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1. 将抛物线$y=-(x-1)^2+5$平移后得到抛物线$y=-(x+1)^2+2$，则平移的方向和距离是（
A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D
）A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题的核心是明确抛物线平移的本质是顶点的平移，且平移过程中二次项系数a不变。解题思路如下：第一步回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，分别求出平移前后两个抛物线的顶点坐标；第二步对比两个顶点坐标的横、纵坐标变化，结合“左加右减、上加下减”的平移规律，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
1. 求原抛物线的顶点坐标：抛物线$y=-(x-1)^2+5$中，$h=1$，$k=5$，因此顶点坐标为$(1,5)$。
2. 求平移后抛物线的顶点坐标：抛物线$y=-(x+1)^2+2$可变形为$y=-(x-(-1))^2+2$，即$h=-1$，$k=2$，因此顶点坐标为$(-1,2)$。
3. 判断平移方式：
横坐标从$1$变为$-1$，变化量为$-1-1=-2$，即顶点向左平移了2个单位长度；
纵坐标从$5$变为$2$，变化量为$2-5=-3$，即顶点向下平移了3个单位长度。
因此平移方式为向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特点以及平移规律，也可直接通过解析式中x的变化和常数项的变化直接判断平移方式，无需额外计算。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确抛物线平移的本质是顶点的平移，且平移过程中二次项系数a不变。解题思路如下：第一步回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，分别求出平移前后两个抛物线的顶点坐标；第二步对比两个顶点坐标的横、纵坐标变化，结合“左加右减、上加下减”的平移规律，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
1. 求原抛物线的顶点坐标：抛物线$y=-(x-1)^2+5$中，$h=1$，$k=5$，因此顶点坐标为$(1,5)$。
2. 求平移后抛物线的顶点坐标：抛物线$y=-(x+1)^2+2$可变形为$y=-(x-(-1))^2+2$，即$h=-1$，$k=2$，因此顶点坐标为$(-1,2)$。
3. 判断平移方式：
横坐标从$1$变为$-1$，变化量为$-1-1=-2$，即顶点向左平移了2个单位长度；
纵坐标从$5$变为$2$，变化量为$2-5=-3$，即顶点向下平移了3个单位长度。
因此平移方式为向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特点以及平移规律，也可直接通过解析式中x的变化和常数项的变化直接判断平移方式，无需额外计算。
【难度系数】
0.8
2. 若将抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + k $，则 $ h + k = $
$-3$
。答案
2. $-3$
解析
【分析】
解决本题的核心是运用二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先对原抛物线依次进行向右平移、向下平移的操作，写出平移后的抛物线解析式，再将其与题目给出的平移后解析式$y=ax^2+k$对比，让对应部分相等即可求出$h$、$k$的值，最后计算$h+k$的结果。
【解析】
根据二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律：
1. 将抛物线$y = a(x - h)^2$向右平移2个单位长度，自变量$x$替换为$x-2$，得到解析式：$y = a(x - h - 2)^2$；
2. 再将所得抛物线向下平移1个单位长度，整体减去1，得到最终平移后的解析式：$y = a(x - h - 2)^2 - 1$；
已知平移后解析式为$y = ax^2 + k$，两个解析式完全相同，对应项相等：
可得$\begin{cases}-h - 2 = 0 \\k = -1\end{cases}$
解得$h = -2$，$k = -1$，因此$h + k = -2 + (-1) = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律；2. 二次函数解析式系数对应
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数的平移规则，解题的关键是牢记左右平移只针对自变量$x$进行加减，上下平移针对函数整体进行加减，易错点是左右平移时的符号容易混淆。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先对原抛物线依次进行向右平移、向下平移的操作，写出平移后的抛物线解析式，再将其与题目给出的平移后解析式$y=ax^2+k$对比，让对应部分相等即可求出$h$、$k$的值，最后计算$h+k$的结果。
【解析】
根据二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律：
1. 将抛物线$y = a(x - h)^2$向右平移2个单位长度，自变量$x$替换为$x-2$，得到解析式：$y = a(x - h - 2)^2$；
2. 再将所得抛物线向下平移1个单位长度，整体减去1，得到最终平移后的解析式：$y = a(x - h - 2)^2 - 1$；
已知平移后解析式为$y = ax^2 + k$，两个解析式完全相同，对应项相等：
可得$\begin{cases}-h - 2 = 0 \\k = -1\end{cases}$
解得$h = -2$，$k = -1$，因此$h + k = -2 + (-1) = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律；2. 二次函数解析式系数对应
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数的平移规则，解题的关键是牢记左右平移只针对自变量$x$进行加减，上下平移针对函数整体进行加减，易错点是左右平移时的符号容易混淆。
【难度系数】
0.8
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
二次函数
$y=a(x-h)^2+k$
的图象
和性质
开口方向
$a＞0$
开口
$a＜0$
开口
对称轴
直线
顶点坐标
顶点坐标是
增减性
$a＞0$
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而
$a＜0$
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而
最值
$a＞0$
当$x=h$时，$y_{最小值}=$
$a＜0$
当$x=h$时，
请根据本课所学，构建知识体系。
二次函数
$y=a(x-h)^2+k$
的图象
和性质
开口方向
$a＞0$
开口
向上
$a＜0$
开口
向下
对称轴
直线
$x=h$
顶点坐标
顶点坐标是
$(h,k)$
增减性
$a＞0$
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而
减小
；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大
$a＜0$
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而
增大
；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小
最值
$a＞0$
当$x=h$时，$y_{最小值}=$
$k$
$a＜0$
当$x=h$时，
$y_{最大值}$
$=k$答案
向上 向下 $x=h$ $(h,k)$ 减小 增大
增大 减小 $k$ $y_{最大值}$
增大 减小 $k$ $y_{最大值}$
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基础性质，解题时可按照每个填空对应的性质逐一推导：①首先看$a$的符号对开口方向的影响：$a$的正负直接决定开口朝向；②顶点式的核心特征就是可直接读出对称轴和顶点坐标；③增减性结合开口方向、对称轴的左右区间判断即可；④最值结合开口方向判断，顶点处取到的最值对应$k$值即可。
【解析】
1. 开口方向：当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$。
3. 顶点坐标：顶点处横坐标为$h$，代入解析式得纵坐标为$k$，因此顶点坐标为$(h,k)$。
4. 增减性：当$a＞0$时，开口向上，对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而增大；当$a＜0$时，开口向下，对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而减小。
5. 最值：当$a＞0$时，开口向上，顶点为图象最低点，当$x=h$时，$y_{最小值}=k$；当$a＜0$时，开口向下，顶点为图象最高点，当$x=h$时，$y_{最大值}=k$。
【答案】
向上 向下 $x=h$ $(h,k)$ 减小 增大 增大 减小 $k$ $y_{最大值}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，涉及的性质是二次函数部分的核心基础内容，熟练掌握顶点式的各项性质，是后续解决二次函数图象应用、综合题型的重要前提，建议在理解图象特征的基础上牢记相关结论。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基础性质，解题时可按照每个填空对应的性质逐一推导：①首先看$a$的符号对开口方向的影响：$a$的正负直接决定开口朝向；②顶点式的核心特征就是可直接读出对称轴和顶点坐标；③增减性结合开口方向、对称轴的左右区间判断即可；④最值结合开口方向判断，顶点处取到的最值对应$k$值即可。
【解析】
1. 开口方向：当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$。
3. 顶点坐标：顶点处横坐标为$h$，代入解析式得纵坐标为$k$，因此顶点坐标为$(h,k)$。
4. 增减性：当$a＞0$时，开口向上，对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而增大；当$a＜0$时，开口向下，对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而减小。
5. 最值：当$a＞0$时，开口向上，顶点为图象最低点，当$x=h$时，$y_{最小值}=k$；当$a＜0$时，开口向下，顶点为图象最高点，当$x=h$时，$y_{最大值}=k$。
【答案】
向上 向下 $x=h$ $(h,k)$ 减小 增大 增大 减小 $k$ $y_{最大值}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，涉及的性质是二次函数部分的核心基础内容，熟练掌握顶点式的各项性质，是后续解决二次函数图象应用、综合题型的重要前提，建议在理解图象特征的基础上牢记相关结论。
【难度系数】
0.9
任务一
探究二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象和性质
回顾前面所学知识，完成填空。
函数 $y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$ 的图象是
探究二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象和性质
回顾前面所学知识，完成填空。
函数 $y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$ 的图象是
抛物线
，开口向 上
，对称轴是直线 $x=6$
，顶点坐标是 $(6,3)$
。答案
图象是抛物线，开口向上，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题思路如下：首先识别给出的函数属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，再回忆该形式下各参数对应的性质：二次函数的图象均为抛物线；$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$；顶点坐标为$(h,k)$。最后提取题干函数中$a、h、k$的数值，对应代入性质即可得出结果。
【解析】
1. 所有二次函数的图象都是抛物线，因此该函数的图象是抛物线；
2. 函数$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上；
3. 顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，此处$h=6$，因此对称轴是直线$x=6$；
4. 顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，此处$h=6、k=3$，因此顶点坐标是$(6,3)$。
【答案】
图象是抛物线，开口向上，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数图象性质
3. 二次函数参数意义
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对顶点式各参数含义的理解与记忆，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题，是学习二次函数其他性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题思路如下：首先识别给出的函数属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，再回忆该形式下各参数对应的性质：二次函数的图象均为抛物线；$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$；顶点坐标为$(h,k)$。最后提取题干函数中$a、h、k$的数值，对应代入性质即可得出结果。
【解析】
1. 所有二次函数的图象都是抛物线，因此该函数的图象是抛物线；
2. 函数$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上；
3. 顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，此处$h=6$，因此对称轴是直线$x=6$；
4. 顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，此处$h=6、k=3$，因此顶点坐标是$(6,3)$。
【答案】
图象是抛物线，开口向上，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数图象性质
3. 二次函数参数意义
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对顶点式各参数含义的理解与记忆，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题，是学习二次函数其他性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
根据上面的填空，完成下列探究.
探究1: 尝试画二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的图象.
列表:
描点、连线:
探究2: 观察图象可知, 这样列出的对应值, 描出的点
探究3: 如何将函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 变形为 $y=a(x-h)^2 +k$ 的形式, 并且画出图象?
配方, 可得 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21=$
因此, 抛物线的开口向上, 对称轴是直线
利用其对称性, 列表:
描点、连线:
新知生成: 通过配方, 可以将二次函数 $y=ax^2 +bx +c$ 化成 $y=$
因此, 抛物线 $y=ax^2 +bx +c$ 的对称轴是直线
探究1: 尝试画二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的图象.
列表:
描点、连线:
探究2: 观察图象可知, 这样列出的对应值, 描出的点
没有
(填“有”或“没有”)对称点, 图象 不能
(填“能”或“不能”)成轴对称, 也就不能准确说出抛物线的 对称
轴和 顶点
坐标.探究3: 如何将函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 变形为 $y=a(x-h)^2 +k$ 的形式, 并且画出图象?
配方, 可得 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21=$
$\frac{1}{2}(x-6)^2+3$
.因此, 抛物线的开口向上, 对称轴是直线
$x=6$
, 顶点坐标是 $(6,3)$
.利用其对称性, 列表:
描点、连线:
新知生成: 通过配方, 可以将二次函数 $y=ax^2 +bx +c$ 化成 $y=$
$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
的形式.因此, 抛物线 $y=ax^2 +bx +c$ 的对称轴是直线
$x=-\frac{b}{2a}$
, 顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
.答案
探究1 略
探究2 没有 不能 对称 顶点
探究3 $\frac{1}{2}(x-6)^2+3$，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$，列表对应值依次为7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5，描点连线得到
新知生成：配方后形式为$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
解析
【分析】
解决本题首先从二次函数的对称性入手：探究2中，最初选取的x值没有对称取值，因此描出的点不存在对称点，画出的图像无法呈现轴对称特征，也就无法确定抛物线的对称轴和顶点坐标。探究3需要掌握二次函数一般式化为顶点式的配方方法：先提取二次项系数，再对括号内x的项凑完全平方，整理为顶点式后可直接得到对称轴和顶点坐标。最后对一般式$y=ax^2+bx+c$做通用配方，即可推导得到通用的顶点式、对称轴和顶点坐标公式。
【解析】
1. 探究2：观察最初的描点，选取的x值没有沿对称轴对称取值，因此描出的点没有对称点，画出的图象不能成轴对称，无法准确说出抛物线的对称轴和顶点坐标。
2. 探究3配方过程：
对$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$配方，先提取二次项系数$\frac{1}{2}$：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x^2 -12x) +21\\&=\frac{1}{2}(x^2 -12x +36 -36) +21\\&=\frac{1}{2}[(x-6)^2 -36] +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 - 18 +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 +3\end{aligned}$
根据顶点式可得：抛物线开口向上，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$。按对称性取x值列表得到对应值7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5，描点连线即可得到正确的抛物线图象。
3. 新知生成：对一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）通用配方：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
因此抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
探究1 略
探究2 没有 不能 对称 顶点
探究3 $\frac{1}{2}(x-6)^2+3$，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$，列表对应值依次为7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5，描点连线得到
新知生成：配方后形式为$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数的配方，二次函数的图象性质，二次函数的对称性
【点评】
本题从具体二次函数的图象绘制入手，引导同学们掌握二次函数一般式化顶点式的配方方法，理解二次函数的对称特性，最终推导得到一般二次函数的对称轴、顶点坐标公式，符合从特殊到一般的认知规律，是二次函数知识的基础核心内容。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从二次函数的对称性入手：探究2中，最初选取的x值没有对称取值，因此描出的点不存在对称点，画出的图像无法呈现轴对称特征，也就无法确定抛物线的对称轴和顶点坐标。探究3需要掌握二次函数一般式化为顶点式的配方方法：先提取二次项系数，再对括号内x的项凑完全平方，整理为顶点式后可直接得到对称轴和顶点坐标。最后对一般式$y=ax^2+bx+c$做通用配方，即可推导得到通用的顶点式、对称轴和顶点坐标公式。
【解析】
1. 探究2：观察最初的描点，选取的x值没有沿对称轴对称取值，因此描出的点没有对称点，画出的图象不能成轴对称，无法准确说出抛物线的对称轴和顶点坐标。
2. 探究3配方过程：
对$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$配方，先提取二次项系数$\frac{1}{2}$：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x^2 -12x) +21\\&=\frac{1}{2}(x^2 -12x +36 -36) +21\\&=\frac{1}{2}[(x-6)^2 -36] +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 - 18 +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 +3\end{aligned}$
根据顶点式可得：抛物线开口向上，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$。按对称性取x值列表得到对应值7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5，描点连线即可得到正确的抛物线图象。
3. 新知生成：对一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）通用配方：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
因此抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
探究1 略
探究2 没有 不能 对称 顶点
探究3 $\frac{1}{2}(x-6)^2+3$，对称轴是直线$x=6$，顶点坐标是$(6,3)$，列表对应值依次为7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5，描点连线得到
新知生成：配方后形式为$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数的配方，二次函数的图象性质，二次函数的对称性
【点评】
本题从具体二次函数的图象绘制入手，引导同学们掌握二次函数一般式化顶点式的配方方法，理解二次函数的对称特性，最终推导得到一般二次函数的对称轴、顶点坐标公式，符合从特殊到一般的认知规律，是二次函数知识的基础核心内容。
【难度系数】
0.7
