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例 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1)若墙长 32 m，这个矩形菜园的各边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
(2)若墙长 18 m，这个矩形菜园的各边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
(1)若墙长 32 m，这个矩形菜园的各边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
(2)若墙长 18 m，这个矩形菜园的各边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
答案
解：(1)设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(60-2x)\mathrm{m}$。
$\therefore$ 矩形菜园的面积$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$。
根据题意，得$0＜60-2x≤ 32$，即$14≤ x＜30$。
$\because S=-2x^2+60x=-2(x^2-30x)=-2(x-15)^2+450$，
$\therefore$ 当$x=15$时，$S$取最大值，此时$S=450$。
$\therefore$ 当这个矩形菜园垂直于墙的边长为15 m、平行于墙的边长为30 m时，菜园的面积最大，最大面积是$450\ \mathrm{m^2}$。
(2)设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(60-2x)\mathrm{m}$。
由(1)知$S=-2(x-15)^2+450$，根据题意，得$0＜60-2x≤ 18$，即$21≤ x＜30$。
$\because$ 当$21≤ x＜30$时，$S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=21$时，$S$取得最大值，此时$S=-2×(21-15)^2+450=378$。
$\therefore$ 当这个矩形菜园垂直于墙的边长为21 m、平行于墙的边长为18 m时，菜园的面积最大，最大面积是$378\ \mathrm{m^2}$。
$\therefore$ 矩形菜园的面积$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$。
根据题意，得$0＜60-2x≤ 32$，即$14≤ x＜30$。
$\because S=-2x^2+60x=-2(x^2-30x)=-2(x-15)^2+450$，
$\therefore$ 当$x=15$时，$S$取最大值，此时$S=450$。
$\therefore$ 当这个矩形菜园垂直于墙的边长为15 m、平行于墙的边长为30 m时，菜园的面积最大，最大面积是$450\ \mathrm{m^2}$。
(2)设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(60-2x)\mathrm{m}$。
由(1)知$S=-2(x-15)^2+450$，根据题意，得$0＜60-2x≤ 18$，即$21≤ x＜30$。
$\because$ 当$21≤ x＜30$时，$S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=21$时，$S$取得最大值，此时$S=-2×(21-15)^2+450=378$。
$\therefore$ 当这个矩形菜园垂直于墙的边长为21 m、平行于墙的边长为18 m时，菜园的面积最大，最大面积是$378\ \mathrm{m^2}$。
解析
【分析】
这是利用二次函数求矩形面积最值的实际问题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设垂直于墙的边长为$x$ m，由于篱笆总长60m，因此平行于墙的边长为$(60-2x)$ m，据此写出面积$S$关于$x$的二次函数表达式；2. 结合墙长的限制条件，求出自变量$x$的取值范围（平行于墙的边长需大于0且不超过墙长）；3. 将二次函数化为顶点式，判断顶点横坐标是否在自变量的取值范围内：若在，则顶点处取得最值；若不在，则结合二次函数的增减性，在取值区间的端点处取得最值。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(60-2x)\mathrm{m}$。
$\therefore$ 矩形菜园的面积$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$。
根据题意，墙长32m，因此$0＜60-2x≤ 32$，解得$14≤ x＜30$。
将函数化为顶点式：$S=-2x^2+60x=-2(x^2-30x)=-2(x-15)^2+450$，
$\because$ 二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，且$x=15$在$14≤ x＜30$范围内，
$\therefore$ 当$x=15$时，$S$取最大值，此时$S=450$，平行于墙的边长为$60-2×15=30\ \mathrm{m}$。
(2) 设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(60-2x)\mathrm{m}$。
由(1)知面积表达式为$S=-2(x-15)^2+450$，
根据题意墙长18m，得$0＜60-2x≤ 18$，解得$21≤ x＜30$。
$\because$ 函数开口向下，对称轴为$x=15$，当$x＞15$时，$S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 在$21≤ x＜30$范围内，当$x=21$时，$S$取得最大值，此时$S=-2×(21-15)^2+450=378$，平行于墙的边长为$60-2×21=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 垂直于墙的边长为15 m，平行于墙的边长为30 m时，菜园面积最大，最大面积为$450\ \mathrm{m^2}$；
(2) 垂直于墙的边长为21 m，平行于墙的边长为18 m时，菜园面积最大，最大面积为$378\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的图象与性质，矩形面积计算
【点评】
本题考查二次函数在几何实际问题中的应用，易错点是忽略墙长对平行于墙边长的限制，直接代入顶点横坐标求最值。解题时需先确定自变量的合法取值范围，再结合函数的增减性判断最值的取值位置。
【难度系数】
0.65
这是利用二次函数求矩形面积最值的实际问题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设垂直于墙的边长为$x$ m，由于篱笆总长60m，因此平行于墙的边长为$(60-2x)$ m，据此写出面积$S$关于$x$的二次函数表达式；2. 结合墙长的限制条件，求出自变量$x$的取值范围（平行于墙的边长需大于0且不超过墙长）；3. 将二次函数化为顶点式，判断顶点横坐标是否在自变量的取值范围内：若在，则顶点处取得最值；若不在，则结合二次函数的增减性，在取值区间的端点处取得最值。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(60-2x)\mathrm{m}$。
$\therefore$ 矩形菜园的面积$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$。
根据题意，墙长32m，因此$0＜60-2x≤ 32$，解得$14≤ x＜30$。
将函数化为顶点式：$S=-2x^2+60x=-2(x^2-30x)=-2(x-15)^2+450$，
$\because$ 二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，且$x=15$在$14≤ x＜30$范围内，
$\therefore$ 当$x=15$时，$S$取最大值，此时$S=450$，平行于墙的边长为$60-2×15=30\ \mathrm{m}$。
(2) 设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(60-2x)\mathrm{m}$。
由(1)知面积表达式为$S=-2(x-15)^2+450$，
根据题意墙长18m，得$0＜60-2x≤ 18$，解得$21≤ x＜30$。
$\because$ 函数开口向下，对称轴为$x=15$，当$x＞15$时，$S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 在$21≤ x＜30$范围内，当$x=21$时，$S$取得最大值，此时$S=-2×(21-15)^2+450=378$，平行于墙的边长为$60-2×21=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 垂直于墙的边长为15 m，平行于墙的边长为30 m时，菜园面积最大，最大面积为$450\ \mathrm{m^2}$；
(2) 垂直于墙的边长为21 m，平行于墙的边长为18 m时，菜园面积最大，最大面积为$378\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的图象与性质，矩形面积计算
【点评】
本题考查二次函数在几何实际问题中的应用，易错点是忽略墙长对平行于墙边长的限制，直接代入顶点横坐标求最值。解题时需先确定自变量的合法取值范围，再结合函数的增减性判断最值的取值位置。
【难度系数】
0.65
如图，用长为45 m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20 m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃. 设花圃的一边长 AB 是x m，面积是 S m².
(1)求 S 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围.
(2)当 AB 长为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少？
(1)求 S 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围.
(2)当 AB 长为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少？
答案
解：(1)$S$关于$x$的函数解析式为$S=-3x^2+45x(\dfrac{25}{3}≤ x＜15)$。
(2)$AB$的长为$\dfrac{25}{3}\ \mathrm{m}$时，花圃的面积最大，最大面积为$\dfrac{500}{3}\ \mathrm{m^2}$。
(2)$AB$的长为$\dfrac{25}{3}\ \mathrm{m}$时，花圃的面积最大，最大面积为$\dfrac{500}{3}\ \mathrm{m^2}$。
解析
【分析】
(1) 求函数解析式时，先确定矩形两边的长度：AB为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的BC边长为总篱笆长减去3倍AB长度，再根据矩形面积公式即可得到S与x的函数关系。求x的取值范围要结合两个实际限制：一是BC长度不超过墙的最大可用长度20m，二是BC长度必须大于0，列不等式组求解即可。
(2) 求面积最大值时，先判断二次函数的开口方向和对称轴，再结合x的取值范围判断函数在该区间的增减性，进而找到S取最大值时对应的x值，代入计算得到最大面积。
【解析】
(1) 由题意可知，垂直于墙的边长$AB=x\ \mathrm{m}$，
∵ 总篱笆长为45 m，垂直于墙的篱笆共3段，
∴ 平行于墙的边长$BC=(45-3x)\ \mathrm{m}$，
根据矩形面积公式可得：$S=AB· BC=x(45-3x)=-3x^2+45x$。
根据实际限制列不等式组：$\begin{cases}45-3x≤20 \\45-3x＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$3x≥25$，得$x≥\dfrac{25}{3}$；
解第二个不等式：$3x＜45$，得$x＜15$。
因此x的取值范围为$\dfrac{25}{3}≤ x＜15$。
(2) 二次函数$S=-3x^2+45x$中，$a=-3＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{45}{2×(-3)}=7.5$。
∵ $\dfrac{25}{3}\approx8.33＞7.5$，即x的取值范围在对称轴右侧，
∴ 在$\dfrac{25}{3}≤ x＜15$范围内，S随x的增大而减小，
因此当$x=\dfrac{25}{3}$时，S取得最大值，
代入计算得：$S_{\mathrm{max}}=-3×(\dfrac{25}{3})^2+45×\dfrac{25}{3}=\dfrac{500}{3}$。
【答案】
(1)$S=-3x^2+45x(\dfrac{25}{3}≤ x＜15)$；
(2)当AB长为$\dfrac{25}{3}\ \mathrm{m}$时，花圃的面积最大，最大面积为$\dfrac{500}{3}\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决几何面积问题的典型题型，解题核心是先结合几何关系列出函数解析式，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，不能直接默认对称轴处为最值点，需结合取值范围判断函数增减性后确定最值。
【难度系数】
0.6
(1) 求函数解析式时，先确定矩形两边的长度：AB为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的BC边长为总篱笆长减去3倍AB长度，再根据矩形面积公式即可得到S与x的函数关系。求x的取值范围要结合两个实际限制：一是BC长度不超过墙的最大可用长度20m，二是BC长度必须大于0，列不等式组求解即可。
(2) 求面积最大值时，先判断二次函数的开口方向和对称轴，再结合x的取值范围判断函数在该区间的增减性，进而找到S取最大值时对应的x值，代入计算得到最大面积。
【解析】
(1) 由题意可知，垂直于墙的边长$AB=x\ \mathrm{m}$，
∵ 总篱笆长为45 m，垂直于墙的篱笆共3段，
∴ 平行于墙的边长$BC=(45-3x)\ \mathrm{m}$，
根据矩形面积公式可得：$S=AB· BC=x(45-3x)=-3x^2+45x$。
根据实际限制列不等式组：$\begin{cases}45-3x≤20 \\45-3x＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$3x≥25$，得$x≥\dfrac{25}{3}$；
解第二个不等式：$3x＜45$，得$x＜15$。
因此x的取值范围为$\dfrac{25}{3}≤ x＜15$。
(2) 二次函数$S=-3x^2+45x$中，$a=-3＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{45}{2×(-3)}=7.5$。
∵ $\dfrac{25}{3}\approx8.33＞7.5$，即x的取值范围在对称轴右侧，
∴ 在$\dfrac{25}{3}≤ x＜15$范围内，S随x的增大而减小，
因此当$x=\dfrac{25}{3}$时，S取得最大值，
代入计算得：$S_{\mathrm{max}}=-3×(\dfrac{25}{3})^2+45×\dfrac{25}{3}=\dfrac{500}{3}$。
【答案】
(1)$S=-3x^2+45x(\dfrac{25}{3}≤ x＜15)$；
(2)当AB长为$\dfrac{25}{3}\ \mathrm{m}$时，花圃的面积最大，最大面积为$\dfrac{500}{3}\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决几何面积问题的典型题型，解题核心是先结合几何关系列出函数解析式，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，不能直接默认对称轴处为最值点，需结合取值范围判断函数增减性后确定最值。
【难度系数】
0.6
请根据本课所学，构建知识体系.
二次函数的最值与图形问题
求二次函数最值的思路
（1）直接套用
（2）先配方为
图形面积与二次函数
（1）
分析题目中的
（2）找出等量关系，建立
（3）在
二次函数的最值与图形问题
求二次函数最值的思路
（1）直接套用
顶点
坐标公式；（2）先配方为
顶点
式，再求最值图形面积与二次函数
（1）
分析题目中的变量
与常量
；（2）找出等量关系，建立
二次函数
模型；（3）在
自变量
取值范围内，求出面积最值答案
(1)顶点 (2)顶点
(1)变量 常量 (2)二次函数 (3)自变量
(1)变量 常量 (2)二次函数 (3)自变量
解析
【分析】
本题是对二次函数最值相关知识体系的梳理，可从两个模块分别回忆知识点：①求二次函数最值时，最值对应二次函数顶点的纵坐标，因此既可以直接用顶点坐标公式计算，也可以将解析式配方为顶点式直接得到最值；②用二次函数解决图形面积最值问题时，首先要区分题目中的常量和变量，再根据面积等量关系建立二次函数模型，最后要结合实际意义，在自变量的取值范围内求解最值。
【解析】
1. 求二次函数最值的思路：
（1）二次函数的最值对应其图象顶点的纵坐标，因此可直接套用顶点坐标公式计算最值，故第一空填“顶点”；
（2）将二次函数的一般式配方为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$后，可直接根据$k$得到函数的最值，故第二空填“顶点”。
2. 图形面积与二次函数：
（1）解决这类实际问题的第一步是先分析题目中的变量和常量，确定自变量和因变量，故依次填“变量”“常量”；
（2）结合面积计算的等量关系，建立二次函数模型描述面积与自变量的对应关系，故填“二次函数”；
（3）自变量代表边长等实际量，有符合实际意义的取值范围，因此需要在自变量的取值范围内求面积最值，故填“自变量”。
【答案】
求二次函数最值的思路：（1）顶点；（2）顶点
图形面积与二次函数：（1）变量、常量；（2）二次函数；（3）自变量
【知识点】
二次函数最值求法；二次函数顶点式；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础的知识梳理类题目，重点考查对二次函数最值求解方法、二次函数解决面积最值问题步骤的掌握，能够帮助同学们搭建完整的知识框架，为后续解决二次函数综合应用类题目夯实基础。
【难度系数】
0.8
本题是对二次函数最值相关知识体系的梳理，可从两个模块分别回忆知识点：①求二次函数最值时，最值对应二次函数顶点的纵坐标，因此既可以直接用顶点坐标公式计算，也可以将解析式配方为顶点式直接得到最值；②用二次函数解决图形面积最值问题时，首先要区分题目中的常量和变量，再根据面积等量关系建立二次函数模型，最后要结合实际意义，在自变量的取值范围内求解最值。
【解析】
1. 求二次函数最值的思路：
（1）二次函数的最值对应其图象顶点的纵坐标，因此可直接套用顶点坐标公式计算最值，故第一空填“顶点”；
（2）将二次函数的一般式配方为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$后，可直接根据$k$得到函数的最值，故第二空填“顶点”。
2. 图形面积与二次函数：
（1）解决这类实际问题的第一步是先分析题目中的变量和常量，确定自变量和因变量，故依次填“变量”“常量”；
（2）结合面积计算的等量关系，建立二次函数模型描述面积与自变量的对应关系，故填“二次函数”；
（3）自变量代表边长等实际量，有符合实际意义的取值范围，因此需要在自变量的取值范围内求面积最值，故填“自变量”。
【答案】
求二次函数最值的思路：（1）顶点；（2）顶点
图形面积与二次函数：（1）变量、常量；（2）二次函数；（3）自变量
【知识点】
二次函数最值求法；二次函数顶点式；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础的知识梳理类题目，重点考查对二次函数最值求解方法、二次函数解决面积最值问题步骤的掌握，能够帮助同学们搭建完整的知识框架，为后续解决二次函数综合应用类题目夯实基础。
【难度系数】
0.8
例 已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出100件.市场调查发现，该产品每降价1元，每天可多卖出10件.受供货量限制，每天的销售量不得超过180件.设这种产品每件降价x元(x为整数)，每天的销售利润为w元.(1)求w关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；(2)该产品每件降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
答案
(1)由题意，得w=(60−40−x)(100+10x)=−10x²+100x+2 000.
∵受供货量限制，每天的销售量不得超过180件，
∴100+10x≤180，解得x≤8.
∴w关于x的函数解析式为w=−10x²+100x+2 000(0≤x≤8且x为整数).
(2)
∵w=−10x²+100x+2 000=−10(x−5)²+2 250，0≤x≤8且x为整数，
∴当x=5时，w取得最大值，最大值为2 250.
答：该产品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2 250元.
∵受供货量限制，每天的销售量不得超过180件，
∴100+10x≤180，解得x≤8.
∴w关于x的函数解析式为w=−10x²+100x+2 000(0≤x≤8且x为整数).
(2)
∵w=−10x²+100x+2 000=−10(x−5)²+2 250，0≤x≤8且x为整数，
∴当x=5时，w取得最大值，最大值为2 250.
答：该产品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2 250元.
解析
【分析】
(1)解决利润类问题的核心公式是总利润=单件利润×销售总量。首先计算降价x元后的单件利润：原售价60元，进价40元，降价x元后单件利润为(60-40-x)元；再计算对应销售量：原销量100件，每降价1元多卖10件，降价x元后销量为(100+10x)件，代入公式即可得到w与x的函数关系。接下来结合实际限制确定自变量范围：一是降价金额不能为负，即x≥0；二是销售量不超过180件，列不等式100+10x≤180求解，同时题目说明x为整数，综合得到x的取值范围。
(2)求最大利润属于二次函数求最值问题，首先将第一问得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数开口方向判断最值位置，再验证顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内，若在则顶点处函数值即为最大值。
【解析】
(1)根据总利润=单件利润×销售量，可得：
单件利润为：$60-40-x=(20-x)$元
销售量为：$(100+10x)$件
因此$w=(20-x)(100+10x)=-10x^2+100x+2000$
根据销售量不得超过180件，列不等式：
$100+10x≤180$，解得$x≤8$
又因为降价金额不能为负，且x为整数，所以$0≤ x≤8$且x为整数
综上，w关于x的函数解析式为$w=-10x^2+100x+2000(0≤ x≤8且x为整数)$
(2)将函数解析式配方为顶点式：
$w=-10x^2+100x+2000=-10(x^2-10x)+2000=-10(x-5)^2+2250$
因为二次项系数$-10＜0$，所以抛物线开口向下，在顶点处取得最大值
顶点横坐标$x=5$，满足$0≤5≤8$，属于自变量取值范围
因此当$x=5$时，w取得最大值，最大值为2250元
【答案】
(1)$w=-10x^2+100x+2000(0≤ x≤8且x为整数)$；
(2)该产品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的商品利润类二次函数应用题，解题的核心是牢记利润计算公式，同时要特别注意结合实际场景中的限制条件确定自变量的取值范围，求最值时需验证顶点是否在取值范围内，避免脱离实际直接套用顶点公式导致错误。
【难度系数】
0.7
(1)解决利润类问题的核心公式是总利润=单件利润×销售总量。首先计算降价x元后的单件利润：原售价60元，进价40元，降价x元后单件利润为(60-40-x)元；再计算对应销售量：原销量100件，每降价1元多卖10件，降价x元后销量为(100+10x)件，代入公式即可得到w与x的函数关系。接下来结合实际限制确定自变量范围：一是降价金额不能为负，即x≥0；二是销售量不超过180件，列不等式100+10x≤180求解，同时题目说明x为整数，综合得到x的取值范围。
(2)求最大利润属于二次函数求最值问题，首先将第一问得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数开口方向判断最值位置，再验证顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内，若在则顶点处函数值即为最大值。
【解析】
(1)根据总利润=单件利润×销售量，可得：
单件利润为：$60-40-x=(20-x)$元
销售量为：$(100+10x)$件
因此$w=(20-x)(100+10x)=-10x^2+100x+2000$
根据销售量不得超过180件，列不等式：
$100+10x≤180$，解得$x≤8$
又因为降价金额不能为负，且x为整数，所以$0≤ x≤8$且x为整数
综上，w关于x的函数解析式为$w=-10x^2+100x+2000(0≤ x≤8且x为整数)$
(2)将函数解析式配方为顶点式：
$w=-10x^2+100x+2000=-10(x^2-10x)+2000=-10(x-5)^2+2250$
因为二次项系数$-10＜0$，所以抛物线开口向下，在顶点处取得最大值
顶点横坐标$x=5$，满足$0≤5≤8$，属于自变量取值范围
因此当$x=5$时，w取得最大值，最大值为2250元
【答案】
(1)$w=-10x^2+100x+2000(0≤ x≤8且x为整数)$；
(2)该产品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的商品利润类二次函数应用题，解题的核心是牢记利润计算公式，同时要特别注意结合实际场景中的限制条件确定自变量的取值范围，求最值时需验证顶点是否在取值范围内，避免脱离实际直接套用顶点公式导致错误。
【难度系数】
0.7
