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7 已知$2a = b + 1$. 给出下列等式:① $2a + 1 = b + 2$;② $2a - b = 1$;③ $a = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$;④ $4a = 2b + 1$. 其中,不成立的是________(填序号).
答案
7. ④
解析
【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题思路为：根据已知等式$2a = b + 1$，结合等式的两条基本性质，逐个验证四个等式的变形是否正确，即可找出不成立的等式。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，变形时要注意两边需做完全相同的运算。
【解析】
已知$2a = b + 1$，逐一验证如下：
1. 验证①：等式两边同时加1，左边变为$2a + 1$，右边变为$b + 1 + 1 = b + 2$，可得$2a + 1 = b + 2$，故①成立；
2. 验证②：等式两边同时减$b$，左边变为$2a - b$，右边变为$b + 1 - b = 1$，可得$2a - b = 1$，故②成立；
3. 验证③：等式两边同时除以2，左边变为$2a ÷ 2 = a$，右边变为$(b + 1) ÷ 2 = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$，可得$a = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$，故③成立；
4. 验证④：等式两边同时乘2，左边变为$2a × 2 = 4a$，右边变为$2(b + 1) = 2b + 2$，应为$4a = 2b + 2$，而非$4a = 2b + 1$，故④不成立。
【答案】
④
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心易错点是对等式两边乘同一个数时，漏乘不含字母的常数项，做题时需注意每一步变形要保证等式两边的运算完全一致。
【难度系数】
0.85
本题考查等式的性质的应用，解题思路为：根据已知等式$2a = b + 1$，结合等式的两条基本性质，逐个验证四个等式的变形是否正确，即可找出不成立的等式。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，变形时要注意两边需做完全相同的运算。
【解析】
已知$2a = b + 1$，逐一验证如下：
1. 验证①：等式两边同时加1，左边变为$2a + 1$，右边变为$b + 1 + 1 = b + 2$，可得$2a + 1 = b + 2$，故①成立；
2. 验证②：等式两边同时减$b$，左边变为$2a - b$，右边变为$b + 1 - b = 1$，可得$2a - b = 1$，故②成立；
3. 验证③：等式两边同时除以2，左边变为$2a ÷ 2 = a$，右边变为$(b + 1) ÷ 2 = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$，可得$a = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$，故③成立；
4. 验证④：等式两边同时乘2，左边变为$2a × 2 = 4a$，右边变为$2(b + 1) = 2b + 2$，应为$4a = 2b + 2$，而非$4a = 2b + 1$，故④不成立。
【答案】
④
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心易错点是对等式两边乘同一个数时，漏乘不含字母的常数项，做题时需注意每一步变形要保证等式两边的运算完全一致。
【难度系数】
0.85
8 在将等式 $3x - 2y = 2x - 2y$ 变形时，小明的变形过程如下：
因为 $3x - 2y = 2x - 2y$，所以 $3x = 2x$.（第一步）
所以 $3 = 2$.（第二步）
（1）上述过程中，第一步的依据是什么？
（2）小明第二步的结论正确吗？请说明理由.
因为 $3x - 2y = 2x - 2y$，所以 $3x = 2x$.（第一步）
所以 $3 = 2$.（第二步）
（1）上述过程中，第一步的依据是什么？
（2）小明第二步的结论正确吗？请说明理由.
答案
8. (1) 第一步的依据是等式的基本性质1
(2) 小明第二步的结论不正确 理由:因为根据等式的基本性质2,等式两边都除以同一个不为0的数,等式仍然成立,所以当$x=0$时,等式的两边都除以$x$,等式不成立.所以小明第二步的结论不正确.
(2) 小明第二步的结论不正确 理由:因为根据等式的基本性质2,等式两边都除以同一个不为0的数,等式仍然成立,所以当$x=0$时,等式的两边都除以$x$,等式不成立.所以小明第二步的结论不正确.
解析
【分析】
解决这道题需要结合等式的基本性质逐步分析：首先观察第一步变形，是在原等式两边同时加2y消掉了两边的-2y，对应等式的基本性质1；再看第二步变形，是在3x=2x的两边同时除以x得到3=2，此时需要结合等式的基本性质2的限制条件判断：等式两边除以的数不能为0，若x为0，除以x的操作不符合规则，即可判断第二步的正误。
【解析】
（1）第一步将等式$3x - 2y = 2x - 2y$的两边同时加上$2y$，得到$3x=2x$，依据是等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
（2）小明第二步的结论不正确。理由：根据等式的基本性质2，等式两边除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若要从$3x=2x$变形得到$3=2$，需要在等式两边同时除以$x$，但$x$有可能为0，0不能作除数，因此不能直接两边除以$x$，所以第二步结论错误。
【答案】
(1) 第一步的依据是等式的基本性质1
(2) 小明第二步的结论不正确 理由:因为根据等式的基本性质2,等式两边都除以同一个不为0的数,等式仍然成立,所以当$x=0$时,等式的两边都除以$x$,等式不成立.所以小明第二步的结论不正确.
【知识点】
等式的基本性质1，等式的基本性质2，0不能作除数
【点评】
本题重点考查对等式基本性质的掌握和运用，易错点是对等式两边同时除以含未知数的式子时，忽略该式子可能为0的情况，解题时要注意等式变形的严谨性。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要结合等式的基本性质逐步分析：首先观察第一步变形，是在原等式两边同时加2y消掉了两边的-2y，对应等式的基本性质1；再看第二步变形，是在3x=2x的两边同时除以x得到3=2，此时需要结合等式的基本性质2的限制条件判断：等式两边除以的数不能为0，若x为0，除以x的操作不符合规则，即可判断第二步的正误。
【解析】
（1）第一步将等式$3x - 2y = 2x - 2y$的两边同时加上$2y$，得到$3x=2x$，依据是等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
（2）小明第二步的结论不正确。理由：根据等式的基本性质2，等式两边除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若要从$3x=2x$变形得到$3=2$，需要在等式两边同时除以$x$，但$x$有可能为0，0不能作除数，因此不能直接两边除以$x$，所以第二步结论错误。
【答案】
(1) 第一步的依据是等式的基本性质1
(2) 小明第二步的结论不正确 理由:因为根据等式的基本性质2,等式两边都除以同一个不为0的数,等式仍然成立,所以当$x=0$时,等式的两边都除以$x$,等式不成立.所以小明第二步的结论不正确.
【知识点】
等式的基本性质1，等式的基本性质2，0不能作除数
【点评】
本题重点考查对等式基本性质的掌握和运用，易错点是对等式两边同时除以含未知数的式子时，忽略该式子可能为0的情况，解题时要注意等式变形的严谨性。
【难度系数】
0.7
9 教材 P108 例2变式 利用等式的基本性质，将下列等式变形为$x=c$($c$为常数)的形式：
(1) $\frac{5}{2}x - 7 = \frac{3}{2}x + 1$；
(2) $56 = 3x + 32 - 2x$；
(3) $\frac{2}{3}x - 7 = 1$；
(4) $7.9x + 1.58 + 2x = 7.9x - 8.42$。
(1) $\frac{5}{2}x - 7 = \frac{3}{2}x + 1$；
(2) $56 = 3x + 32 - 2x$；
(3) $\frac{2}{3}x - 7 = 1$；
(4) $7.9x + 1.58 + 2x = 7.9x - 8.42$。
答案
9. (1) $x=8$
(2) $x=24$
(3) $x=12$
(4) $x=-5$
(2) $x=24$
(3) $x=12$
(4) $x=-5$
解析
【分析】
我们利用等式的两条基本性质变形求解：①等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题统一按三步思考：第一步，通过等式性质1，将含x的项移到等式左边，常数项移到等式右边（移项要变号）；第二步，合并同类项；第三步，通过等式性质2，将x的系数化为1，最终得到$x=c$的形式。
【解析】
(1) $\frac{5}{2}x - 7 = \frac{3}{2}x + 1$
根据等式性质1，两边同时减去$\frac{3}{2}x$、加上7，得：
$\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}x = 1 + 7$
合并同类项得：$x=8$
(2) $56 = 3x + 32 - 2x$
先合并等式右侧同类项，得：$56 = x + 32$
根据等式性质1，两边同时减去32，得：
$x = 56 - 32 = 24$
(3) $\frac{2}{3}x - 7 = 1$
根据等式性质1，两边同时加7，得：
$\frac{2}{3}x = 8$
根据等式性质2，两边同时乘$\frac{3}{2}$，得：
$x = 8 × \frac{3}{2} = 12$
(4) $7.9x + 1.58 + 2x = 7.9x - 8.42$
根据等式性质1，两边同时减去$7.9x$，得：
$1.58 + 2x = -8.42$
根据等式性质1，两边同时减去1.58，得：
$2x = -8.42 - 1.58 = -10$
根据等式性质2，两边同时除以2，得：
$x = -5$
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=24$；(3) $x=12$；(4) $x=-5$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程求解，合并同类项
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心是熟练掌握等式性质的运算规则，解题时注意移项要改变符号，系数化为1时要注意运算符号和乘除运算的准确性。
【难度系数】
0.8
我们利用等式的两条基本性质变形求解：①等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题统一按三步思考：第一步，通过等式性质1，将含x的项移到等式左边，常数项移到等式右边（移项要变号）；第二步，合并同类项；第三步，通过等式性质2，将x的系数化为1，最终得到$x=c$的形式。
【解析】
(1) $\frac{5}{2}x - 7 = \frac{3}{2}x + 1$
根据等式性质1，两边同时减去$\frac{3}{2}x$、加上7，得：
$\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}x = 1 + 7$
合并同类项得：$x=8$
(2) $56 = 3x + 32 - 2x$
先合并等式右侧同类项，得：$56 = x + 32$
根据等式性质1，两边同时减去32，得：
$x = 56 - 32 = 24$
(3) $\frac{2}{3}x - 7 = 1$
根据等式性质1，两边同时加7，得：
$\frac{2}{3}x = 8$
根据等式性质2，两边同时乘$\frac{3}{2}$，得：
$x = 8 × \frac{3}{2} = 12$
(4) $7.9x + 1.58 + 2x = 7.9x - 8.42$
根据等式性质1，两边同时减去$7.9x$，得：
$1.58 + 2x = -8.42$
根据等式性质1，两边同时减去1.58，得：
$2x = -8.42 - 1.58 = -10$
根据等式性质2，两边同时除以2，得：
$x = -5$
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=24$；(3) $x=12$；(4) $x=-5$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程求解，合并同类项
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心是熟练掌握等式性质的运算规则，解题时注意移项要改变符号，系数化为1时要注意运算符号和乘除运算的准确性。
【难度系数】
0.8
10 问题:怎样将$0.\dot{8}$表示成分数? 小明的探究过程如下:设$x=0.\dot{8}$①. 所以$10x=10×0.\dot{8}$②,即$10x=8.\dot{8}$③. 所以$10x=8+0.\dot{8}$④,即$10x=8+x$⑤. 所以$9x=8$⑥. 所以$x=\frac{8}{9}$⑦,即$0.\dot{8}=\frac{8}{9}$.
根据以上信息,回答下面的问题:
(1) 从步骤①到步骤②,变形的依据是________,从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是________;
(2) 仿照上述探究过程,请将$0.\dot{3}\dot{6}$表示成分数.
根据以上信息,回答下面的问题:
(1) 从步骤①到步骤②,变形的依据是________,从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是________;
(2) 仿照上述探究过程,请将$0.\dot{3}\dot{6}$表示成分数.
答案
10. (1) 等式的基本性质2 等式的基本性质1
(2) 设 $0.\dot{3}\dot{6}=x$. 所以 $100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$,即 $100x=36.\dot{3}\dot{6}$. 所以 $100x=36+x$,即 $99x=36$. 所以 $x=\dfrac{4}{11}$,即 $0.\dot{3}\dot{6}=\dfrac{4}{11}$
(2) 设 $0.\dot{3}\dot{6}=x$. 所以 $100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$,即 $100x=36.\dot{3}\dot{6}$. 所以 $100x=36+x$,即 $99x=36$. 所以 $x=\dfrac{4}{11}$,即 $0.\dot{3}\dot{6}=\dfrac{4}{11}$
解析
【分析】
（1）首先明确等式的两个基本性质：等式性质1为等式两边加/减同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2为等式两边乘/除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。步骤①到②是给等式两边同时乘10，对应等式性质2；步骤⑤到⑥是给等式两边同时减x，对应等式性质1。
（2）仿照示例的转化方法，先观察$0.\dot{3}\dot{6}$的循环节为2位，因此将原数扩大100倍，使扩大后的数的小数部分与原数完全相同，再列方程消去循环小数部分，求解方程后约分即可得到对应分数。
【解析】
（1）步骤①到②是将等式$x=0.\dot{8}$两边同时乘10，变形依据是等式的基本性质2；步骤⑤到⑥是将等式$10x=8+x$两边同时减x，变形依据是等式的基本性质1。
（2）设$x = 0.\dot{3}\dot{6}$，
等式两边同时乘100，得$100x = 100×0.\dot{3}\dot{6}$，即$100x = 36.\dot{3}\dot{6}$，
因此$100x = 36 + 0.\dot{3}\dot{6}$，代入$x = 0.\dot{3}\dot{6}$得$10x = 36 + x$，
移项合并同类项得$99x = 36$，
系数化为1得$x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$。
【答案】
(1) 等式的基本性质2；等式的基本性质1
(2) $0.\dot{3}\dot{6}=\dfrac{4}{11}$
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程的应用、无限循环小数化分数
【点评】
本题考查对等式性质的理解和方法迁移能力，核心是根据循环节的位数正确扩大原数，消去循环部分，解题思路清晰，侧重对基础方法的掌握和运用。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确等式的两个基本性质：等式性质1为等式两边加/减同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2为等式两边乘/除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。步骤①到②是给等式两边同时乘10，对应等式性质2；步骤⑤到⑥是给等式两边同时减x，对应等式性质1。
（2）仿照示例的转化方法，先观察$0.\dot{3}\dot{6}$的循环节为2位，因此将原数扩大100倍，使扩大后的数的小数部分与原数完全相同，再列方程消去循环小数部分，求解方程后约分即可得到对应分数。
【解析】
（1）步骤①到②是将等式$x=0.\dot{8}$两边同时乘10，变形依据是等式的基本性质2；步骤⑤到⑥是将等式$10x=8+x$两边同时减x，变形依据是等式的基本性质1。
（2）设$x = 0.\dot{3}\dot{6}$，
等式两边同时乘100，得$100x = 100×0.\dot{3}\dot{6}$，即$100x = 36.\dot{3}\dot{6}$，
因此$100x = 36 + 0.\dot{3}\dot{6}$，代入$x = 0.\dot{3}\dot{6}$得$10x = 36 + x$，
移项合并同类项得$99x = 36$，
系数化为1得$x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$。
【答案】
(1) 等式的基本性质2；等式的基本性质1
(2) $0.\dot{3}\dot{6}=\dfrac{4}{11}$
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程的应用、无限循环小数化分数
【点评】
本题考查对等式性质的理解和方法迁移能力，核心是根据循环节的位数正确扩大原数，消去循环部分，解题思路清晰，侧重对基础方法的掌握和运用。
【难度系数】
0.7
