在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAB=α(0°＜α＜45°)$，将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转，旋转角为$β(α＜β＜180°)$，记点$B,C$的对应点分别为点$D,E$.
(1)若$△ ABC$和线段$AD$如图所示,请在图中作出$△ ADE$(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)$M$是$AB$的中点,$N$是点$M$旋转后的对应点,连接$MN,CD,BD$,是否存在$β$与$α$的某种数量关系,使得无论$α$取何值时,都有$MN=CD$?若存在,请说明理由,并直接写出此时$BC$与$BD$的数量关系;若不存在,请说明理由.

(1)如图，△ADE即为所求。
(2)当$β=2α$时,$MN=CD$.
理由:如图。
∵ $β=2α$,
∴ $∠ BAC=∠ DAC$.
∵ $AB=AD,AC=AC$,
∴ $△ ACB≌△ ACD$.
∴ $∠ ACB=∠ ACD=90°,CB=CD$.
∴ $∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=180°$.
∴ $B,C,D$三点共线.
∵ $M$是$AB$的中点,
∴ $AM=MB$.
由旋转知,$AN=ND$.
∴ $MN$是$△ ABD$的中位线.
∴ $MN=\frac{1}{2}BD=CD$,此时 $BD=2BC$.

【分析】
(1) 第一问是旋转类尺规作图，依据旋转的性质：旋转前后对应角相等、对应边相等，只需先作∠DAE=∠CAB，再截取AE=AC，最后连接DE即可得到△ADE。
(2) 第二问要探究MN=CD时β和α的数量关系，首先结合旋转性质可得AB=AD、AM=AN，已知M是AB中点，可推出N是AD中点，即MN是△ABD的中位线，因此MN=½BD，要使MN=CD，只需CD=½BD，再通过全等三角形的判定推导角的关系，即可得到β与α的数量关系，进一步得到BC和BD的数量关系。
【解析】
(1) 按尺规作图要求，以A为顶点作∠DAE=∠CAB，在角的边上截取AE=AC，连接DE，保留作图痕迹即可得到△ADE。
(2) 存在β=2α使得MN=CD，理由如下：
如图
∵ β=2α，
∴ ∠BAC=∠DAC=α，
∵ AB=AD，AC=AC，
∴ △ACB≌△ACD（SAS），
∴ ∠ACB=∠ACD=90°，CB=CD，
∴ ∠BCD=∠ACB+∠ACD=180°，即B、C、D三点共线。
∵ M是AB的中点，N是M旋转后的对应点，
∴ AM=AN，又AB=AD，AM=½AB，
∴ AN=½AD，即N是AD中点，
∴ MN是△ABD的中位线，
∴ MN=½BD=CD，此时BD=BC+CD=2BC。
【答案】
(1) 如图，△ADE即为所求。
(2) 当β=2α时，MN=CD，此时BD=2BC。
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图、旋转性质、全等三角形和中位线的相关知识，既锻炼动手操作能力，又考查逻辑推导能力，需要结合已知条件寻找边角的等量关系，逐步推导得到结论。
【难度系数】
0.6