8. 如图,四边形ABCO的顶点A,B,C在$\odot O$上,$∠ BAO=∠ BCO$,直径BE与弦AC相交于点F,D是EB延长线上的一点,$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ AOB$.
求证:CD是$\odot O$的切线.

8. 如图,连接 AE.
$\because ∠ BCD= \frac{1}{2} ∠ AOB, ∠ E= \frac{1}{2} ∠ AOB,$
$\therefore ∠ BCD= ∠ E.$
$\because OA=OE,$
$\therefore ∠ OAE= ∠ E.$
$\therefore ∠ OAE= ∠ BCD.$
$\because BE$ 是$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ BAE=90°,$即$∠ BAO+ ∠ OAE=90°.$
$\because ∠ BAO= ∠ BCO,$
$\therefore ∠ BCO+ ∠ BCD=90°,$即$∠ OCD=90°.$
$\therefore OC ⊥ CD.$
$\because OC$ 为$\odot O$ 的半径,
$\therefore CD$ 是$\odot O$ 的切线.

【分析】
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$。首先结合已知条件$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ AOB$，回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此可连接AE，得到$∠ E=\frac{1}{2}∠ AOB$，实现角的等量代换；再利用直径的性质，可得直径所对的圆周角$∠ BAE=90°$，结合题目给出的$∠ BAO=∠ BCO$进行角的代换，最终推导得出$∠ OCD=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接AE.
$\because ∠ BCD= \frac{1}{2} ∠ AOB$，$∠ E= \frac{1}{2} ∠ AOB$（同弧AB所对的圆周角是圆心角的一半），
$\therefore ∠ BCD= ∠ E$.
$\because OA=OE$（同圆的半径相等），
$\therefore ∠ OAE= ∠ E$.
$\therefore ∠ OAE= ∠ BCD$.
$\because BE$ 是$\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ BAE=90°$，即$∠ BAO+ ∠ OAE=90°$.
$\because ∠ BAO= ∠ BCO$，
$\therefore ∠ BCO+ ∠ BCD=90°$，即$∠ OCD=90°$.
$\therefore OC ⊥ CD$.
$\because OC$ 为$\odot O$ 的半径，
$\therefore CD$是$\odot O$的切线.
【答案】
如图,连接 AE.
$\because ∠ BCD= \frac{1}{2} ∠ AOB, ∠ E= \frac{1}{2} ∠ AOB,$
$\therefore ∠ BCD= ∠ E.$
$\because OA=OE,$
$\therefore ∠ OAE= ∠ E.$
$\therefore ∠ OAE= ∠ BCD.$
$\because BE$ 是$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ BAE=90°,$即$∠ BAO+ ∠ OAE=90°.$
$\because ∠ BAO= ∠ BCO,$
$\therefore ∠ BCO+ ∠ BCD=90°,$即$∠ OCD=90°.$
$\therefore OC ⊥ CD.$
$\because OC$ 为$\odot O$ 的半径,
$\therefore CD$ 是$\odot O$ 的切线.
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，切线的判定
【点评】
本题是圆证明类的典型基础题，解题核心是通过构造辅助线AE，结合圆的基本性质完成角的等量代换，最终推导出半径与直线垂直，符合切线判定的条件，解题时要熟练掌握切线判定的常规思路。
【难度系数】
0.7

9. 如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AB$是$\odot O$的直径.
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点$C$作$\odot O$的切线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的切线交$AB$的延长线于点$D$，当$AB=6$，$CD=2BD$时，求点$C$到直线$AB$的距离.

9. (1)如图,CM 即为所求.
(2)如图,过点 C 作 $CE ⊥ AB$ 于点 E.
$\because AB=6,$
$\therefore OB=OC=3.$
设 $BD=x$,则 $CD=2BD=2x,OD=3+x.$
$\because CD$ 是$\odot O$ 的切线,
$\therefore OC ⊥ CD,$即$∠ OCD=90°.$
$\therefore 3^2+(2x)^2=(3+x)^2.$
解得 $x_1=0$(舍去),$x_2=2.$
$\therefore CD=4,OD=5.$
$\because S_{△ OCD}= \frac{1}{2} · OC · CD= \frac{1}{2} · OD · CE,$
$\therefore CE= \frac{OC · CD}{OD}= \frac{3 × 4}{5}= \frac{12}{5},$
即点 C 到直线 AB 的距离为$\frac{12}{5}.$

【分析】
(1) 作过点C的⊙O切线，依据切线判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线，因此先连接半径OC，再过点C作OC的垂线，即可得到所求切线。(2) 求点C到AB的距离，先作CE⊥AB于E，CE即为所求距离。由AB是直径可得半径长度，结合切线性质得∠OCD=90°，设BD为x，用x表示CD、OD的长度，通过勾股定理列方程求出x的值，再利用△OCD的两种面积计算方式，即可求出CE的长度。
【解析】
(1) 连接OC，过点C作CM⊥OC，CM即为所求切线。
(2) 过点C作$CE ⊥ AB$于点E，CE的长度就是点C到直线AB的距离。
$\because AB=6$，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore OB=OC=\frac{1}{2}AB=3.$
设 $BD=x$，由$CD=2BD$得$CD=2x$，$OD=OB+BD=3+x.$
$\because CD$是$\odot O$ 的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
$\therefore OC ⊥ CD$，即$∠ OCD=90°.$
在$Rt△OCD$中，由勾股定理得：$OC^2+CD^2=OD^2$，
代入得 $3^2+(2x)^2=(3+x)^2.$
展开整理得：$9+4x^2=9+6x+x^2$，即$3x^2-6x=0$，
解得 $x_1=0$(不符合题意，舍去),$x_2=2.$
$\therefore CD=2×2=4,OD=3+2=5.$
$\because S_{△ OCD}= \frac{1}{2} · OC · CD= \frac{1}{2} · OD · CE,$
$\therefore CE= \frac{OC · CD}{OD}= \frac{3 × 4}{5}= \frac{12}{5}.$
【答案】
(1)如图,CM 即为所求.
(2)点C到直线AB的距离为$\frac{12}{5}$.
【知识点】
切线的判定与性质，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题包含尺规作图和几何计算两部分，作图考查切线判定定理的实际应用，计算部分综合了切线性质、勾股定理和等面积法，注重对基础几何定理的理解和运用，解题时合理设未知数、选择合适的方法求距离是关键。
【难度系数】
0.7

10. 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,点 $O$ 在 $AB$ 上,以点 $O$为圆心,$OB$ 长为半径的圆经过点 $D$,交 $BC$于点 $E$,交 $AB$ 于点 $F$.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线;
(2)若 $CE=2$,$CD=4$,求$\odot O$的半径长.

10. (1)如图,连接 OD.
$\because OD=OB,$
$\therefore ∠ ODB= ∠ OBD.$
$\because BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore ∠ OBD= ∠ DBC.$
$\therefore ∠ ODB= ∠ DBC.$
$\therefore OD // BC.$
$\therefore ∠ ODA= ∠ C=90°.$
$\therefore OD ⊥ AC.$
$\because OD$ 是$\odot O$ 的半径,
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线.
(2)$\odot O$ 的半径长为 5.

【分析】
(1)要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于$\odot O$过点D的半径，因此优先考虑连接辅助线OD。结合BD是角平分线、OD=OB的等腰三角形性质，可推出OD与BC平行，再由$∠ C=90°$得到OD⊥AC，即可完成证明。
(2)求$\odot O$的半径，可通过作辅助线OG⊥BC于G，利用垂径定理得到BG=GE，结合第一问结论易证四边形ODCG是矩形，得到OG=CD、CG=OD的线段关系；设半径为r，将Rt△OBG的三边用含r的代数式表示，再用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ OD和OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OB$，
∴ $∠ ODB=∠ OBD$（等边对等角）。
∵ BD是$△ ABC$的角平分线，
∴ $∠ OBD=∠ DBC$，
∴ $∠ ODB=∠ DBC$（等量代换），
∴ $OD// BC$（内错角相等，两直线平行），
∴ $∠ ODA=∠ C=90°$（两直线平行，同位角相等），即$OD⊥ AC$。
又
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ AC是$\odot O$的切线。
(2) 解：过点O作$OG⊥ BC$于点G。
由垂径定理可得$BG=GE$，且$∠ OGC=90°$。
∵ $∠ ODC=∠ C=∠ OGC=90°$，
∴ 四边形ODCG是矩形，
∴ $OG=CD=4$，$CG=OD$。
设$\odot O$的半径为r，则$OB=OD=CG=r$，
∴ $BG=CG-CE=r-2$。
在$Rt△ OBG$中，由勾股定理得$OB^2=OG^2+BG^2$，
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开整理得：$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
(1)如图,连接 OD.
$\because OD=OB,$
$\therefore ∠ ODB= ∠ OBD.$
$\because BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore ∠ OBD= ∠ DBC.$
$\therefore ∠ ODB= ∠ DBC.$
$\therefore OD // BC.$
$\therefore ∠ ODA= ∠ C=90°.$
$\therefore OD ⊥ AC.$
$\because OD$ 是$\odot O$ 的半径,
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线.
(2)$\odot O$ 的半径长为 5.
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，第一问是切线判定的常规考法，掌握“连半径、证垂直”的核心思路即可快速求解；第二问需要结合矩形性质、垂径定理转化线段长度，再通过勾股定理列方程计算，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7