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7. 如图，$\odot O$ 的半径为 4 cm，$∠ AOB = 60°$，则弦 AB 的长为
4
cm.答案
7. 4
解析
【分析】
解题时首先利用圆的性质：同一个圆的所有半径长度相等，可得OA=OB=4cm，即△OAB是等腰三角形；再结合已知∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，可推出△OAB是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，就能求出弦AB的长度。
【解析】
解：
∵OA和OB均为⊙O的半径，且⊙O的半径为4cm，
∴OA = OB = 4cm，△OAB为等腰三角形，
又
∵∠AOB = 60°，
∴△OAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB = OA = 4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的半径性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，将圆的基本性质和特殊三角形的判定结合考查，解题的关键是先根据同圆半径相等得到等腰三角形，再结合特殊角判定等边三角形，熟练掌握基础概念和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先利用圆的性质：同一个圆的所有半径长度相等，可得OA=OB=4cm，即△OAB是等腰三角形；再结合已知∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，可推出△OAB是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，就能求出弦AB的长度。
【解析】
解：
∵OA和OB均为⊙O的半径，且⊙O的半径为4cm，
∴OA = OB = 4cm，△OAB为等腰三角形，
又
∵∠AOB = 60°，
∴△OAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB = OA = 4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的半径性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，将圆的基本性质和特殊三角形的判定结合考查，解题的关键是先根据同圆半径相等得到等腰三角形，再结合特殊角判定等边三角形，熟练掌握基础概念和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 用图形表示到定点 A 的距离等于2 cm 的点的集合.
答案
解：
由圆的定义可知，平面内到定点A的距离等于2 cm的点的集合是以点A为圆心，2 cm长为半径的圆。
作图步骤：
1. 在平面内任取一点，标记为定点A；
2. 调整圆规两脚间距为2 cm，以点A为圆心作完整的圆周，所得图形即为所求的点的集合。
由圆的定义可知，平面内到定点A的距离等于2 cm的点的集合是以点A为圆心，2 cm长为半径的圆。
作图步骤：
1. 在平面内任取一点，标记为定点A；
2. 调整圆规两脚间距为2 cm，以点A为圆心作完整的圆周，所得图形即为所求的点的集合。
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的基本定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。本题明确给出定点是A，定长是2cm，刚好对应圆的两个核心要素，因此可先确定所求点的集合对应的图形是圆，再借助圆规完成作图即可，作图时要注意准确定位圆心、调整好圆规两脚的间距保证半径长度准确。
【解析】
由圆的定义可知，平面内到定点A的距离等于2 cm的点的集合是以点A为圆心，2 cm长为半径的圆。
作图步骤：
1. 在平面内任取一点，标记为定点A；
2. 调整圆规两脚间距为2 cm，以点A为圆心作完整的圆周，所得图形即为所求的点的集合。
【答案】
平面内到定点A的距离等于2 cm的点的集合是以点A为圆心，2 cm长为半径的圆。作图步骤：1. 在平面内任取一点，标记为定点A；2. 调整圆规两脚间距为2 cm，以点A为圆心作完整的圆周，所得图形即为所求的点的集合。
【知识点】
1. 圆的定义
2. 尺规作圆
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对圆的定义的理解和基本作图能力，掌握圆的圆心、半径两个构成要素就能轻松解题，作图时需注意半径长度准确、圆周完整。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆的基本定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。本题明确给出定点是A，定长是2cm，刚好对应圆的两个核心要素，因此可先确定所求点的集合对应的图形是圆，再借助圆规完成作图即可，作图时要注意准确定位圆心、调整好圆规两脚的间距保证半径长度准确。
【解析】
由圆的定义可知，平面内到定点A的距离等于2 cm的点的集合是以点A为圆心，2 cm长为半径的圆。
作图步骤：
1. 在平面内任取一点，标记为定点A；
2. 调整圆规两脚间距为2 cm，以点A为圆心作完整的圆周，所得图形即为所求的点的集合。
【答案】
平面内到定点A的距离等于2 cm的点的集合是以点A为圆心，2 cm长为半径的圆。作图步骤：1. 在平面内任取一点，标记为定点A；2. 调整圆规两脚间距为2 cm，以点A为圆心作完整的圆周，所得图形即为所求的点的集合。
【知识点】
1. 圆的定义
2. 尺规作圆
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对圆的定义的理解和基本作图能力，掌握圆的圆心、半径两个构成要素就能轻松解题，作图时需注意半径长度准确、圆周完整。
【难度系数】
0.9
9. 如图，在$△ ABC$中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上。
答案
9. 证明 取 BC 的中点 F，连接 DF，EF（图略）。因为 BD，CE 是△ABC 的高，所以△BCD 和△BCE 都是直角三角形。所以 DF，EF 分别为 Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线。所以 $DF=EF=BF=CF$。所以 E，B，C，D 四点在以 F 点为圆心、$\frac{1}{2}BC$ 为半径的圆上。
解析
【分析】
要证明四点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察已知条件，BD、CE是三角形的高，可得△BCE和△BCD都是以BC为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以取BC的中点作为定点，证明四个点到这个中点的距离都等于BC的一半，即可完成证明。
【解析】
证明：取BC的中点F，连接DF，EF。
∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，即△BCD和△BCE都是直角三角形，且斜边均为BC。
∵F是BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴在Rt△BCD中，DF=BF=CF=½BC；
在Rt△BCE中，EF=BF=CF=½BC。
∴DF=EF=BF=CF。
根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上，因此B、C、D、E四点在以F为圆心，½BC为半径的圆上。
【答案】
证明 取 BC 的中点 F，连接 DF，EF（图略）。因为 BD，CE 是△ABC 的高，所以△BCD 和△BCE 都是直角三角形。所以 DF，EF 分别为 Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线。所以 $DF=EF=BF=CF$。所以 E，B，C，D 四点在以 F 点为圆心、$\frac{1}{2}BC$ 为半径的圆上。
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题的核心是结合直角三角形的性质构造出到四个点距离相等的定点，熟练掌握圆的定义和直角三角形的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明四点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察已知条件，BD、CE是三角形的高，可得△BCE和△BCD都是以BC为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以取BC的中点作为定点，证明四个点到这个中点的距离都等于BC的一半，即可完成证明。
【解析】
证明：取BC的中点F，连接DF，EF。
∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，即△BCD和△BCE都是直角三角形，且斜边均为BC。
∵F是BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴在Rt△BCD中，DF=BF=CF=½BC；
在Rt△BCE中，EF=BF=CF=½BC。
∴DF=EF=BF=CF。
根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上，因此B、C、D、E四点在以F为圆心，½BC为半径的圆上。
【答案】
证明 取 BC 的中点 F，连接 DF，EF（图略）。因为 BD，CE 是△ABC 的高，所以△BCD 和△BCE 都是直角三角形。所以 DF，EF 分别为 Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线。所以 $DF=EF=BF=CF$。所以 E，B，C，D 四点在以 F 点为圆心、$\frac{1}{2}BC$ 为半径的圆上。
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题的核心是结合直角三角形的性质构造出到四个点距离相等的定点，熟练掌握圆的定义和直角三角形的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（
A.$3＜r＜\sqrt{10}$
B.$\sqrt{2}＜r＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt{10}＜r＜\sqrt{13}$
D.$\sqrt{5}＜r≤3$
D
）A.$3＜r＜\sqrt{10}$
B.$\sqrt{2}＜r＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt{10}＜r＜\sqrt{13}$
D.$\sqrt{5}＜r≤3$
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用“圆内的点到圆心的距离小于半径”这一性质，按以下思路思考：首先计算点A到其余6个选取格点的距离，再将这些距离从小到大排序；根据“恰好有3个点在圆内”的要求，半径r需要大于第3个小的距离，同时不超过第4个小的距离，保证只有前3个点满足距离小于r，其余点距离都不小于r即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算点A到其余6个格点的距离，从小到大排序得前4个距离为：
$d_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$d_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$d_3=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$d_4=3$。
根据点与圆的位置关系：到圆心距离小于半径的点在圆内。要恰好有3个点在圆内，需满足：
前3个距离都小于r，即$r＞\sqrt{5}$；同时距离为3的点不在圆内（若$r＞3$，则该点也会进入圆内，圆内点变为4个，不符合要求），即$r≤3$。
因此r的取值范围是$\sqrt{5}＜r≤3$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是点和圆位置关系的判定，解题关键是正确计算各格点到圆心的距离，结合圆内点的性质确定半径的取值范围，解题时需注意临界值的取舍，避免错判等于的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要利用“圆内的点到圆心的距离小于半径”这一性质，按以下思路思考：首先计算点A到其余6个选取格点的距离，再将这些距离从小到大排序；根据“恰好有3个点在圆内”的要求，半径r需要大于第3个小的距离，同时不超过第4个小的距离，保证只有前3个点满足距离小于r，其余点距离都不小于r即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算点A到其余6个格点的距离，从小到大排序得前4个距离为：
$d_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$d_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$d_3=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$d_4=3$。
根据点与圆的位置关系：到圆心距离小于半径的点在圆内。要恰好有3个点在圆内，需满足：
前3个距离都小于r，即$r＞\sqrt{5}$；同时距离为3的点不在圆内（若$r＞3$，则该点也会进入圆内，圆内点变为4个，不符合要求），即$r≤3$。
因此r的取值范围是$\sqrt{5}＜r≤3$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是点和圆位置关系的判定，解题关键是正确计算各格点到圆心的距离，结合圆内点的性质确定半径的取值范围，解题时需注意临界值的取舍，避免错判等于的情况。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=8$. 以点$A$为圆心，$r$为半径作圆，当点$C$在$\odot A$内且点$B$在$\odot A$外时，$r$的值可能是（
A.6
B.8
C.10
D.12
B
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
11. B
解析
【分析】
要解决本题，需先明确点与圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。本题圆心为点A，首先利用勾股定理计算出AC的长度，再分别根据点C在⊙A内、点B在⊙A外的条件，推导出半径r的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∵点C在⊙A内，
∴$r＞AC$，即$r＞6$
∵点B在⊙A外，
∴$r＜AB$，即$r＜10$
综上，r的取值范围为$6＜r＜10$，四个选项中只有8符合该范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题重点考察点与圆位置关系的实际应用，解题的核心是先求出线段AC的长度，再结合判定规则得到半径的取值范围，属于基础题型，对基础知识点的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先明确点与圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。本题圆心为点A，首先利用勾股定理计算出AC的长度，再分别根据点C在⊙A内、点B在⊙A外的条件，推导出半径r的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∵点C在⊙A内，
∴$r＞AC$，即$r＞6$
∵点B在⊙A外，
∴$r＜AB$，即$r＜10$
综上，r的取值范围为$6＜r＜10$，四个选项中只有8符合该范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题重点考察点与圆位置关系的实际应用，解题的核心是先求出线段AC的长度，再结合判定规则得到半径的取值范围，属于基础题型，对基础知识点的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
12. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB，CD的延长线交于点E，若$AB=2DE$，$∠ E=18°$，则$∠ AOC$的度数为
$54°$
。答案
12. $54°$
解析
【分析】
解题的核心是利用圆的半径相等的性质，结合等腰三角形性质、三角形外角定理逐步推导角度。首先由AB是直径可得AB等于2倍半径，结合AB=2DE可推出DE与半径长度相等，因此连接辅助线OD构造等腰三角形，先求△ODE的内角，再逐步推导∠ODC、∠OCD的度数，最后利用外角定理求∠AOC即可。
【解析】
解：连接OD
∵AB是⊙O的直径，OD是⊙O的半径
∴AB=2OD
又
∵AB=2DE
∴OD=DE
∴∠DOE=∠E=18°
∵∠ODC是△ODE的外角
∴∠ODC=∠DOE+∠E=18°+18°=36°
∵OC、OD都是⊙O的半径
∴OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=36°
∵∠AOC是△OCE的外角
∴∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°
【答案】
$54°$
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形外角定理
【点评】
本题属于圆相关角度计算的基础题型，解题关键是通过连接半径构造等腰三角形，将已知角度和待求角度通过三角形内外角关系关联起来，是圆的性质应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用圆的半径相等的性质，结合等腰三角形性质、三角形外角定理逐步推导角度。首先由AB是直径可得AB等于2倍半径，结合AB=2DE可推出DE与半径长度相等，因此连接辅助线OD构造等腰三角形，先求△ODE的内角，再逐步推导∠ODC、∠OCD的度数，最后利用外角定理求∠AOC即可。
【解析】
解：连接OD
∵AB是⊙O的直径，OD是⊙O的半径
∴AB=2OD
又
∵AB=2DE
∴OD=DE
∴∠DOE=∠E=18°
∵∠ODC是△ODE的外角
∴∠ODC=∠DOE+∠E=18°+18°=36°
∵OC、OD都是⊙O的半径
∴OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=36°
∵∠AOC是△OCE的外角
∴∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°
【答案】
$54°$
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形外角定理
【点评】
本题属于圆相关角度计算的基础题型，解题关键是通过连接半径构造等腰三角形，将已知角度和待求角度通过三角形内外角关系关联起来，是圆的性质应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
