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例 如图,以线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于点A,B),过点P作半圆O的切线分别交过A,B两点的切线于点D,C,连接OC,BP,过点O作OM//CD分别交BC,BP于点M,N.下列结论:
①$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB· CD$;
②$AD=OB$;
③$AD=ON$;
④AB为过O,C,D三点的圆的切线.
其中正确的是.(填序号)
分析:如图,连接OD,AP.
∵ DA,DC,BC是$\odot O$的切线,切点分别是A,P,B,
∴ $DA=DP,CP=CB,∠ DAB=∠ CBA=∠ DPO=90°$.
∴ $AD+BC=DP+CP=CD,AD// BC,AB⊥ AD$.
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB$
$=\frac{1}{2}AB· CD$.
∴ ①正确.
∵ $∠ AOD=∠ POD,∠ OBP=∠ OPB$,且$∠ AOP=∠ OBP+∠ OPB$,
∴ $∠ AOD=∠ OBP$.
∴ $OD// BP$.
∵ $OM// CD$,
∴ 四边形ODPN是平行四边形.
∴ $AD=DP=ON＜OB$.
∴ ②错误,③正确.
∵ $∠ AOD=∠ POD,∠ BOC=∠ POC$,
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}×180°=90°$.
∴ $△ CDO$的外接圆的直径是CD.
取CD的中点Q,连接OQ.
易证$AD// OQ// BC$.
∴ $∠ AOQ=∠ OBC$.
∵ $∠ OBC=90°$,
∴ $∠ AOQ=90°$.
∴ ④正确.
答案:①③④
方法点拨 灵活应用切线长定理、切线的判定等.
①$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB· CD$;
②$AD=OB$;
③$AD=ON$;
④AB为过O,C,D三点的圆的切线.
其中正确的是.(填序号)
分析:如图,连接OD,AP.
∵ DA,DC,BC是$\odot O$的切线,切点分别是A,P,B,
∴ $DA=DP,CP=CB,∠ DAB=∠ CBA=∠ DPO=90°$.
∴ $AD+BC=DP+CP=CD,AD// BC,AB⊥ AD$.
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB$
$=\frac{1}{2}AB· CD$.
∴ ①正确.
∵ $∠ AOD=∠ POD,∠ OBP=∠ OPB$,且$∠ AOP=∠ OBP+∠ OPB$,
∴ $∠ AOD=∠ OBP$.
∴ $OD// BP$.
∵ $OM// CD$,
∴ 四边形ODPN是平行四边形.
∴ $AD=DP=ON＜OB$.
∴ ②错误,③正确.
∵ $∠ AOD=∠ POD,∠ BOC=∠ POC$,
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}×180°=90°$.
∴ $△ CDO$的外接圆的直径是CD.
取CD的中点Q,连接OQ.
易证$AD// OQ// BC$.
∴ $∠ AOQ=∠ OBC$.
∵ $∠ OBC=90°$,
∴ $∠ AOQ=90°$.
∴ ④正确.
答案:①③④
方法点拨 灵活应用切线长定理、切线的判定等.
答案
解：连接OD，AP。
∵ DA，DC，BC是$\odot O$的切线，切点分别是A，P，B，
∴ $DA=DP$，$CP=CB$，$∠ DAB=∠ CBA=∠ DPO=90°$。
∴ $AD+BC=DP+CP=CD$，$AD// BC$，$AB⊥ AD$。
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB=\frac{1}{2}AB· CD$，故①正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ OBP=∠ OPB$，且$∠ AOP=∠ OBP+∠ OPB$，
∴ $∠ AOD=∠ OBP$，
∴ $OD// BP$。
又∵ $OM// CD$，
∴ 四边形ODPN是平行四边形，
∴ $AD=DP=ON＜OB$，故②错误，③正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ BOC=∠ POC$，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $△ CDO$的外接圆的直径是CD。
取CD的中点Q，连接OQ，易证$AD// OQ// BC$，
∴ $∠ AOQ=∠ OBC$。
∵ $∠ OBC=90°$，
∴ $∠ AOQ=90°$，即$OQ⊥ AB$，
又Q是过O，C，D三点的圆的圆心，OQ为该圆半径，
∴ AB为过O，C，D三点的圆的切线，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③④}$。
∵ DA，DC，BC是$\odot O$的切线，切点分别是A，P，B，
∴ $DA=DP$，$CP=CB$，$∠ DAB=∠ CBA=∠ DPO=90°$。
∴ $AD+BC=DP+CP=CD$，$AD// BC$，$AB⊥ AD$。
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB=\frac{1}{2}AB· CD$，故①正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ OBP=∠ OPB$，且$∠ AOP=∠ OBP+∠ OPB$，
∴ $∠ AOD=∠ OBP$，
∴ $OD// BP$。
又∵ $OM// CD$，
∴ 四边形ODPN是平行四边形，
∴ $AD=DP=ON＜OB$，故②错误，③正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ BOC=∠ POC$，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $△ CDO$的外接圆的直径是CD。
取CD的中点Q，连接OQ，易证$AD// OQ// BC$，
∴ $∠ AOQ=∠ OBC$。
∵ $∠ OBC=90°$，
∴ $∠ AOQ=90°$，即$OQ⊥ AB$，
又Q是过O，C，D三点的圆的圆心，OQ为该圆半径，
∴ AB为过O，C，D三点的圆的切线，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③④}$。
解析
【分析】
本题为圆与四边形结合的综合题，可逐个分析结论：①首先可判断四边形ABCD是直角梯形，结合切线长定理推导得AD+BC=CD，代入直角梯形面积公式即可验证结论；②③连接OD、AP，通过角的等量关系证明OD//BP，结合已知OM//CD，可判定四边形ODPN是平行四边形，再利用平行四边形性质与切线长定理推导AD与ON、OB的数量关系，即可判断结论正误；④先推导得∠DOC=90°，可知过O、C、D三点的圆的直径为CD，取CD中点为圆心，证明圆心与O的连线垂直AB且等于半径，结合切线判定定理即可验证结论。
【解析】
连接OD，AP。
∵ DA，DC，BC是$\odot O$的切线，切点分别是A，P，B，
∴ $DA=DP$，$CP=CB$，$∠ DAB=∠ CBA=∠ DPO=90°$。
∴ $AD+BC=DP+CP=CD$，$AD// BC$，$AB⊥ AD$。
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB=\frac{1}{2}AB· CD$，故①正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ OBP=∠ OPB$，且$∠ AOP=∠ OBP+∠ OPB$，
∴ $∠ AOD=∠ OBP$，
∴ $OD// BP$。
又
∵ $OM// CD$，
∴ 四边形ODPN是平行四边形，
∴ $AD=DP=ON＜OB$，故②错误，③正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ BOC=∠ POC$，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $△ CDO$的外接圆的直径是CD。
取CD的中点Q，连接OQ，易证$AD// OQ// BC$，
∴ $∠ AOQ=∠ OBC$。
∵ $∠ OBC=90°$，
∴ $∠ AOQ=90°$，即$OQ⊥ AB$，
又Q是过O，C，D三点的圆的圆心，OQ为该圆半径，
∴ AB为过O，C，D三点的圆的切线，故④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③④}$
【知识点】
切线长定理；切线的判定；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与四边形知识，需要熟练掌握切线长定理、切线判定定理，通过作辅助线构造角、线段的等量关系推导结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题为圆与四边形结合的综合题，可逐个分析结论：①首先可判断四边形ABCD是直角梯形，结合切线长定理推导得AD+BC=CD，代入直角梯形面积公式即可验证结论；②③连接OD、AP，通过角的等量关系证明OD//BP，结合已知OM//CD，可判定四边形ODPN是平行四边形，再利用平行四边形性质与切线长定理推导AD与ON、OB的数量关系，即可判断结论正误；④先推导得∠DOC=90°，可知过O、C、D三点的圆的直径为CD，取CD中点为圆心，证明圆心与O的连线垂直AB且等于半径，结合切线判定定理即可验证结论。
【解析】
连接OD，AP。
∵ DA，DC，BC是$\odot O$的切线，切点分别是A，P，B，
∴ $DA=DP$，$CP=CB$，$∠ DAB=∠ CBA=∠ DPO=90°$。
∴ $AD+BC=DP+CP=CD$，$AD// BC$，$AB⊥ AD$。
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB=\frac{1}{2}AB· CD$，故①正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ OBP=∠ OPB$，且$∠ AOP=∠ OBP+∠ OPB$，
∴ $∠ AOD=∠ OBP$，
∴ $OD// BP$。
又
∵ $OM// CD$，
∴ 四边形ODPN是平行四边形，
∴ $AD=DP=ON＜OB$，故②错误，③正确。
∵ $∠ AOD=∠ POD$，$∠ BOC=∠ POC$，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $△ CDO$的外接圆的直径是CD。
取CD的中点Q，连接OQ，易证$AD// OQ// BC$，
∴ $∠ AOQ=∠ OBC$。
∵ $∠ OBC=90°$，
∴ $∠ AOQ=90°$，即$OQ⊥ AB$，
又Q是过O，C，D三点的圆的圆心，OQ为该圆半径，
∴ AB为过O，C，D三点的圆的切线，故④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③④}$
【知识点】
切线长定理；切线的判定；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与四边形知识，需要熟练掌握切线长定理、切线判定定理，通过作辅助线构造角、线段的等量关系推导结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
