1 根据等式的基本性质，下列变形正确的是 （）

A.如果 $a = b$，$c = d$，那么 $a + c = b + d$
B.如果 $4a = 2$，那么 $a = 2$
C.如果 $1 - 2a = 3a$，那么 $3a + 2a = -1$
D.如果 $ac = bc$，那么 $a = b$

1. A

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时先回忆等式的两条基本性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。再逐一分析每个选项是否符合等式基本性质，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知$a=b$，根据等式性质1，等式两边同时加$c$得$a+c=b+c$；又因为$c=d$，将$b+c$中的$c$替换为$d$，可得$b+c=b+d$，因此$a+c=b+d$，该变形正确。
选项B：如果$4a=2$，根据等式性质2，两边同时除以4，得$a=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，不是$a=2$，该变形错误。
选项C：如果$1-2a=3a$，将左边的$-2a$移到等式右边要变号，得$1=3a+2a$，即$3a+2a=1$，不是$3a+2a=-1$，该变形错误。
选项D：如果$ac=bc$，根据等式性质2，只有当$c≠0$时，两边同时除以$c$才能得到$a=b$，若$c=0$，$a$和$b$不一定相等，该变形错误。
综上，只有A选项的变形正确。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质、移项法则
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点在于忽略等式性质2中除数不能为0的限制（对应选项D），以及移项时忘记变号（对应选项C），掌握等式基本性质的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2 已知$2x=3y(x≠0)$，则下列比例式成立的是 （）

A.$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}$
B.$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}$
C.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{y}$

2. B

【分析】
这道题考查等积式和比例式的互相转化，我们有两种解题思路：一是利用等式的性质，对已知的$2x=3y$进行变形，得到对应的比例式；二是利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），把每个选项的比例式还原成等积式，和已知条件对比，符合的就是正确选项，已知$x≠0$，可放心做除法变形。
【解析】
我们用比例的基本性质验证各选项：比例的基本性质为，若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b、d$不为0），则$ad=bc$。已知条件为$2x=3y$（$x≠0$），逐个判断：
A选项：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不一致，错误；
B选项：$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，交叉相乘得$2x=3y$，与已知一致，正确；
C选项：$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知不一致，错误；
D选项：$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$，交叉相乘得$xy=6$，与已知不一致，错误。
也可直接变形已知等式：对$2x=3y$两边同时除以6，得$\frac{2x}{6}=\frac{3y}{6}$，化简得$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，同样得到正确选项。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；等式的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查等积式和比例式的互化，只要熟练掌握比例的基本性质，无论是逐个验证选项还是直接变形已知条件，都能快速得到答案，解题时要注意交叉相乘时内外项的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8

3 教材P106例1变式 根据下列情境中的等量关系列出一个等式.
（1）比x的3倍小5的数等于x的4倍：______.
（2）如图，将一个边长为$a+b$的正方形纸片，先剪去一个边长为$a$的正方形，再沿虚线剪开，可得两个完全重合的梯形：______.
（3）某校组织七年级学生研学旅行，租用载客量为$m$人的同型号客车.若租用4辆，则还剩30人没有座位；若租用5辆，则还空10个座位：______.

3. (1) $3x-5=4x$
(2) $(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$
(3) $4m+30=5m-10$

【分析】
（1）先将文字描述转化为代数式：x的3倍表示为$3x$，比$3x$小5即$3x$减5，x的4倍表示为$4x$，根据两者相等即可列出等式；
（2）利用剩余部分面积相等推导：先计算大正方形剪去小正方形后的剩余面积，再计算两个梯形的总面积，二者相等即可列出等式；
（3）抓住不变量“七年级总人数”：分别用两种租车方案表示总人数，根据总人数相等列出等式。
【解析】
（1）x的3倍为$3x$，比它小5的数是$3x-5$，x的4倍为$4x$，根据二者相等的关系可得等式：$3x-5=4x$；
（2）边长为$a+b$的大正方形面积为$(a+b)^2$，边长为$a$的小正方形面积为$a^2$，剪去小正方形后剩余面积为$(a+b)^2-a^2$；剩余的两个梯形完全相同，单个梯形的上底为$a$、下底为$a+b$、高为$b$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，两个梯形的总面积为$2×\frac{1}{2}×(a+a+b)× b = b(a+a+b)$，剩余面积相等，因此可得等式：$(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$；
（3）七年级总人数为固定值，租用4辆客车时，总人数为$4m+30$；租用5辆客车时，总人数为$5m-10$，总人数相等，因此可得等式：$4m+30=5m-10$。
【答案】
(1) $3x-5=4x$
(2) $(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$
(3) $4m+30=5m-10$
【知识点】
列等式，面积计算，实际问题等量关系应用
【点评】
本题考查不同情境下等量关系的寻找和等式的列写，需要准确将文字、图形中的等量关系转化为代数式，属于基础题型，熟练掌握列代数式的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4 王老师在黑板上写了一个等式$(m-3)x=5(m-3)$，小明说：“$x=5$.”小刚说：“不一定，当$x≠5$时，这个等式也可能成立.”请判断他们两人的说法是否正确，并用等式的基本性质说明理由.

4. 小明的说法错误,小刚的说法正确 理由:当 $m-3=0$ 时,$x$可以为任意数;当 $m-3≠0$ 时,$x=5$,所以小明的说法错误,小刚的说法正确.

【分析】
本题需要结合等式的基本性质判断两人说法是否正确，核心注意点是：等式两边同时除以同一个整式时，必须保证这个整式不为0，否则不能直接除。解题时要分两种情况讨论：一是等式中x的系数$m-3$等于0的情况，二是$m-3$不等于0的情况，分别分析两种情况下x的取值即可得出结论。
【解析】
根据等式的基本性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，分情况讨论：
① 当$m-3=0$（即$m=3$）时，等式左边为$0× x=0$，等式右边为$5×0=0$，此时无论x取任意数值，等式都成立，所以x不一定等于5；
② 当$m-3≠0$时，等式两边可以同时除以$m-3$，得到$x=5$。
综上，只有当$m-3≠0$时x才等于5，因此小明的说法错误，小刚的说法正确。
【答案】
小明的说法错误，小刚的说法正确。理由：当$m-3=0$时，$x$可以为任意数；当$m-3≠0$时，$x=5$，所以小明的说法错误，小刚的说法正确。
【知识点】
等式的基本性质；含参数等式求解；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略系数为0的情况，直接在等式两边除以含参数的式子$m-3$，默认$x=5$。解题时要注意，在等式两边除以含参数的整式前，需先判断该整式是否为0，养成分类讨论的解题习惯。
【难度系数】
0.7

5 利用等式的基本性质，将下列等式变形为$x=c$($c$为常数)的形式：
(1) $\frac{1}{2} + x = -3$；
(2) $\frac{1}{3}x = -9$；
(3) $-2x = -3x + \frac{5}{3}$。

5. (1) $x=-3\dfrac{1}{2}$
(2) $x=-27$
(3) $x=\dfrac{5}{3}$

【分析】
本题需运用等式的两个基本性质将等式变形为$x=c$的形式：等式性质1为等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。各小题解题思路如下：
(1) 等式左侧含常数项$\frac{1}{2}$，利用等式性质1两边同时减$\frac{1}{2}$，即可消去左侧常数项得到$x$的值；
(2) $x$的系数为$\frac{1}{3}$，利用等式性质2两边同时乘3，将$x$的系数化为1即可得到$x$的值；
(3) 等式两侧均含$x$的项，先利用等式性质1两边同时加$3x$，将含$x$的项全部移到左侧，合并后即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时减去$\frac{1}{2}$：
$\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}=-3-\frac{1}{2}$
化简得：$x=-3\frac{1}{2}$
(2) 根据等式的性质2，等式两边同时乘3：
$\frac{1}{3}x×3=-9×3$
化简得：$x=-27$
(3) 根据等式的性质1，等式两边同时加上$3x$：
$-2x+3x=-3x+\frac{5}{3}+3x$
合并同类项得：$x=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $x=-3\dfrac{1}{2}$；(2) $x=-27$；(3) $x=\dfrac{5}{3}$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程变形，系数化为1
【点评】
本题是等式性质的基础应用，是后续解方程的核心基础，解题时需注意每一步变形都要符合等式性质的要求，运算时留意符号和乘除运算的准确性，避免低级错误。
【难度系数】
0.9

6 根据等式的基本性质,下列各式变形正确的是 ()

A.若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,则$a=b$
B.若$ac=bc$,则$a=b$
C.若$a^2=b^2$,则$a=b$
D.若$-\frac{1}{3}x=6$,则$x=-2$

6. A

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的基本性质内容，尤其注意等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0；再逐一分析每个选项的变形是否符合等式性质，同时考虑特殊情况（如除数为0、平方相等的两数的关系等），排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
结合等式的基本性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：已知$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，由分母不为0可得$c≠0$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$c$，等式仍然成立，因此两边同乘$c$可得$a=b$，该变形正确。
2. 分析选项B：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值，等式都成立，此时无法推出$a=b$，该变形错误。
3. 分析选项C：若$a^2=b^2$，则$a$和$b$可能相等，也可能互为相反数（例如$2^2=(-2)^2$，但$2≠-2$），无法直接推出$a=b$，该变形错误。
4. 分析选项D：对$-\frac{1}{3}x=6$，根据等式性质2，两边同时乘$-3$，可得$x=6×(-3)=-18$，而非$x=-2$，该变形错误。
综上，只有A选项的变形正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 平方的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是忽略等式两边同时除以的数不能为0的限制，以及平方相等的两个数可能互为相反数的情况，解题时注意对特殊情况的验证，就能避免误选错误选项。
【难度系数】
0.75