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任务一 探究二次函数最值的实际意义
阅读材料，完成下列探究.
今年某县三级联赛的足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度$y$(单位：$\mathrm{m}$)与飞行时间$x$(单位：$\mathrm{s}$)满足二次函数关系 $y=-1.2x^2+3.6x$，其函数图象如图所示.
探究1：足球从飞出到落地共用多长时间？
探究2：若不考虑空气阻力，足球何时到达最大高度？飞行的最大高度是多少？
探究3：当飞行时间为 $1.6\ \mathrm{s}\le x\le2.1\ \mathrm{s}$ 时，足球的最大飞行高度是多少？
归纳总结
(1)求二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 最值的两个思路：
①直接套用公式：当 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y_{\mathrm{最值}}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$；
②配方成顶点式：$y=a(x-h)^2+k$，可得当 $x=h$ 时，$y_{\mathrm{最值}}=k$.
(2)求二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 最值的一点注意：若二次函数自变量的取值范围不是全体实数，则其最值可能不在顶点处，而在“端点”处.
阅读材料，完成下列探究.
今年某县三级联赛的足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度$y$(单位：$\mathrm{m}$)与飞行时间$x$(单位：$\mathrm{s}$)满足二次函数关系 $y=-1.2x^2+3.6x$，其函数图象如图所示.
探究1：足球从飞出到落地共用多长时间？
探究2：若不考虑空气阻力，足球何时到达最大高度？飞行的最大高度是多少？
探究3：当飞行时间为 $1.6\ \mathrm{s}\le x\le2.1\ \mathrm{s}$ 时，足球的最大飞行高度是多少？
归纳总结
(1)求二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 最值的两个思路：
①直接套用公式：当 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y_{\mathrm{最值}}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$；
②配方成顶点式：$y=a(x-h)^2+k$，可得当 $x=h$ 时，$y_{\mathrm{最值}}=k$.
(2)求二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 最值的一点注意：若二次函数自变量的取值范围不是全体实数，则其最值可能不在顶点处，而在“端点”处.
答案
探究1 解：令$y=0$，即$-1.2x^2+3.6x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$。
$3-0=3(\mathrm{s})$。
故足球从飞出到落地共用时3 s。
探究2 解：$\because y=-1.2x^2+3.6x=-1.2(x-1.5)^2+2.7(0≤ x≤ 3)$，
$\therefore$ 该函数图象的顶点坐标为$(1.5,\ 2.7)$。
$\therefore$ 足球飞行1.5 s时到达最大高度，飞行的最大高度是2.7 m。
探究3 解：$\because$ 抛物线$y=-1.2x^2+3.6x(0≤ x≤ 3)$的对称轴为直线$x=1.5$，且开口向下，
$\therefore$ 当$1.6≤ x≤ 2.1$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\therefore$ 当$x=1.6$时，足球飞行高度最大，最大高度是$y=-1.2×1.6^2+3.6×1.6=2.688(\mathrm{m})$。
$3-0=3(\mathrm{s})$。
故足球从飞出到落地共用时3 s。
探究2 解：$\because y=-1.2x^2+3.6x=-1.2(x-1.5)^2+2.7(0≤ x≤ 3)$，
$\therefore$ 该函数图象的顶点坐标为$(1.5,\ 2.7)$。
$\therefore$ 足球飞行1.5 s时到达最大高度，飞行的最大高度是2.7 m。
探究3 解：$\because$ 抛物线$y=-1.2x^2+3.6x(0≤ x≤ 3)$的对称轴为直线$x=1.5$，且开口向下，
$\therefore$ 当$1.6≤ x≤ 2.1$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\therefore$ 当$x=1.6$时，足球飞行高度最大，最大高度是$y=-1.2×1.6^2+3.6×1.6=2.688(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
探究1：足球落地时飞行高度为0，因此令函数关系式中$y=0$，解一元二次方程得到足球飞出和落地的时间，二者的差就是总飞行时间。
探究2：足球的最大高度对应开口向下的二次函数的顶点纵坐标，到达最大高度的时间对应顶点横坐标，可通过将一般式配方为顶点式，或者利用顶点坐标公式直接求出顶点坐标即可得到结果。
探究3：先确定二次函数的对称轴，判断给定的自变量取值范围在对称轴的哪一侧，结合抛物线开口方向判断该区间内函数的增减性，即可确定最值对应的$x$值，代入计算得到最大高度。
【解析】
探究1
解：足球落地时高度$y=0$，令$y=0$，即$-1.2x^2+3.6x=0$，
因式分解得$x(-1.2x+3.6)=0$，
解得$x_1=0$（足球飞出的时间），$x_2=3$（足球落地的时间），
总用时为$3-0=3(\mathrm{s})$。
探究2
解：将二次函数配方为顶点式：
$y=-1.2x^2+3.6x=-1.2(x^2-3x)=-1.2[(x-1.5)^2-2.25]=-1.2(x-1.5)^2+2.7\quad(0≤ x≤3)$，
可得函数图象的顶点坐标为$(1.5,2.7)$，
因为抛物线开口向下，顶点为最高点，
所以足球飞行1.5 s时到达最大高度，最大高度是2.7 m。
探究3
解：抛物线$y=-1.2x^2+3.6x$开口向下，对称轴为直线$x=1.5$，
在对称轴右侧（$x＞1.5$）时，$y$随$x$的增大而减小，
给定的取值范围$1.6≤ x≤2.1$在对称轴右侧，因此该区间内$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x=1.6$时，$y$取最大值，
代入计算得：$y=-1.2×1.6^2+3.6×1.6=2.688(\mathrm{m})$。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$；
探究2：飞行$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{s}}$时到达最大高度，最大高度为$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$；
探究3：最大飞行高度为$\boldsymbol{2.688\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题以足球飞行的实际场景为载体，考查二次函数的性质及最值的求解，既考查了二次函数顶点坐标的求法，也考查了限定自变量取值范围时最值的求解方法，需要注意当自变量范围不是全体实数时，要结合函数增减性判断最值的位置，避免直接套用顶点公式出错。
【难度系数】
0.7
探究1：足球落地时飞行高度为0，因此令函数关系式中$y=0$，解一元二次方程得到足球飞出和落地的时间，二者的差就是总飞行时间。
探究2：足球的最大高度对应开口向下的二次函数的顶点纵坐标，到达最大高度的时间对应顶点横坐标，可通过将一般式配方为顶点式，或者利用顶点坐标公式直接求出顶点坐标即可得到结果。
探究3：先确定二次函数的对称轴，判断给定的自变量取值范围在对称轴的哪一侧，结合抛物线开口方向判断该区间内函数的增减性，即可确定最值对应的$x$值，代入计算得到最大高度。
【解析】
探究1
解：足球落地时高度$y=0$，令$y=0$，即$-1.2x^2+3.6x=0$，
因式分解得$x(-1.2x+3.6)=0$，
解得$x_1=0$（足球飞出的时间），$x_2=3$（足球落地的时间），
总用时为$3-0=3(\mathrm{s})$。
探究2
解：将二次函数配方为顶点式：
$y=-1.2x^2+3.6x=-1.2(x^2-3x)=-1.2[(x-1.5)^2-2.25]=-1.2(x-1.5)^2+2.7\quad(0≤ x≤3)$，
可得函数图象的顶点坐标为$(1.5,2.7)$，
因为抛物线开口向下，顶点为最高点，
所以足球飞行1.5 s时到达最大高度，最大高度是2.7 m。
探究3
解：抛物线$y=-1.2x^2+3.6x$开口向下，对称轴为直线$x=1.5$，
在对称轴右侧（$x＞1.5$）时，$y$随$x$的增大而减小，
给定的取值范围$1.6≤ x≤2.1$在对称轴右侧，因此该区间内$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x=1.6$时，$y$取最大值，
代入计算得：$y=-1.2×1.6^2+3.6×1.6=2.688(\mathrm{m})$。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$；
探究2：飞行$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{s}}$时到达最大高度，最大高度为$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$；
探究3：最大飞行高度为$\boldsymbol{2.688\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题以足球飞行的实际场景为载体，考查二次函数的性质及最值的求解，既考查了二次函数顶点坐标的求法，也考查了限定自变量取值范围时最值的求解方法，需要注意当自变量范围不是全体实数时，要结合函数增减性判断最值的位置，避免直接套用顶点公式出错。
【难度系数】
0.7
1. 心理学家发现：学生对提出概念的接受能力$y$与提出概念的时间$x$（单位：min）之间满足二次函数关系$y=-0.1x^2 +2.6x +43$。若要使学生对概念的接受能力最大，则提出概念的时间应为（
A.13 min
B.26 min
C.52 min
D.59.9 min
A
）A.13 min
B.26 min
C.52 min
D.59.9 min
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值实际应用，解题思路如下：1. 首先明确二次函数的开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数在顶点位置取得最大值；2. 要求学生接受能力最大时的提出概念时间，就是求函数取最大值时对应的自变量$x$的值，也就是抛物线顶点的横坐标，直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-0.1x^2 +2.6x +43$，其中$a=-0.1＜0$，$b=2.6$，因此该抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数对称轴公式，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2.6}{2×(-0.1)}=\frac{2.6}{0.2}=13$
即当提出概念的时间为13min时，学生对概念的接受能力最大，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值计算，对称轴公式
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础应用，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，只要熟记二次函数对称轴公式即可快速求解，属于得分率较高的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的最值实际应用，解题思路如下：1. 首先明确二次函数的开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数在顶点位置取得最大值；2. 要求学生接受能力最大时的提出概念时间，就是求函数取最大值时对应的自变量$x$的值，也就是抛物线顶点的横坐标，直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-0.1x^2 +2.6x +43$，其中$a=-0.1＜0$，$b=2.6$，因此该抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数对称轴公式，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2.6}{2×(-0.1)}=\frac{2.6}{0.2}=13$
即当提出概念的时间为13min时，学生对概念的接受能力最大，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值计算，对称轴公式
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础应用，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，只要熟记二次函数对称轴公式即可快速求解，属于得分率较高的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 求下列函数的最大值与最小值：
(1) $y = x^2 - 4x - 5$；
(2) $y = -x^2 - 3x + 4$；
(3) $y = x^2 + 3x - 2 \quad (-3 ≤ x ≤ 1)$。
(1) $y = x^2 - 4x - 5$；
(2) $y = -x^2 - 3x + 4$；
(3) $y = x^2 + 3x - 2 \quad (-3 ≤ x ≤ 1)$。
答案
2. 解：(1)$y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9$，最小值为$-9$，没有最大值。
(2)$y=-x^2-3x+4$，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{25}{4}$，没有最小值。
(3)$y=x^2+3x-2=(x+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{17}{4}(-3≤ x≤ 1)$。
$\because -3＜-\dfrac{3}{2}＜1$，$\therefore$ 当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$y_{\mathrm{最小值}}=-\dfrac{17}{4}$；当$x=1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=1+3-2=2$。
(2)$y=-x^2-3x+4$，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{25}{4}$，没有最小值。
(3)$y=x^2+3x-2=(x+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{17}{4}(-3≤ x≤ 1)$。
$\because -3＜-\dfrac{3}{2}＜1$，$\therefore$ 当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$y_{\mathrm{最小值}}=-\dfrac{17}{4}$；当$x=1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=1+3-2=2$。
解析
【分析】
求解二次函数的最值，首先要明确二次函数的开口方向、顶点坐标，以及自变量的取值范围：①当自变量取全体实数时，若二次项系数a＞0，函数开口向上，顶点处取最小值，无最大值；若a＜0，函数开口向下，顶点处取最大值，无最小值，可通过配方法或顶点纵坐标公式求顶点值。②当自变量有取值区间时，先判断顶点横坐标是否在区间内：若在区间内，顶点处取到一个最值，另一个最值通过比较区间两个端点的函数值得到；若不在区间内，最值均在区间端点处取得。
(1)中函数自变量为全体实数，a=1＞0，配方求顶点纵坐标即可得最小值；(2)自变量为全体实数，a=-1＜0，用顶点纵坐标公式可得最大值；(3)给定了x的取值区间，先配方找顶点，判断顶点在区间内后，分别计算顶点和两个端点的函数值，比较得到最值。
【解析】
(1) 对函数配方：$y = x^2 - 4x - 5 = (x-2)^2 - 9$，
二次项系数$a=1＞0$，函数开口向上，自变量$x$取全体实数，
因此函数在顶点处取得最小值，无最大值，最小值为$-9$。
(2) 对于$y=-x^2 -3x +4$，二次项系数$a=-1＜0$，函数开口向下，自变量$x$取全体实数，
因此函数在顶点处取得最大值，无最小值，
顶点纵坐标为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入$a=-1, b=-3, c=4$，
得$\frac{4×(-1)×4 - (-3)^2}{4×(-1)} = \frac{-16 -9}{-4} = \frac{25}{4}$，即最大值为$\frac{25}{4}$。
(3) 对函数配方：$y=x^2 +3x -2 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$，自变量取值为$-3≤ x≤1$，
顶点横坐标为$x=-\frac{3}{2}$，满足$-3＜-\frac{3}{2}＜1$，即顶点在取值区间内，
二次项系数$a=1＞0$，函数开口向上，因此当$x=-\frac{3}{2}$时，函数取得最小值$-\frac{17}{4}$；
计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=(-3)^2 +3×(-3) -2 = -2$；当$x=1$时，$y=1^2 +3×1 -2 = 2$，
比较得$2＞-2$，因此函数最大值为$2$。
【答案】
(1) 最小值为$-9$，无最大值；
(2) 最大值为$\dfrac{25}{4}$，无最小值；
(3) 最小值为$-\dfrac{17}{4}$，最大值为$2$。
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 配方法
3. 定区间二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，解题核心是结合开口方向、顶点位置以及自变量取值范围判断最值的位置，计算时要注意配方和代值的准确性，尤其给定区间的题型不要漏算端点的函数值。
【难度系数】
0.7
求解二次函数的最值，首先要明确二次函数的开口方向、顶点坐标，以及自变量的取值范围：①当自变量取全体实数时，若二次项系数a＞0，函数开口向上，顶点处取最小值，无最大值；若a＜0，函数开口向下，顶点处取最大值，无最小值，可通过配方法或顶点纵坐标公式求顶点值。②当自变量有取值区间时，先判断顶点横坐标是否在区间内：若在区间内，顶点处取到一个最值，另一个最值通过比较区间两个端点的函数值得到；若不在区间内，最值均在区间端点处取得。
(1)中函数自变量为全体实数，a=1＞0，配方求顶点纵坐标即可得最小值；(2)自变量为全体实数，a=-1＜0，用顶点纵坐标公式可得最大值；(3)给定了x的取值区间，先配方找顶点，判断顶点在区间内后，分别计算顶点和两个端点的函数值，比较得到最值。
【解析】
(1) 对函数配方：$y = x^2 - 4x - 5 = (x-2)^2 - 9$，
二次项系数$a=1＞0$，函数开口向上，自变量$x$取全体实数，
因此函数在顶点处取得最小值，无最大值，最小值为$-9$。
(2) 对于$y=-x^2 -3x +4$，二次项系数$a=-1＜0$，函数开口向下，自变量$x$取全体实数，
因此函数在顶点处取得最大值，无最小值，
顶点纵坐标为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入$a=-1, b=-3, c=4$，
得$\frac{4×(-1)×4 - (-3)^2}{4×(-1)} = \frac{-16 -9}{-4} = \frac{25}{4}$，即最大值为$\frac{25}{4}$。
(3) 对函数配方：$y=x^2 +3x -2 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$，自变量取值为$-3≤ x≤1$，
顶点横坐标为$x=-\frac{3}{2}$，满足$-3＜-\frac{3}{2}＜1$，即顶点在取值区间内，
二次项系数$a=1＞0$，函数开口向上，因此当$x=-\frac{3}{2}$时，函数取得最小值$-\frac{17}{4}$；
计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=(-3)^2 +3×(-3) -2 = -2$；当$x=1$时，$y=1^2 +3×1 -2 = 2$，
比较得$2＞-2$，因此函数最大值为$2$。
【答案】
(1) 最小值为$-9$，无最大值；
(2) 最大值为$\dfrac{25}{4}$，无最小值；
(3) 最小值为$-\dfrac{17}{4}$，最大值为$2$。
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 配方法
3. 定区间二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，解题核心是结合开口方向、顶点位置以及自变量取值范围判断最值的位置，计算时要注意配方和代值的准确性，尤其给定区间的题型不要漏算端点的函数值。
【难度系数】
0.7
