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已知$\odot O$及$\odot O$外一点$P$,求作直线$PM$,使$PM$与$\odot O$相切于点$M$.
作法:如图.
①连接$OP$交$\odot O$于点$B$,延长$BO$交$\odot O$于点$C$;
②以点$O$为圆心,$BC$长为半径在$CP$上方画弧;
③以点$P$为圆心,$OP$长为半径画弧,与前弧交于点$D$;
④连接$OD$,交$\odot O$于点$M$;
⑤作直线$PM$.
则直线$PM$即为所求.
证明:如图,连接$PD$.
根据题意,得$OD=BC$,$BC=2OB$,$OB=OM$,$PO=PD$.
$\therefore OD=2OM$.
$\therefore OM=MD$.
$\therefore PM ⊥ OM$. (依据1:
又 $OM$为$\odot O$的半径,
$\therefore$ 直线$PM$是$\odot O$的切线. (依据2:
作法:如图.
①连接$OP$交$\odot O$于点$B$,延长$BO$交$\odot O$于点$C$;
②以点$O$为圆心,$BC$长为半径在$CP$上方画弧;
③以点$P$为圆心,$OP$长为半径画弧,与前弧交于点$D$;
④连接$OD$,交$\odot O$于点$M$;
⑤作直线$PM$.
则直线$PM$即为所求.
证明:如图,连接$PD$.
根据题意,得$OD=BC$,$BC=2OB$,$OB=OM$,$PO=PD$.
$\therefore OD=2OM$.
$\therefore OM=MD$.
$\therefore PM ⊥ OM$. (依据1:
等腰三角形的“三线合一”
)又 $OM$为$\odot O$的半径,
$\therefore$ 直线$PM$是$\odot O$的切线. (依据2:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
)答案
等腰三角形的“三线合一” 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解析
【分析】
本题为几何证明依据填空题，解题时需结合已知推导过程匹配对应的几何定理：首先观察推导$PM⊥OM$的条件，已知$PO=PD$可得$△ POD$是等腰三角形，又证得$OM=MD$，即$PM$是等腰三角形底边$OD$上的中线，结合等腰三角形的性质即可找到对应依据；再看切线判定的推导，已知$OM$是半径且$PM⊥OM$，结合切线的判定定理即可得到第二个依据。
【解析】
1. 分析依据1：由题意得$PO=PD$，因此$△ POD$是等腰三角形，又已证$OM=MD$，即$PM$是等腰$△ POD$底边$OD$上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$PM⊥OD$，即$PM⊥OM$，因此依据1为等腰三角形的“三线合一”。
2. 分析依据2：$OM$是$\odot O$的半径，即$M$是半径$OM$的外端，且已证$PM⊥OM$，根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得直线$PM$是$\odot O$的切线，因此依据2为该判定定理。
【答案】
等腰三角形的“三线合一” 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
等腰三角形性质，切线的判定定理
【点评】
本题结合尺规作切线的过程，考查了基础几何定理的应用，要求学生能根据推导过程的条件匹配对应的定理，侧重对基础概念的理解和掌握。
【难度系数】
0.85
本题为几何证明依据填空题，解题时需结合已知推导过程匹配对应的几何定理：首先观察推导$PM⊥OM$的条件，已知$PO=PD$可得$△ POD$是等腰三角形，又证得$OM=MD$，即$PM$是等腰三角形底边$OD$上的中线，结合等腰三角形的性质即可找到对应依据；再看切线判定的推导，已知$OM$是半径且$PM⊥OM$，结合切线的判定定理即可得到第二个依据。
【解析】
1. 分析依据1：由题意得$PO=PD$，因此$△ POD$是等腰三角形，又已证$OM=MD$，即$PM$是等腰$△ POD$底边$OD$上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$PM⊥OD$，即$PM⊥OM$，因此依据1为等腰三角形的“三线合一”。
2. 分析依据2：$OM$是$\odot O$的半径，即$M$是半径$OM$的外端，且已证$PM⊥OM$，根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得直线$PM$是$\odot O$的切线，因此依据2为该判定定理。
【答案】
等腰三角形的“三线合一” 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
等腰三角形性质，切线的判定定理
【点评】
本题结合尺规作切线的过程，考查了基础几何定理的应用，要求学生能根据推导过程的条件匹配对应的定理，侧重对基础概念的理解和掌握。
【难度系数】
0.85
1. 如图,已知$\odot O$及$\odot O$外一点$P$.
(1)按要求完成作图步骤并准确标注字母.
尺规作图:连接$OP$,作出线段$OP$的垂直平分线交$OP$于点$A$;以点$A$为圆心,$AP$为半径作$\odot A$,$\odot A$与$\odot O$交于点$B$(点$B$位于直线$OP$上侧),连接$PB$.
(2)请问(1)中作图得到的$PB$是$\odot O$的切线吗?若是,请说明理由.
(3)设(1)中所作垂直平分线交$BP$于点$C$,若$\odot O$的半径为$3$,$CP=5$,求$OP$的长.
(1)按要求完成作图步骤并准确标注字母.
尺规作图:连接$OP$,作出线段$OP$的垂直平分线交$OP$于点$A$;以点$A$为圆心,$AP$为半径作$\odot A$,$\odot A$与$\odot O$交于点$B$(点$B$位于直线$OP$上侧),连接$PB$.
(2)请问(1)中作图得到的$PB$是$\odot O$的切线吗?若是,请说明理由.
(3)设(1)中所作垂直平分线交$BP$于点$C$,若$\odot O$的半径为$3$,$CP=5$,求$OP$的长.
答案
(1)如图即为所求.
(2)$PB$是$\odot O$的切线.
理由:如图,连接$OB$.
$\because$ $OP$是$\odot A$的直径,
$\therefore$ $∠ OBP=90°$,
即 $PB ⊥ OB$.
又 $OB$ 是$\odot O$的半径,
$\therefore$ $PB$ 是$\odot O$的切线.
(3)如图,连接$OC$.
$\because$ $AC$ 为 $OP$ 的垂直平分线,
$\therefore$ $OC=CP=5$.
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中,根据勾股定理,得
$BC=\sqrt{OC^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
$\therefore$ $BP=4+5=9$.
在 $\mathrm{Rt}△ BOP$ 中,根据勾股定理,得
$OP=\sqrt{BP^2+OB^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$.
解析
【分析】
(1) 作图题按照题干给出的步骤依次操作：首先连接OP，再用尺规作线段OP的垂直平分线，与OP的交点标记为A，接着以A为圆心、AP的长度为半径作圆，该圆与⊙O在直线OP上侧的交点标记为B，最后连接PB即可完成作图。
(2) 判断PB是否为⊙O的切线，依据切线判定定理，需要证明PB垂直于⊙O的半径OB。由作图可知OP是⊙A的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠OBP=90°，即可证明PB是切线。
(3) 求OP的长时，先利用线段垂直平分线的性质得到OC=CP=5，在Rt△BOC中用勾股定理求出BC的长度，进而得到BP的总长度，最后在Rt△BOP中再次运用勾股定理即可算出OP的长度。
【解析】
(1) 按照题干步骤作图，结果如下：
(2) PB是⊙O的切线，理由如下：
连接OB，
∵ OP是⊙A的直径，
∴ ∠OBP=90°，即PB⊥OB，
又
∵ OB是⊙O的半径，
∴ PB是⊙O的切线。
(3) 连接OC，
∵ AC为OP的垂直平分线，点C在AC上，
∴ OC=CP=5，
在Rt△BOC中，OB=3，OC=5，根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{OC^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴ BP=BC+CP=4+5=9，
在Rt△BOP中，OB=3，BP=9，根据勾股定理得：
$OP=\sqrt{BP^2+OB^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。
【答案】
(1)如图即为所求.
(2)$PB$是$\odot O$的切线，理由见解析；
(3)$OP$的长为$3\sqrt{10}$。
【知识点】
切线的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图、圆的性质、线段垂直平分线性质和勾股定理的应用，侧重考察几何推理能力和计算能力，解题的关键是合理作出辅助线，结合相关定理逐步推导。
【难度系数】
0.7
(1) 作图题按照题干给出的步骤依次操作：首先连接OP，再用尺规作线段OP的垂直平分线，与OP的交点标记为A，接着以A为圆心、AP的长度为半径作圆，该圆与⊙O在直线OP上侧的交点标记为B，最后连接PB即可完成作图。
(2) 判断PB是否为⊙O的切线，依据切线判定定理，需要证明PB垂直于⊙O的半径OB。由作图可知OP是⊙A的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠OBP=90°，即可证明PB是切线。
(3) 求OP的长时，先利用线段垂直平分线的性质得到OC=CP=5，在Rt△BOC中用勾股定理求出BC的长度，进而得到BP的总长度，最后在Rt△BOP中再次运用勾股定理即可算出OP的长度。
【解析】
(1) 按照题干步骤作图，结果如下：
(2) PB是⊙O的切线，理由如下：
连接OB，
∵ OP是⊙A的直径，
∴ ∠OBP=90°，即PB⊥OB，
又
∵ OB是⊙O的半径，
∴ PB是⊙O的切线。
(3) 连接OC，
∵ AC为OP的垂直平分线，点C在AC上，
∴ OC=CP=5，
在Rt△BOC中，OB=3，OC=5，根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{OC^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴ BP=BC+CP=4+5=9，
在Rt△BOP中，OB=3，BP=9，根据勾股定理得：
$OP=\sqrt{BP^2+OB^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。
【答案】
(1)如图即为所求.
(2)$PB$是$\odot O$的切线，理由见解析；
(3)$OP$的长为$3\sqrt{10}$。
【知识点】
切线的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图、圆的性质、线段垂直平分线性质和勾股定理的应用，侧重考察几何推理能力和计算能力，解题的关键是合理作出辅助线，结合相关定理逐步推导。
【难度系数】
0.7
