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1. 过平面内一个已知点A，可以作无数个圆，这些圆的圆心分布特点是
（
A.在一条直线上
B.在以点A为圆心的一个圆上
C.在除点A外的任意位置
D.在过点A的一条射线上
（
C
）A.在一条直线上
B.在以点A为圆心的一个圆上
C.在除点A外的任意位置
D.在过点A的一条射线上
答案
1. C
解析
【分析】
首先回忆圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合为圆，定点是圆心，定长是半径。若圆过点A，则点A到圆心的距离等于圆的半径（半径为正数）。我们要判断过A的无数个圆的圆心分布，只需推导圆心需要满足的条件：首先圆心不能和A重合（否则距离为0，不符合半径为正的要求），其次只要圆心不是A，取半径等于该点到A的距离，就能作出过A的圆，因此圆心可以是除A外的任意位置，再结合选项判断即可。
【解析】
根据圆的定义：平面内到圆心的距离等于半径（半径＞0）的所有点组成圆。
若某圆经过点A，设该圆圆心为O，则OA等于圆的半径，满足OA＞0，即O不能与点A重合。
对于平面内任意一个异于点A的点，只需以这个点到A的距离为半径画圆，得到的圆必然经过点A，因此所有过点A的圆的圆心可以是平面内除点A外的任意位置。
逐一分析选项：
A. 圆心无需在同一条直线上，除A外的任意位置都可以，错误；
B. 只有当圆的半径固定时，圆心才在以A为圆心的圆上，本题圆的半径不固定，错误；
C. 符合推导结论，正确；
D. 圆心不受射线限制，任意方向都可以，错误。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；过点作圆的条件
【点评】
本题主要考查对圆的基本定义的理解，易错点是误认为过点A的圆半径固定，从而错选B选项，解题时要明确过单个点的圆半径不固定，因此圆心除不能取点A本身外无其他限制。
【难度系数】
0.7
首先回忆圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合为圆，定点是圆心，定长是半径。若圆过点A，则点A到圆心的距离等于圆的半径（半径为正数）。我们要判断过A的无数个圆的圆心分布，只需推导圆心需要满足的条件：首先圆心不能和A重合（否则距离为0，不符合半径为正的要求），其次只要圆心不是A，取半径等于该点到A的距离，就能作出过A的圆，因此圆心可以是除A外的任意位置，再结合选项判断即可。
【解析】
根据圆的定义：平面内到圆心的距离等于半径（半径＞0）的所有点组成圆。
若某圆经过点A，设该圆圆心为O，则OA等于圆的半径，满足OA＞0，即O不能与点A重合。
对于平面内任意一个异于点A的点，只需以这个点到A的距离为半径画圆，得到的圆必然经过点A，因此所有过点A的圆的圆心可以是平面内除点A外的任意位置。
逐一分析选项：
A. 圆心无需在同一条直线上，除A外的任意位置都可以，错误；
B. 只有当圆的半径固定时，圆心才在以A为圆心的圆上，本题圆的半径不固定，错误；
C. 符合推导结论，正确；
D. 圆心不受射线限制，任意方向都可以，错误。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；过点作圆的条件
【点评】
本题主要考查对圆的基本定义的理解，易错点是误认为过点A的圆半径固定，从而错选B选项，解题时要明确过单个点的圆半径不固定，因此圆心除不能取点A本身外无其他限制。
【难度系数】
0.7
2. 已知点$A(-2,0)$和点$B(2,0)$，则经过$A$，$B$两点的圆的圆心所在的直线是（
A.$x$轴
B.$y$轴
C.$y=x$
D.$y=-x$
B
）A.$x$轴
B.$y$轴
C.$y=x$
D.$y=-x$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定经过A、B两点的圆的圆心所在直线，首先回忆圆的性质：圆的圆心到圆上任意两点的距离相等，因此圆心到A、B两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只需要求出线段AB的垂直平分线，就是圆心所在的直线。接下来分析A、B两点的坐标特征，计算AB的垂直平分线即可。
【解析】
设经过A、B两点的圆的圆心为$P(x,y)$。
∵ 点P是圆的圆心，A、B都在圆上
∴ $PA = PB$（圆的半径相等）
根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{(x-2)^2 + y^2}$
两边同时平方得：
$(x+2)^2 + y^2 = (x-2)^2 + y^2$
展开化简：
$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 4x + 4$
消去同类项后得：$8x = 0$，即$x=0$
$x=0$对应的直线是y轴，因此圆心所在的直线是y轴。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质；线段垂直平分线的判定；坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆的性质和线段垂直平分线判定的结合应用，熟练掌握相关性质就能快速定位圆心的轨迹，解题时也可直接根据A、B两点的坐标特征快速判断其垂直平分线为y轴，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
要确定经过A、B两点的圆的圆心所在直线，首先回忆圆的性质：圆的圆心到圆上任意两点的距离相等，因此圆心到A、B两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只需要求出线段AB的垂直平分线，就是圆心所在的直线。接下来分析A、B两点的坐标特征，计算AB的垂直平分线即可。
【解析】
设经过A、B两点的圆的圆心为$P(x,y)$。
∵ 点P是圆的圆心，A、B都在圆上
∴ $PA = PB$（圆的半径相等）
根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{(x-2)^2 + y^2}$
两边同时平方得：
$(x+2)^2 + y^2 = (x-2)^2 + y^2$
展开化简：
$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 4x + 4$
消去同类项后得：$8x = 0$，即$x=0$
$x=0$对应的直线是y轴，因此圆心所在的直线是y轴。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质；线段垂直平分线的判定；坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆的性质和线段垂直平分线判定的结合应用，熟练掌握相关性质就能快速定位圆心的轨迹，解题时也可直接根据A、B两点的坐标特征快速判断其垂直平分线为y轴，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆半径为（
A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
A
）A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先明确直角三角形外接圆的相关性质：直角三角形的外心为斜边的中点，外接圆的直径等于斜边的长度。因此要求外接圆半径，需要先利用勾股定理求出斜边的长度，再将斜边长度除以2即可得到半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
根据圆周角定理的推论：$90°$的圆周角所对的弦是直径，可知$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆直径为斜边$AB$的长度，因此外接圆半径$R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；圆周角定理推论
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是掌握直角三角形外接圆直径与斜边的对应关系，结合勾股定理即可快速求解，相关性质需要熟练识记，避免混淆半径和直径的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确直角三角形外接圆的相关性质：直角三角形的外心为斜边的中点，外接圆的直径等于斜边的长度。因此要求外接圆半径，需要先利用勾股定理求出斜边的长度，再将斜边长度除以2即可得到半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
根据圆周角定理的推论：$90°$的圆周角所对的弦是直径，可知$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆直径为斜边$AB$的长度，因此外接圆半径$R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；圆周角定理推论
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是掌握直角三角形外接圆直径与斜边的对应关系，结合勾股定理即可快速求解，相关性质需要熟练识记，避免混淆半径和直径的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 当用反证法证明“若$a＞b＞0$，则$a^2＞b^2$”时，应先假设 （
A.$a^2≤ b^2$
B.$a^2≥ b^2$
C.$a^2＞b^2$
D.$a^2＜ b^2$
A
）A.$a^2≤ b^2$
B.$a^2≥ b^2$
C.$a^2＞b^2$
D.$a^2＜ b^2$
答案
4. A
解析
【分析】
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法证明命题时，第一步需要先假设原命题的结论不成立，也就是提出与原命题结论相反的假设。首先明确本题中原命题的结论是“$a^2＞b^2$”，接下来只需要找到这个结论的否定形式即可，“大于”的对立面是“小于或等于”，据此就能确定假设内容。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步应假设原命题的结论不成立，即否定原命题的结论。
原命题的结论为$a^2 ＞ b^2$，对“$＞$”的否定是“$≤$”，因此应先假设$a^2 ≤ b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始步骤，解题关键是正确对原命题的结论进行否定，属于基础概念类考题，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法证明命题时，第一步需要先假设原命题的结论不成立，也就是提出与原命题结论相反的假设。首先明确本题中原命题的结论是“$a^2＞b^2$”，接下来只需要找到这个结论的否定形式即可，“大于”的对立面是“小于或等于”，据此就能确定假设内容。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步应假设原命题的结论不成立，即否定原命题的结论。
原命题的结论为$a^2 ＞ b^2$，对“$＞$”的否定是“$≤$”，因此应先假设$a^2 ≤ b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始步骤，解题关键是正确对原命题的结论进行否定，属于基础概念类考题，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
5. 用反证法证明命题：“如果 $a // b$，$a // c$，那么 $b // c$”。如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.同位角相等，两直线平行
C
）A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.同位角相等，两直线平行
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先明确反证法的推导逻辑：反证法第一步需假设待证结论不成立，本题假设$b$与$c$相交于点$P$，接下来结合已知平行条件推导矛盾。首先点$P$是$b$、$c$的交点，因此$P$同时在直线$b$和直线$c$上；已知$a// b$，说明过点$P$的直线$b$与$a$平行，已知$a// c$，说明过点$P$的直线$c$也与$a$平行，且$P$是直线$a$外的点（若$P$在$a$上则$b$与$a$相交，和$a// b$矛盾），此时就出现了过直线外一点有两条直线和已知直线平行的结论，和所学平行公理冲突，对应选项即可选出答案。
【解析】
假设$b$与$c$相交于点$P$：
$\because a// b$，$\therefore$ 过直线$a$外的点$P$，存在直线$b$与$a$平行；
又$\because a// c$，$\therefore$ 过直线$a$外的点$P$，还存在直线$c$与$a$平行；
该结论与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的公理矛盾，因此假设不成立，故$b// c$，推出的矛盾对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法，平行公理
【点评】
本题考查反证法的应用以及平行公理的掌握，解题的核心是结合已知条件从假设出发推导出与已学公理相悖的结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确反证法的推导逻辑：反证法第一步需假设待证结论不成立，本题假设$b$与$c$相交于点$P$，接下来结合已知平行条件推导矛盾。首先点$P$是$b$、$c$的交点，因此$P$同时在直线$b$和直线$c$上；已知$a// b$，说明过点$P$的直线$b$与$a$平行，已知$a// c$，说明过点$P$的直线$c$也与$a$平行，且$P$是直线$a$外的点（若$P$在$a$上则$b$与$a$相交，和$a// b$矛盾），此时就出现了过直线外一点有两条直线和已知直线平行的结论，和所学平行公理冲突，对应选项即可选出答案。
【解析】
假设$b$与$c$相交于点$P$：
$\because a// b$，$\therefore$ 过直线$a$外的点$P$，存在直线$b$与$a$平行；
又$\because a// c$，$\therefore$ 过直线$a$外的点$P$，还存在直线$c$与$a$平行；
该结论与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的公理矛盾，因此假设不成立，故$b// c$，推出的矛盾对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法，平行公理
【点评】
本题考查反证法的应用以及平行公理的掌握，解题的核心是结合已知条件从假设出发推导出与已学公理相悖的结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3, 0)，B(-1, 2)，C(3, 2)，则△ABC的外心的坐标为
(1，−2)
。答案
6. (1，−2)
解析
【分析】
首先明确三角形外心的定义：它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。解题时先观察点B、C的坐标特征，二者纵坐标相同，说明BC边平行于x轴，因此BC的垂直平分线是垂直于x轴的直线，可直接求出这条垂直平分线的解析式，确定外心的横坐标；再设出外心坐标，利用外心到两个顶点距离相等列方程，求解即可得到外心的纵坐标。
【解析】
解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
已知$B(-1,2)$，$C(3,2)$，两点纵坐标相等，故$BC// x$轴。
BC的中点坐标为$( \frac{-1+3}{2},\frac{2+2}{2} )=(1,2)$，因此BC的垂直平分线为直线$x=1$，即外心的横坐标为1。
设外心坐标为$(1,y)$，根据外心到点A和点B的距离相等，结合两点间距离公式可得：
$\sqrt{(1+3)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(1+1)^2+(y-2)^2}$
两边同时平方消去根号，得：
$16+y^2=4+(y-2)^2$
展开右侧式子：$16+y^2=4+y^2-4y+4$
化简得：$16=8-4y$
移项求解：$4y=8-16=-8$，解得$y=-2$
因此$△ ABC$的外心坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
三角形外心的性质；两点间距离公式；垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的关键是先利用平行于x轴的线段的垂直平分线的特征，快速确定外心的横坐标，简化了计算过程，再结合外心到顶点距离相等的性质列方程求解，考查了对基础概念的理解和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形外心的定义：它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。解题时先观察点B、C的坐标特征，二者纵坐标相同，说明BC边平行于x轴，因此BC的垂直平分线是垂直于x轴的直线，可直接求出这条垂直平分线的解析式，确定外心的横坐标；再设出外心坐标，利用外心到两个顶点距离相等列方程，求解即可得到外心的纵坐标。
【解析】
解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
已知$B(-1,2)$，$C(3,2)$，两点纵坐标相等，故$BC// x$轴。
BC的中点坐标为$( \frac{-1+3}{2},\frac{2+2}{2} )=(1,2)$，因此BC的垂直平分线为直线$x=1$，即外心的横坐标为1。
设外心坐标为$(1,y)$，根据外心到点A和点B的距离相等，结合两点间距离公式可得：
$\sqrt{(1+3)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(1+1)^2+(y-2)^2}$
两边同时平方消去根号，得：
$16+y^2=4+(y-2)^2$
展开右侧式子：$16+y^2=4+y^2-4y+4$
化简得：$16=8-4y$
移项求解：$4y=8-16=-8$，解得$y=-2$
因此$△ ABC$的外心坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
三角形外心的性质；两点间距离公式；垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的关键是先利用平行于x轴的线段的垂直平分线的特征，快速确定外心的横坐标，简化了计算过程，再结合外心到顶点距离相等的性质列方程求解，考查了对基础概念的理解和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 用反证法证明：如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直.
答案
7. 证明 假设这条直线与另一条平行线不垂直. 因为两条直线平行，同位角相等.
如果一条直线与其中一条垂直（夹角 90°），那么与另一条的夹角也应该是 90°，即垂直.
这与假设矛盾，所以原命题成立.
如果一条直线与其中一条垂直（夹角 90°），那么与另一条的夹角也应该是 90°，即垂直.
这与假设矛盾，所以原命题成立.
解析
【分析】
使用反证法证明命题时，需遵循三步思路：第一步反设，否定待证命题的结论；第二步归谬，结合已知条件、已学定理推导，得出与假设、已知或公理定理矛盾的结果；第三步定论，判定假设不成立，原命题正确。本题待证结论是直线与两条平行线中的另一条垂直，因此先假设该直线与另一条平行线不垂直，再结合平行线同位角相等的性质推导，即可推出与已知条件矛盾的结论，完成证明。
【解析】
先明确命题的几何表述：已知直线$a// b$，直线$l⊥ a$，求证$l⊥ b$。
证明：
1. 反设：假设直线$l$与平行线$b$不垂直，则$l$与$b$的夹角不等于$90°$。
2. 归谬：因为$a// b$，根据平行线的性质，同位角相等，所以$l$与$a$的夹角也不等于$90°$，这与已知条件“直线$l$与$a$垂直（夹角为$90°$）”矛盾。
3. 定论：因此假设不成立，原命题成立。
【答案】
证明 假设这条直线与另一条平行线不垂直. 因为两条直线平行，同位角相等.如果一条直线与其中一条垂直（夹角 90°），那么与另一条的夹角也应该是 90°，即垂直.这与假设矛盾，所以原命题成立.
【知识点】
反证法；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题核心是熟练掌握反证法的证明步骤，推导过程需结合已学几何定理保证逻辑严谨，是对几何证明逻辑思维的基础训练。
【难度系数】
0.8
使用反证法证明命题时，需遵循三步思路：第一步反设，否定待证命题的结论；第二步归谬，结合已知条件、已学定理推导，得出与假设、已知或公理定理矛盾的结果；第三步定论，判定假设不成立，原命题正确。本题待证结论是直线与两条平行线中的另一条垂直，因此先假设该直线与另一条平行线不垂直，再结合平行线同位角相等的性质推导，即可推出与已知条件矛盾的结论，完成证明。
【解析】
先明确命题的几何表述：已知直线$a// b$，直线$l⊥ a$，求证$l⊥ b$。
证明：
1. 反设：假设直线$l$与平行线$b$不垂直，则$l$与$b$的夹角不等于$90°$。
2. 归谬：因为$a// b$，根据平行线的性质，同位角相等，所以$l$与$a$的夹角也不等于$90°$，这与已知条件“直线$l$与$a$垂直（夹角为$90°$）”矛盾。
3. 定论：因此假设不成立，原命题成立。
【答案】
证明 假设这条直线与另一条平行线不垂直. 因为两条直线平行，同位角相等.如果一条直线与其中一条垂直（夹角 90°），那么与另一条的夹角也应该是 90°，即垂直.这与假设矛盾，所以原命题成立.
【知识点】
反证法；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题核心是熟练掌握反证法的证明步骤，推导过程需结合已学几何定理保证逻辑严谨，是对几何证明逻辑思维的基础训练。
【难度系数】
0.8
