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5. 如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转，点$A$的对应点为$E$，点$B$的对应点为$D$，当旋转角为$90°$时，$A$，$D$，$E$三点在同一条直线上，则此时$∠ E$的度数为（
A.$46°$
B.$56°$
C.$45°$
D.$51°$
C
）A.$46°$
B.$56°$
C.$45°$
D.$51°$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质分析：旋转前后对应边相等，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。本题中旋转角为90°，可得AC=CE，∠ACE=90°，由此判定△ACE为等腰直角三角形，再结合A、D、E共线的条件，利用等腰直角三角形的底角特征即可求出∠E的度数。
【解析】
由旋转的性质可得：$AC=CE$，旋转角$∠ ACE=90°$，
$\therefore △ ACE$是等腰直角三角形，
$\because A$，$D$，$E$三点在同一条直线上，
$\therefore ∠ E=\frac{180°-∠ ACE}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的特征，快速判断出等腰直角三角形，再结合三角形内角和计算角度即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合旋转的性质分析：旋转前后对应边相等，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。本题中旋转角为90°，可得AC=CE，∠ACE=90°，由此判定△ACE为等腰直角三角形，再结合A、D、E共线的条件，利用等腰直角三角形的底角特征即可求出∠E的度数。
【解析】
由旋转的性质可得：$AC=CE$，旋转角$∠ ACE=90°$，
$\therefore △ ACE$是等腰直角三角形，
$\because A$，$D$，$E$三点在同一条直线上，
$\therefore ∠ E=\frac{180°-∠ ACE}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的特征，快速判断出等腰直角三角形，再结合三角形内角和计算角度即可。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E是菱形ABCD内一点,连接CE,将CE绕点C顺时针旋转110°,得到线段CF,连接BE,DF.若∠E=86°,求∠F的度数.
答案
6. 由旋转的性质知, CE = CF, ∠ECF = 110°.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BC=DC, ∠BCD = ∠A = 110°.
∴ ∠ECF = ∠BCD.
∴ ∠BCD-∠DCE = ∠ECF-∠DCE,即∠BCE = ∠DCF.
在△BCE和△DCF中,
$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠BCE=∠DCF, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴ △BCE≌△DCF.
∴ ∠F = ∠E = 86°.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BC=DC, ∠BCD = ∠A = 110°.
∴ ∠ECF = ∠BCD.
∴ ∠BCD-∠DCE = ∠ECF-∠DCE,即∠BCE = ∠DCF.
在△BCE和△DCF中,
$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠BCE=∠DCF, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴ △BCE≌△DCF.
∴ ∠F = ∠E = 86°.
解析
【分析】
解题时从已知条件入手逐步推导：首先回忆旋转的性质，可得到相等的边和旋转角；再结合菱形的性质，得到相等的边以及相等的对角，通过角的和差关系推导出两个三角形的一组夹角相等；最后利用SAS判定两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等即可求出∠F的度数。
【解析】
由旋转的性质知, $CE = CF$, $∠ ECF = 110°$.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $BC=DC$, $∠ BCD = ∠ A = 110°$.
∴ $∠ ECF = ∠ BCD$,
∴ $∠ BCD-∠ DCE = ∠ ECF-∠ DCE$,即$∠ BCE = ∠ DCF$.
在$△ BCE$和$△ DCF$中,
$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠ BCE=∠ DCF, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴ $△ BCE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$.
∴ $∠ F = ∠ E = 86°$.
【答案】
$∠ F$的度数为$86°$
【知识点】
旋转的性质；菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将旋转、菱形的性质与全等三角形的判定结合考察，解题的关键是通过角的和差关系推导得到全等所需的等角条件，进而利用全等的性质求解对应角的度数。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件入手逐步推导：首先回忆旋转的性质，可得到相等的边和旋转角；再结合菱形的性质，得到相等的边以及相等的对角，通过角的和差关系推导出两个三角形的一组夹角相等；最后利用SAS判定两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等即可求出∠F的度数。
【解析】
由旋转的性质知, $CE = CF$, $∠ ECF = 110°$.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $BC=DC$, $∠ BCD = ∠ A = 110°$.
∴ $∠ ECF = ∠ BCD$,
∴ $∠ BCD-∠ DCE = ∠ ECF-∠ DCE$,即$∠ BCE = ∠ DCF$.
在$△ BCE$和$△ DCF$中,
$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠ BCE=∠ DCF, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴ $△ BCE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$.
∴ $∠ F = ∠ E = 86°$.
【答案】
$∠ F$的度数为$86°$
【知识点】
旋转的性质；菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将旋转、菱形的性质与全等三角形的判定结合考察，解题的关键是通过角的和差关系推导得到全等所需的等角条件，进而利用全等的性质求解对应角的度数。
【难度系数】
0.7
7. 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1，则BF=（
A.$1+2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$\sqrt{2}+2$
D
）A.$1+2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$\sqrt{2}+2$
答案
7.D
解析
【分析】
解题思路：首先结合正方形的性质可知其内角为直角、对角线分内角为45°，再利用角平分线的性质，过E作BD的垂线即可得到垂线长度等于CE的长度；根据45°直角三角形的边长关系求出DE的长度，进而得到正方形的边长；最后根据旋转前后对应边相等的性质得到CF的长度，将BC与CF相加即可得到BF的长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥BD于点G。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BD平分∠ADC，即∠BDC=45°。
∵BE平分∠DBC，EC⊥BC，EG⊥BD，
∴EG=CE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DEG中，∠EDG=45°，△DEG为等腰直角三角形，
∴DE=√2·EG=√2，
∴正方形边长CD=CE+DE=1+√2，即BC=CD=1+√2。
由旋转的性质可知，△BCE≌△DCF，对应边相等，
∴CF=CE=1，
∴BF=BC+CF=(1+√2)+1=√2+2。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，角平分线的性质，旋转的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、角平分线、旋转的性质结合考查，解题的关键是利用角平分线的性质求出DE的长度，再结合旋转性质得到CF的长度，需要学生熟练掌握各基础几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先结合正方形的性质可知其内角为直角、对角线分内角为45°，再利用角平分线的性质，过E作BD的垂线即可得到垂线长度等于CE的长度；根据45°直角三角形的边长关系求出DE的长度，进而得到正方形的边长；最后根据旋转前后对应边相等的性质得到CF的长度，将BC与CF相加即可得到BF的长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥BD于点G。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BD平分∠ADC，即∠BDC=45°。
∵BE平分∠DBC，EC⊥BC，EG⊥BD，
∴EG=CE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DEG中，∠EDG=45°，△DEG为等腰直角三角形，
∴DE=√2·EG=√2，
∴正方形边长CD=CE+DE=1+√2，即BC=CD=1+√2。
由旋转的性质可知，△BCE≌△DCF，对应边相等，
∴CF=CE=1，
∴BF=BC+CF=(1+√2)+1=√2+2。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，角平分线的性质，旋转的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、角平分线、旋转的性质结合考查，解题的关键是利用角平分线的性质求出DE的长度，再结合旋转性质得到CF的长度，需要学生熟练掌握各基础几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图, 将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转得到$△ DBE$,点$E$在线段$AB$上,$DE$的延长线与$AC$交于点$F$,连接$DA$,$BF$,$∠ ABC=60°$,$BF=AF$.
(1)求证:$DA// BC$;
(2)猜想线段$AD$,$AE$的数量关系,并证明你的猜想.
(1)求证:$DA// BC$;
(2)猜想线段$AD$,$AE$的数量关系,并证明你的猜想.
答案
8.(1)由旋转,知AB=BD,∠ABD=∠ABC=60°,
∴ △ABD是等边三角形.
∴ ∠DAB=60°.
又 ∠ABC=60°,
∴ ∠DAB=∠ABC.
∴ DA//BC.
(2)AD=2AE.
证明:
∵ △ABD是等边三角形,
∴ AD=BD, ∠ADB=60°.
在△ADF和△BDF中,
$\begin{cases} AD=BD, \\ AF=BF, \\ DF=DF, \end{cases}$
∴ △ADF≌△BDF.
∴ ∠ADF=∠BDF=$\frac{1}{2}$∠ADB=30°.
∴ DE⊥AB,即∠AED=90°.
∴ AD=2AE.
∴ △ABD是等边三角形.
∴ ∠DAB=60°.
又 ∠ABC=60°,
∴ ∠DAB=∠ABC.
∴ DA//BC.
(2)AD=2AE.
证明:
∵ △ABD是等边三角形,
∴ AD=BD, ∠ADB=60°.
在△ADF和△BDF中,
$\begin{cases} AD=BD, \\ AF=BF, \\ DF=DF, \end{cases}$
∴ △ADF≌△BDF.
∴ ∠ADF=∠BDF=$\frac{1}{2}$∠ADB=30°.
∴ DE⊥AB,即∠AED=90°.
∴ AD=2AE.
解析
【分析】
(1)要证明DA//BC，可通过证明内错角∠DAB=∠ABC实现。首先根据旋转的性质得到AB=BD，旋转角∠ABD=∠ABC=60°，可判定△ABD是等边三角形，进而得到∠DAB=60°，即可推出角相等得到平行关系。
(2)猜想AD=2AE，结合(1)中△ABD是等边三角形的结论，已知AF=BF，可通过SSS证明△ADF和△BDF全等，得到DF平分∠ADB，推出∠ADE=30°，再结合DE⊥AB得到直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可证明结论。
【解析】
(1)证明：由旋转的性质可知，AB=BD，∠ABD=∠ABC=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠DAB=60°，
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ ∠DAB=∠ABC，
∴ DA//BC。
(2)猜想：$AD=2AE$，证明如下：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ AD=BD，∠ADB=60°，
在△ADF和△BDF中，
$\begin{cases} AD=BD \\ AF=BF \\ DF=DF \end{cases}$
∴ △ADF≌△BDF（SSS），
∴ ∠ADF=∠BDF=$\frac{1}{2}$∠ADB=30°，
∴ DE⊥AB，即∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴ AD=2AE。
【答案】
(1)DA//BC，证明成立；
(2)$AD=2AE$，证明成立。
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是图形旋转章节的典型基础题，解题核心是灵活运用旋转前后图形对应边相等、对应角相等的性质，结合等边三角形、全等三角形的判定和性质推导边角关系，解题逻辑清晰，考察的知识点较为基础。
【难度系数】
0.7
(1)要证明DA//BC，可通过证明内错角∠DAB=∠ABC实现。首先根据旋转的性质得到AB=BD，旋转角∠ABD=∠ABC=60°，可判定△ABD是等边三角形，进而得到∠DAB=60°，即可推出角相等得到平行关系。
(2)猜想AD=2AE，结合(1)中△ABD是等边三角形的结论，已知AF=BF，可通过SSS证明△ADF和△BDF全等，得到DF平分∠ADB，推出∠ADE=30°，再结合DE⊥AB得到直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可证明结论。
【解析】
(1)证明：由旋转的性质可知，AB=BD，∠ABD=∠ABC=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠DAB=60°，
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ ∠DAB=∠ABC，
∴ DA//BC。
(2)猜想：$AD=2AE$，证明如下：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ AD=BD，∠ADB=60°，
在△ADF和△BDF中，
$\begin{cases} AD=BD \\ AF=BF \\ DF=DF \end{cases}$
∴ △ADF≌△BDF（SSS），
∴ ∠ADF=∠BDF=$\frac{1}{2}$∠ADB=30°，
∴ DE⊥AB，即∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴ AD=2AE。
【答案】
(1)DA//BC，证明成立；
(2)$AD=2AE$，证明成立。
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是图形旋转章节的典型基础题，解题核心是灵活运用旋转前后图形对应边相等、对应角相等的性质，结合等边三角形、全等三角形的判定和性质推导边角关系，解题逻辑清晰，考察的知识点较为基础。
【难度系数】
0.7
