要测量马克杯的口径，我们采用下面的方式：如图，刻度尺和三角尺成直角放置，三角尺垂直于刻度尺的一边且经过刻度尺的零刻度线，相交点为M，将杯口靠紧三角尺和刻度尺，找到杯口与刻度尺的接触点N，从刻度尺上读出MN的长度，MN的2倍即为杯口的直径。你知道这种测量方法的数学道理吗？

解：设杯口所在圆的圆心为O，杯口与三角尺竖直边的切点为P，连接OP、ON、OM。
由题意可知，刻度尺所在直线与三角尺经过零刻度的竖直边互相垂直，即∠PMN = 90°。
∵ MN、MP都是⊙O的切线，切点分别为N、P，
∴ 根据切线长定理，得 MN = MP。
又∵ ON⊥MN，OP⊥MP，∠PMN = 90°，OP = ON，
∴ 四边形OMPN是正方形，
∴ MN = ON。
∵ ON是⊙O的半径，
∴ ⊙O的直径为2ON = 2MN，
即杯口的口径等于MN长度的2倍。

【分析】
首先将杯口看作一个圆，测量时刻度尺、三角尺的竖直边是该圆的两条互相垂直的切线，交点为M。解决圆的切线相关问题时，常规思路是连接圆心与切点，利用切线垂直于过切点的半径的性质分析；接下来结合从同一点M引出的两条切线，可应用切线长定理得到两条切线长相等；再结合已知的直角、半径相等的条件，可判断由圆心、两个切点、点M构成的四边形是正方形，进而得到MN和圆半径的等量关系，最终推导出直径与MN的数量关系。
【解析】
设杯口所在圆的圆心为O，杯口与三角尺竖直边的切点为P，连接OP、ON、OM。
由题意可知，刻度尺所在直线与三角尺经过零刻度的竖直边互相垂直，即∠PMN = 90°。
∵ MN、MP都是⊙O的切线，切点分别为N、P，
∴ 根据切线长定理，得 MN = MP。
又
∵ ON⊥MN，OP⊥MP，∠PMN = 90°，OP = ON，
∴ 四边形OMPN是正方形，
∴ MN = ON。
∵ ON是⊙O的半径，
∴ ⊙O的直径为2ON = 2MN，
即杯口的口径等于MN长度的2倍。
【答案】
该测量方法利用了切线长定理和正方形的判定与性质，可证得MN的长度等于杯口所在圆的半径，因此杯口的口径为MN长度的2倍。
【知识点】
切线长定理、切线的性质、正方形的判定与性质
【点评】
本题将几何知识与实际测量场景结合，考查了圆的切线相关定理和正方形性质的应用，体现了数学知识在生活中的实用价值，需要学生掌握将实际问题转化为几何模型的思考方法。
【难度系数】
0.7

知识点2）切线长定理
1. 切线长的定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间,叫作这点到圆的切线长.
2. 切线长定理:从圆外一点引圆的,它们的,并且这一点和圆心的连线.
符号语言:
如图,∵ PA,PB是$\odot O$的两条切线,
∴ $PA=PB$,$PO$平分$∠ APB$.

1. 线段的长
2. 两条切线 切线长相等 平分两条切线的夹角

【分析】
本题考查切线长的定义与切线长定理的基础内容，属于概念记忆类题目。解题时首先回忆相关概念：①切线是无限延伸的直线，不可度量，因此切线长特指圆外一点到切点的线段的长度；②结合图中给出的符号语言（$PA=PB$，$PO$平分$∠ APB$）对应切线长定理的内容，逐一匹配填空即可。
【解析】
1. 根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长，因此第一空填“线段的长”。
2. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。结合给出的符号语言“$PA=PB$，$PO$平分$∠ APB$”也可验证对应内容，因此依次填入对应内容即可。
【答案】
1. 线段的长
2. 两条切线；切线长相等；平分两条切线的夹角
【知识点】
1. 切线长的定义 2. 切线长定理
【点评】
本题是对切线长相关基础概念、定理的直接考查，属于基础类题目，准确记忆相关内容即可正确作答，相关定理是后续解决切线类几何综合题的基础。
【难度系数】
0.9