钱，因此第三年租金为$\frac{x}{5}$钱；
4. 根据三年总租金为100钱，列方程得：$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=100$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系识别、列代数式
【点评】
本题结合古代数学典籍《九章算术》的素材出题，考查学生从实际场景中提取数量关系、列方程的能力，解题关键是理清每亩每年的租金计算逻辑，结合总租金的等量关系列等式即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先找准题目中的等量关系：三年收取的租金总和为100钱。已知出租田总亩数为$x$亩，我们只需分别算出每年的租金再相加，让其等于总租金100钱即可列出方程。计算每年租金时，先根据“$n$亩1钱”得出当年每亩租金为$\frac{1}{n}$钱，再乘总亩数$x$就能得到当年的租金。
【解析】
设出租的田有$x$亩：
1. 第一年3亩收1钱，每亩租金为$\frac{1}{3}$钱，因此第一年租金为$\frac{x}{3}$钱；
2. 第二年4亩收1钱，每亩租金为$\frac{1}{4}$钱，因此第二年租金为$\frac{x}{4}$钱；
3. 第三年5亩收1钱，每亩租金为$\frac{1}{5}$钱，因此第三年租金为$\frac{x}{5}$钱；
4. 根据三年总租金为100钱，列方程得：$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=100$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系识别、列代数式
【点评】
本题结合古代数学典籍《九章算术》的素材出题，考查学生从实际场景中提取数量关系、列方程的能力，解题关键是理清每亩每年的租金计算逻辑，结合总租金的等量关系列等式即可。
【难度系数】
0.8
4 教材 P111 练习 T2 变式 判断 $x=\dfrac{2}{5}$ 是否为下面各方程的解：
(1) $25x^2 - 4 = 0$；
(2) $\dfrac{1}{2x - 1} = 5$。
(1) $25x^2 - 4 = 0$；
(2) $\dfrac{1}{2x - 1} = 5$。
答案
(1) 是 (2) 不是
解析
【分析】
判断一个数是否为方程的解，核心使用代入检验法：将给定的未知数的值分别代入方程的左右两边，计算两边的结果，若左右两边结果相等且方程本身有意义（如分母不为0），则该数是方程的解，反之则不是。解题时我们对两个方程依次代入计算、对比结果即可。
【解析】
(1) 将$x=\dfrac{2}{5}$代入方程$25x^2 - 4 = 0$的左边：
左边$=25×(\dfrac{2}{5})^2 - 4=25×\dfrac{4}{25} - 4=4 - 4=0$
右边$=0$，左边=右边，因此$x=\dfrac{2}{5}$是该方程的解。
(2) 将$x=\dfrac{2}{5}$代入方程$\dfrac{1}{2x - 1} = 5$的左边：
先计算分母：$2x-1=2×\dfrac{2}{5}-1=\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{5}=-\dfrac{1}{5}≠0$，方程有意义
左边$=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{5}}=-5$
右边$=5$，左边≠右边，因此$x=\dfrac{2}{5}$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是 (2) 不是
【知识点】
方程的解的定义，代入检验法，分式有意义条件
【点评】
本题是方程相关的基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的判断方法，代入计算时注意运算准确性，含分母的方程要先确认分母不为0再计算对比结果。
【难度系数】
0.9
判断一个数是否为方程的解，核心使用代入检验法：将给定的未知数的值分别代入方程的左右两边，计算两边的结果，若左右两边结果相等且方程本身有意义（如分母不为0），则该数是方程的解，反之则不是。解题时我们对两个方程依次代入计算、对比结果即可。
【解析】
(1) 将$x=\dfrac{2}{5}$代入方程$25x^2 - 4 = 0$的左边：
左边$=25×(\dfrac{2}{5})^2 - 4=25×\dfrac{4}{25} - 4=4 - 4=0$
右边$=0$，左边=右边，因此$x=\dfrac{2}{5}$是该方程的解。
(2) 将$x=\dfrac{2}{5}$代入方程$\dfrac{1}{2x - 1} = 5$的左边：
先计算分母：$2x-1=2×\dfrac{2}{5}-1=\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{5}=-\dfrac{1}{5}≠0$，方程有意义
左边$=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{5}}=-5$
右边$=5$，左边≠右边，因此$x=\dfrac{2}{5}$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是 (2) 不是
【知识点】
方程的解的定义，代入检验法，分式有意义条件
【点评】
本题是方程相关的基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的判断方法，代入计算时注意运算准确性，含分母的方程要先确认分母不为0再计算对比结果。
【难度系数】
0.9
5 教材 P110 例3变式 根据所设未知数列方程：
（1）三个连续偶数的和为－252.设中间的偶数为 $ x $.
（2）一个长方形的长比宽多5 cm，周长为20 cm.设宽为 $ x $ cm.
（3）如图，设梅花鹿现在的身高为 $ x $ m.
（1）三个连续偶数的和为－252.设中间的偶数为 $ x $.
（2）一个长方形的长比宽多5 cm，周长为20 cm.设宽为 $ x $ cm.
（3）如图，设梅花鹿现在的身高为 $ x $ m.
答案
(1) $x-2+x+x+2=-252$ (2) $2(x+5+x)=20$ (3) $x+4=3x+1$
解析
【分析】
解题核心是找准各题的等量关系，结合已知条件表示相关量后列方程：
(1) 连续偶数的相邻两数差为2，设中间偶数为x，可表示出其余两个偶数，再根据“三个连续偶数的和为-252”列等式；
(2) 长方形周长公式为“周长=2×(长+宽)”，设宽为x cm，先表示出长，再代入周长公式即可列方程；
(3) 长颈鹿的身高有两种表达形式：一是比梅花鹿高4m，即x+4；二是比梅花鹿身高的3倍多1m，即3x+1，两个表达式均表示长颈鹿身高，因此相等，据此列方程。
【解析】
(1) 相邻偶数相差2，中间的偶数为x，则较小的偶数为x-2，较大的偶数为x+2，根据三个数的和为-252，列方程：
$x-2+x+x+2=-252$
(2) 宽为x cm，长比宽多5 cm，则长为$(x+5)$ cm，根据长方形周长公式，周长为20 cm，列方程：
$2(x+5+x)=20$
(3) 梅花鹿身高为x m，长颈鹿身高可表示为$(x+4)$m，也可表示为$(3x+1)$m，二者相等，列方程：
$x+4=3x+1$
【答案】
(1) $x-2+x+x+2=-252$
(2) $2(x+5+x)=20$
(3) $x+4=3x+1$
【知识点】
列一元一次方程、连续偶数性质、长方形周长公式
【点评】
本题是列方程的基础题型，主要考查根据等量关系列方程的能力，解题关键是准确提取题目中的隐含等量关系，结合对应性质或公式列式，是后续用方程解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题核心是找准各题的等量关系，结合已知条件表示相关量后列方程：
(1) 连续偶数的相邻两数差为2，设中间偶数为x，可表示出其余两个偶数，再根据“三个连续偶数的和为-252”列等式；
(2) 长方形周长公式为“周长=2×(长+宽)”，设宽为x cm，先表示出长，再代入周长公式即可列方程；
(3) 长颈鹿的身高有两种表达形式：一是比梅花鹿高4m，即x+4；二是比梅花鹿身高的3倍多1m，即3x+1，两个表达式均表示长颈鹿身高，因此相等，据此列方程。
【解析】
(1) 相邻偶数相差2，中间的偶数为x，则较小的偶数为x-2，较大的偶数为x+2，根据三个数的和为-252，列方程：
$x-2+x+x+2=-252$
(2) 宽为x cm，长比宽多5 cm，则长为$(x+5)$ cm，根据长方形周长公式，周长为20 cm，列方程：
$2(x+5+x)=20$
(3) 梅花鹿身高为x m，长颈鹿身高可表示为$(x+4)$m，也可表示为$(3x+1)$m，二者相等，列方程：
$x+4=3x+1$
【答案】
(1) $x-2+x+x+2=-252$
(2) $2(x+5+x)=20$
(3) $x+4=3x+1$
【知识点】
列一元一次方程、连续偶数性质、长方形周长公式
【点评】
本题是列方程的基础题型，主要考查根据等量关系列方程的能力，解题关键是准确提取题目中的隐含等量关系，结合对应性质或公式列式，是后续用方程解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.8
6 下列数中,属于方程$x^2 - 2x = 0$的解的是 （
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
6.B
解析
【分析】
解题可以用两种思路：思路一：根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，我们可以把每个选项的数值依次代入方程左边计算，判断计算结果是否等于右边的0，相等的就是方程的解；思路二：先求解方程$x^2 - 2x = 0$，得到方程的所有根，再对应选项选出正确答案。两种方法都可以快速得到结果，其中代入检验法是做这类选择题的常用技巧。
【解析】
方法一（代入检验法）：
方程$x^2 - 2x = 0$的右边为0，我们逐个代入选项计算左边的值：
选项A：当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 - 2×(-2)=4 + 4=8≠0$，不是方程的解；
选项B：当$x=2$时，左边$=2^2 - 2×2=4 - 4=0$，和右边相等，是方程的解；
选项C：当$x=-1$时，左边$=(-1)^2 - 2×(-1)=1 + 2=3≠0$，不是方程的解；
选项D：当$x=1$时，左边$=1^2 - 2×1=1 - 2=-1≠0$，不是方程的解。
综上，答案选B。
方法二（解方程法）：
对$x^2 - 2x = 0$变形，提取公因式$x$得：$x(x - 2)=0$，
所以$x=0$或$x-2=0$，即方程的解为$x=0$或$x=2$，
选项中只有2是方程的解，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元二次方程求解
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对方程的解的概念的理解，既可以通过代入法快速验证选项，也可以直接解方程得到结果，两种方法都要求熟练掌握，是方程章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题可以用两种思路：思路一：根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，我们可以把每个选项的数值依次代入方程左边计算，判断计算结果是否等于右边的0，相等的就是方程的解；思路二：先求解方程$x^2 - 2x = 0$，得到方程的所有根，再对应选项选出正确答案。两种方法都可以快速得到结果，其中代入检验法是做这类选择题的常用技巧。
【解析】
方法一（代入检验法）：
方程$x^2 - 2x = 0$的右边为0，我们逐个代入选项计算左边的值：
选项A：当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 - 2×(-2)=4 + 4=8≠0$，不是方程的解；
选项B：当$x=2$时，左边$=2^2 - 2×2=4 - 4=0$，和右边相等，是方程的解；
选项C：当$x=-1$时，左边$=(-1)^2 - 2×(-1)=1 + 2=3≠0$，不是方程的解；
选项D：当$x=1$时，左边$=1^2 - 2×1=1 - 2=-1≠0$，不是方程的解。
综上，答案选B。
方法二（解方程法）：
对$x^2 - 2x = 0$变形，提取公因式$x$得：$x(x - 2)=0$，
所以$x=0$或$x-2=0$，即方程的解为$x=0$或$x=2$，
选项中只有2是方程的解，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元二次方程求解
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对方程的解的概念的理解，既可以通过代入法快速验证选项，也可以直接解方程得到结果，两种方法都要求熟练掌握，是方程章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
