1 如图,学校信管中心老师根据“○”中的三个数按照一定的规律设置学校 Wi-Fi 密码.请根据提供的信息,推断密码a是.

1. 082150 【解析】因为 3=1+2,7=3+4,11=9+2,所以8=3+5,即密码 a 最左边的两个数字为 08. 因为 4=1×4,15=3×5,45=9×5,所以 21=3×7,即密码 a 中间的两个数字为21. 因为 10=2×(1+4),32=4×(3+5),28=2×(9+5),所以50=5×(3+7),即密码 a 最右边的两个数字为 50. 所以密码 a 是 082150.

【分析】
首先观察已知的三组密码均为6位数字，我们可以把密码拆分为前两位、中间两位、后两位三部分，分别对应三角形三个顶点的数字寻找运算规律：①先对照前两位数字和顶部、左下角的数字，可发现前两位是顶部数字加左下角数字的结果，不足两位时前面补0；②再对照中间两位数字和顶部、右下角的数字，可发现中间两位是顶部数字乘右下角数字的结果，不足两位时前面补0；③最后对照后两位数字和左下角数字、顶部加右下角的和，可发现后两位是左下角数字乘（顶部数字+右下角数字）的结果。找到规律后代入第四个三角形的数字计算即可。
【解析】
记三角形顶部数字为A，左下角数字为B，右下角数字为C，按照规律分步计算：
1. 密码前两位：$A+B=3+5=8$，不足两位补0，得前两位为08；
2. 密码中间两位：$A× C=3×7=21$，得中间两位为21；
3. 密码后两位：$B×(A+C)=5×(3+7)=5×10=50$，得后两位为50。
将三部分拼接得到密码a。
【答案】
082150
【知识点】
数字规律探究，有理数四则运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是将整体密码拆分后分段对应运算关系，考查学生的观察能力和归纳推理能力，归纳出规律后计算难度较低。
【难度系数】
0.7

2【阅读材料】
在生活中,密码的应用随处可见,如电子支付、电子门禁、密码认证等.如今,密码学已成为网络信息安全的核心,密码学的研究使用了越来越多的数学工具.有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘上的字母顺序排列,如Q,W,E,…,N,M,这26个字母依次对应1,2,3,…,25,26这26个自然数(如下表).设明文的任一字母所对应的自然数为x,通过某种规定的运算程序把x转换为对应的自然数x',x'对应的字母为密文.
| Q | W | E | R | T | Y | U | I | O | P | A | S | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| F | G | H | J | K | L | | X | C | V | B | N | M |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
若运算程序如图所示,则将明文M转换成密文:M→26(26被4除余2)→$\frac{26+2}{4}+12=19$→L,即M的密文为L;将密文P转换成明文:P→10→(10-6)×4-1=15→G,即P的明文为G.

【解决问题】
(1) 按照以上程序加密1次,明文I对应的密文为,明文NLZF对应的密文为；
(2) 按照以上程序加密1次的密文为CWXZ,则其对应的明文为；
(3) 加密可以重复进行,按照以上程序加密2 026次,明文V对应的密文为.

2. (1) W MATH (2) OITQ (3) U 【解析】(1) 根据将明文转换成密文的计算方法可知,将明文 I 转换成密文:I→8(8被4整除)→$\frac{8}{4}=2$→W,所以明文 I 对应的密文为 W. 将明文 N转换成密文:N→25(25 被 4 除余 1)→$\frac{25+3}{4}+19=26$→M;将明文L转换成密文:L→19(19 被 4 除余 3)→$\frac{19+1}{4}+6=11$→A;将明文 Z 转换成密文:Z→20(20 被 4 整除)→$\frac{20}{4}=5$→T;将明文F转换成密文:F→14(14 被 4 除余 2)→$\frac{14+2}{4}+12=16$→H. 所以明文 NLZF 对应的密文为 MATH. (2) 根据将密文转换成明文的计算方法可得,C→22→(22-19)×4-3=9→O,W→2→2×4=8→I,X→21→(21-19)×4-3=5→T,Z→20→(20-19)×4-3=1→Q. 所以 CWXZ 对应的明文为 OITQ. (3) V→23(23 被 4 除余 3)→$\frac{23+1}{4}+6=12$→S,S→12(12 被 4 整除)→$\frac{12}{4}=3$→E,E→3(3 被 4 除余 3)→$\frac{3+1}{4}+6=7$→U,U→7(7 被 4除余 3)→$\frac{7+1}{4}+6=8$→I,I→8(8 被 4 整除)→$\frac{8}{4}=2$→W,W→2(2 被 4 除余 2)→$\frac{2+2}{4}+12=13$→D,D→13(13 被 4 除余 1)→$\frac{13+3}{4}+19=23$→V,所以加密 7 次后,开始循环加密. 因为2 026÷7=289……3,所以按照以上程序加密 2 026 次,明文 V对应的密文为 U.

【分析】
解题前先从题目给定的示例总结转换规则：明文转密文时，先求明文对应自然数x除以4的余数：①若x被4整除，密文对应数$x'=\frac{x}{4}$；②若x被4除余1，$x'=\frac{x+3}{4}+19$；③若x被4除余2，$x'=\frac{x+2}{4}+12$；④若x被4除余3，$x'=\frac{x+1}{4}+6$。密文转明文为上述规则的逆运算。解题时：(1)先提取每个明文字母对应的x，按规则计算$x'$后对应密文字母即可；(2)提取每个密文字母对应的$x'$，用逆运算求出明文x后对应明文字母；(3)先逐次计算明文V的加密结果，找到循环周期，再用2026除以周期求余数，对应周期内的结果即为答案。
【解析】
(1) 明文I对应数字8，8被4整除，密文对应数为$8÷4=2$，对应字母W，即明文I的密文为W。
明文N对应数字25，25除以4余1，密文对应数为$\frac{25+3}{4}+19=7+19=26$，对应字母M；
明文L对应数字19，19除以4余3，密文对应数为$\frac{19+1}{4}+6=5+6=11$，对应字母A；
明文Z对应数字20，20被4整除，密文对应数为$20÷4=5$，对应字母T；
明文F对应数字14，14除以4余2，密文对应数为$\frac{14+2}{4}+12=4+12=16$，对应字母H；
因此明文NLZF对应的密文为MATH。
(2) 密文C对应数字22，属于余1类密文区间，逆推明文数字为$(22-19)×4-3=12-3=9$，对应字母O；
密文W对应数字2，属于整除类密文区间，逆推明文数字为$2×4=8$，对应字母I；
密文X对应数字21，属于余1类密文区间，逆推明文数字为$(21-19)×4-3=8-3=5$，对应字母T；
密文Z对应数字20，属于余1类密文区间，逆推明文数字为$(20-19)×4-3=4-3=1$，对应字母Q；
因此密文CWXZ对应的明文为OITQ。
(3) 逐次计算明文V的加密结果：
V对应23，加密1次得$\frac{23+1}{4}+6=12$→S；
S对应12，加密2次得$12÷4=3$→E；
E对应3，加密3次得$\frac{3+1}{4}+6=7$→U；
U对应7，加密4次得$\frac{7+1}{4}+6=8$→I；
I对应8，加密5次得$8÷4=2$→W；
W对应2，加密6次得$\frac{2+2}{4}+12=13$→D；
D对应13，加密7次得$\frac{13+3}{4}+19=23$→V；
可知加密7次为一个循环周期。
计算$2026÷7=289······3$，即加密2026次对应周期内第3次的结果，为U。
【答案】
(1) W；MATH (2) OITQ (3) U
【知识点】
有理数混合运算、周期规律、逆运算
【点评】
本题结合生活中的密码应用场景，将数学运算与实际问题结合，既考查了基础运算能力，也需要学生自主总结转换规则，运用逆向推理、找周期规律的方法解题，兼具趣味性与探究性，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6