9. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是边AB上一点(点D不与点A,B重合),连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.

9.(1)由旋转可知 CD = CE, ∠DCE = 90°,
∴ ∠DCB+∠BCE = 90°.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACD+∠DCB = 90°.
∴ ∠ACD = ∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE.
(2)由(1)知△ACD≌△BCE,
∴ ∠CAD = ∠CBE, AD = BE.
∵ ∠ACB = 90°,AC = BC,
∴ ∠CAD = 45°.
∴ ∠CBE = ∠CAD = 45°.
∵ AD = BF,
∴ BF = BE.
∴ ∠BEF = ∠BFE = $\frac{180°-∠CBE}{2}$ = 67.5°.

【分析】
(1) 要证明△ACD≌△BCE，先利用旋转的性质得到CD=CE、∠DCE=90°，结合已知∠ACB=90°，通过同角的余角相等推出∠ACD=∠BCE，再结合AC=BC的已知条件，即可用SAS判定定理证明两三角形全等。
(2) 求∠BEF的度数时，先由(1)的全等结论得到AD=BE、∠CBE=∠A，结合△ABC是等腰直角三角形可得∠A=45°，即∠CBE=45°；再根据AD=BF代换得到BE=BF，可知△BEF为等腰三角形，最后利用三角形内角和即可计算出底角∠BEF的度数。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知：$CD = CE$，$∠ DCE = 90°$，
∴ $∠ DCB+∠ BCE = 90°$，
∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ ACD+∠ DCB = 90°$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCE$，
在△ACD和△BCE中：
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ ACD=∠ BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ $△ ACD≌△ BCE$（SAS）。
(2) 由(1)中$△ ACD≌△ BCE$可得：$∠ CAD = ∠ CBE$，$AD = BE$，
∵ $∠ ACB = 90°$，$AC = BC$，
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ CAD = 45°$，
∴ $∠ CBE = ∠ CAD = 45°$，
又
∵ $AD = BF$，
∴ $BF = BE$，
∴ $△ BEF$是等腰三角形，$∠ BEF = ∠ BFE$，
∴ $∠ BEF = \frac{180°-∠ CBE}{2} = \frac{180°-45°}{2} = 67.5°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{67.5°}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了旋转、全等三角形、等腰三角形的相关知识，解题的关键是从旋转的性质中挖掘出全等所需的相等边和角，再通过等量代换得到等腰三角形的条件，进而求解角度，属于几何常规综合题。
【难度系数】
0.7

10. 将一副直角三角尺按如图①所示的方式放置(其中$∠ D=45°$, $∠ C=30°$),$PA$,$PB$与直线$MN$重合.
(1)在图①中,求出$∠ DPC$的度数;
(2)如图②,若三角尺$PBD$保持不动,三角尺$PAC$绕点$P$逆时针旋转,转速为$15(°)/s$,转动一周后停止转动,在旋转的过程中,当旋转时间为多少时,$BD// PC$?

10.(1)∠DPC=75°.
(2)①如图,此时BD//PC.

∵ BD//PC, ∠DBP=90°,
∴ ∠CPN=∠DBP=90°.
∵ ∠C=30°,
∴ ∠CPA=60°.
∴ ∠APN=30°.
∵ 转速为15(°)/s,
∴ 旋转时间为30÷15=2(s).
②如图,此时BD//PC.

∵ BD//PC, ∠DBP=90°,
∴ ∠CPB=∠DBP=90°.
∵ ∠C=30°,
∴ ∠CPA=60°.
∴ ∠APM=30°.
∴ 三角尺PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°=210°.
∵ 转速为15(°)/s,
∴ 旋转时间为210°÷15°=14(s).
综上所述,当旋转时间为2 s或14 s时,BD//PC.

【分析】
(1) 求∠DPC的度数时，先根据直角三角尺的固有内角，得出∠DPB和∠CPA的度数，再结合平角为180°的性质，用平角减去两个已知角的度数即可得到结果。
(2) 要使$BD// PC$，结合$BD⊥ MN$的特征，需分两种情况讨论：①PC在直线MN上方与BD平行；②PC在直线MN下方与BD平行。分别计算两种情况下三角尺PAC的旋转角度，再除以转速即可得到对应的旋转时间，注意旋转一周（360°）后停止，需验证角度是否符合要求。
【解析】
(1) 根据三角尺的角度特性：
在等腰直角三角尺$PBD$中，$∠ D=45°$，$∠ DBP=90°$，因此$∠ DPB=180°-90°-45°=45°$；
在含30°角的直角三角尺$PAC$中，$∠ C=30°$，$∠ CAP=90°$，因此$∠ CPA=180°-90°-30°=60°$；
∵点B、P、A在直线MN上，$∠ DPB+∠ DPC+∠ CPA=180°$，
∴$∠ DPC=180°-45°-60°=75°$。
(2) 分两种情况讨论：
① 如图，此时$BD// PC$：
∵$BD⊥ MN$，
∴$∠ DBP=90°$，
∵$BD// PC$，
∴$∠ CPN=∠ DBP=90°$（两直线平行，同位角相等），
又
∵$∠ CPA=60°$，
∴$∠ APN=∠ CPN-∠ CPA=90°-60°=30°$，即三角尺PAC逆时针旋转了30°，
∵转速为$15°/\mathrm{s}$，
∴旋转时间$t_1=30°÷15°/\mathrm{s}=2\ \mathrm{s}$。
② 如图，此时$BD// PC$：
∵$BD⊥ MN$，
∴$∠ DBP=90°$，
∵$BD// PC$，
∴$∠ CPB=∠ DBP=90°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ CPA=60°$，
∴$∠ APM=180°-∠ CPB-∠ CPA=180°-90°-60°=30°$，
此时三角尺PAC逆时针旋转的角度为$180°+30°=210°$，$210°＜360°$，符合旋转要求，
∴旋转时间$t_2=210°÷15°/\mathrm{s}=14\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DPC=75°}$
(2) 当旋转时间为$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{14\ \mathrm{s}}$时，$BD// PC$。
①如图，此时$BD// PC$；
②如图，此时$BD// PC$。
【知识点】
平行线的性质，旋转的性质，角度计算
【点评】
本题结合直角三角尺的固定角度，考查了静态角度计算和动态旋转下的平行判定问题，解题时要注意分类讨论PC的不同位置，避免漏解，能有效锻炼动态几何问题的分析能力。
【难度系数】
0.6