如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α,得到△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,且点A,B,E在同一条直线上.
(1)求证:DA平分∠BDE;
(2)若AC⊥DE,求旋转角α的度数.

(1)如图,由旋转的性质,得∠1 = ∠B,AD=AB.
∴ ∠2=∠B.
∴ ∠1=∠2.
∴ DA平分∠BDE.

(2)如图,设AC与DE交于点O.
由旋转的性质,得AB = AD, ∠3 = ∠4 = α,∠C=∠E.
∵ AC⊥DE,
∴ ∠AOE=90°.
∴ ∠C=∠E=90°-∠3=90°-α.
∵ AB=AD,
∴ ∠2=∠B=$\frac{180°-∠4}{2}$=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α.
∵ ∠3 = ∠B+∠C,
∴ α=90°-$\frac{1}{2}$α+90°-α.
解得 α=72°.
∴ 旋转角α的度数为72°.

【分析】
(1) 要证明DA平分∠BDE，本质是证明∠ADE=∠ADB。首先结合旋转的性质，可得旋转后对应角∠ADE=∠B，对应边AD=AB；再利用等腰三角形等边对等角的性质，可推出∠ADB=∠B，通过等量代换即可得到∠ADE=∠ADB，完成证明。
(2) 求旋转角α的度数，首先根据旋转性质确定等量关系：AB=AD，旋转角∠EAC=∠BAD=α，对应角∠C=∠E；结合AC⊥DE的条件，可得∠AOE=90°，在Rt△AOE中可表示出∠E=90°-α，即∠C=90°-α；再根据等腰△ABD的内角和关系，表示出底角∠B=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α；最后利用三角形外角的性质，∠EAC是△ABC的外角，满足∠EAC=∠B+∠C，将上述含α的表达式代入列方程，求解即可得到α的度数。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质可知，△ABC旋转得到△ADE，因此∠1=∠B，AD=AB。
∵ AD=AB，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠2=∠B。
∴ ∠1=∠2，即DA平分∠BDE。
(2) 设AC与DE交于点O，
由旋转的性质可得：AB=AD，旋转角∠3=∠4=α，∠C=∠E。
∵ AC⊥DE，
∴ ∠AOE=90°，
在Rt△AOE中，∠E=90°-∠3=90°-α，因此∠C=∠E=90°-α。
∵ AB=AD，△ABD为等腰三角形，
∴ ∠2=∠B=$\frac{180°-∠4}{2}$=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α。
∵ 点E、A、B在同一直线上，∠3是△ABC的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠3=∠B+∠C。
代入对应表达式：
α= (90°-$\frac{1}{2}$α) + (90°-α)
整理得：α=180°-$\frac{3}{2}$α
移项合并得：$\frac{5}{2}$α=180°
解得：α=72°。
【答案】
(1) 已证DA平分∠BDE；
(2) 旋转角α的度数为72°。

【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题围绕图形旋转的性质展开，结合等腰三角形、直角三角形、三角形外角的相关知识进行考查，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，通过角的等量关系建立方程求解，是几何部分常见的基础综合题型。
【难度系数】
0.6

1. 下面图形不能通过旋转变换得到的是（）

1.C

【分析】
要判断图形能否通过旋转变换得到，首先明确旋转变换的核心特征：将一个基本图形绕某一固定点（旋转中心）转动一定角度后，能与其他部分完全重合，旋转前后图形的形状、大小完全不变，对应点到旋转中心的距离相等。解题时我们只需逐一观察每个选项，判断是否存在一个基本图形，绕中心旋转若干个相同角度后可组成完整图案即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：图案可看作以1个卷草纹样为基本图形，绕中心依次旋转30°（360°÷12）得到，符合旋转变换的特征；
选项B：图案可看作以1个花瓣为基本图形，绕中心依次旋转45°（360°÷8）得到，符合旋转变换的特征；
选项C：观察图案，上下两部分结构不同，上半部分为开口向下的弧形，下半部分为带尖的开口向上的V形，绕中心旋转任意非360°的角度后，均无法与原图案重合，仅能通过轴对称变换得到，无法通过旋转变换得到；
选项D：图案可看作以1个弯形纹样为基本图形，绕中心依次旋转60°（360°÷6）得到，符合旋转变换的特征。
综上，不能通过旋转变换得到的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
旋转变换的性质；旋转对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是抓住旋转变换的本质，注意区分旋转变换和轴对称变换的差异，判断时可尝试想象基本图形绕中心旋转后的形态，若存在部分图案旋转后无法与原图案对应，则不符合旋转变换的要求。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$△ ABC$绕点A逆时针旋转后得到$△ AB'C'$，若$∠ BAC' = 130°$，$∠ BAC = 80°$，则旋转角的度数为。

第2题图 第3题图

2.50°

【分析】
解题时首先回忆旋转的相关性质：旋转前后的图形全等，对应角相等，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，本题中∠CAC'或∠BAB'都是旋转角。首先根据旋转性质得到对应角∠B'AC'=∠BAC=80°，再结合已知的∠BAC'=130°，利用角的和差关系即可求出旋转角的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转后得到△AB'C'，
∴旋转角为∠CAC'（或∠BAB'），且旋转前后对应角相等，即$∠ B'AC'=∠ BAC=80°$。
又
∵$∠ BAC'=130°$，
∴旋转角$∠ CAC'=∠ BAC'-∠ B'AC'=130°-80°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 角的和差计算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是明确旋转前后对应角相等、旋转角的定义，只要熟练掌握旋转的基础概念就可以快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=67°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转后,得到$△ AB'C'$,且点$C'$在边$BC$上,则$∠ B'C'B$的度数为（）

A.$56°$
B.$50°$
C.$46°$
D.$40°$

3.C

【分析】
遇到图形旋转的角度计算问题，首先回忆旋转的核心性质：旋转前后对应边相等、对应角相等。本题中，首先由△ABC旋转得到△AB'C'，可得出AC=AC'，∠AC'B'=∠C=67°；再结合点C'在BC上，可知△ACC'是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可得∠AC'C=∠C=67°；最后利用平角为180°的性质，用平角减去已知的两个角的度数，即可求出∠B'C'B的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'
∴AC=AC'，∠AC'B'=∠C=67°
∵点C'在边BC上
∴△ACC'为等腰三角形，∠AC'C=∠C=67°
∵B、C'、C三点共线，平角为180°
∴∠B'C'B=180° - ∠AC'C - ∠AC'B' = 180° - 67° - 67° = 46°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平角的定义
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边、对应角相等的特征，结合等腰三角形和平角的性质即可快速求解，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7

4.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC绕点A逆时针旋转到△AEF的位置
(点A,B,E在同一条直线上),连接CF,则CF=.

4.$5\sqrt{2}$

【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先根据矩形的边长，用勾股定理求出对角线AC的长度；再利用旋转的性质得到对应边AF=AC，同时结合旋转角和矩形内角的关系，推导出∠CAF为直角，得到△CAF是等腰直角三角形，最后再次用勾股定理计算CF的长度即可。
【解析】
在矩形ABCD中，∠ADC=90°，已知AD=4，DC=3，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵△ADC绕点A逆时针旋转得到△AEF
∴$AF=AC=5$，且$∠ EAF=∠ DAC$
∵矩形ABCD中$∠ BAD=90°$，即$∠ DAC+∠ BAC=90°$
∴$∠ EAF+∠ BAC=90°$，即$∠ CAF=90°$
∴△CAF为等腰直角三角形，在Rt△CAF中：
$CF=\sqrt{AC^2+AF^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将旋转、矩形和勾股定理的知识点结合考查，解题的核心是通过旋转角的等量关系推导出△CAF是等腰直角三角形，熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7