登录
2. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别是A，B.如果$OP=4$，$\odot O$的半径是2，那么$∠ AOB$的度数为（
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
D
）A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质得到OA⊥PA、OB⊥PB，构造出两个直角三角形；再在Rt△OAP中，根据已知的OA和OP的长度，利用“直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°”求出∠APO的度数，进而得到∠AOP的度数；同理求出∠BOP的度数，将两个角相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
在Rt△OAP中，OA=2，OP=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=90°-∠APO=60°。
同理可得∠BOP=60°，
∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°+60°=120°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是圆的性质与直角三角形性质结合的基础题型，解题核心是利用切线的垂直特性构造直角三角形，再结合直角三角形的边角关系求解角度，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据切线的性质得到OA⊥PA、OB⊥PB，构造出两个直角三角形；再在Rt△OAP中，根据已知的OA和OP的长度，利用“直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°”求出∠APO的度数，进而得到∠AOP的度数；同理求出∠BOP的度数，将两个角相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
在Rt△OAP中，OA=2，OP=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=90°-∠APO=60°。
同理可得∠BOP=60°，
∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°+60°=120°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是圆的性质与直角三角形性质结合的基础题型，解题核心是利用切线的垂直特性构造直角三角形，再结合直角三角形的边角关系求解角度，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
3. 如图是用直尺、含$60°$角的直角三角尺和光盘摆放而成的，A为$60°$角的顶点，B为光盘与直尺唯一的交点.若$AB=3$，则光盘的直径是（
A.$6\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6$
D.$3$
A
）A.$6\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6$
D.$3$
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先设光盘的圆心为O，连接OA、OB，根据切线的性质可知OB垂直于直尺，即∠OBA为直角；2. 三角尺的斜边和直尺都是圆的切线，交点为A，根据切线长定理，OA平分两条切线的夹角，结合A点的60°角可推出∠OAB的度数；3. 在直角三角形OAB中，利用锐角三角函数求出半径OB，再乘2即可得到光盘的直径。
【解析】
设光盘的圆心为点O，连接OA、OB。
∵ B是光盘与直尺的切点，根据切线的性质，得 $ OB ⊥ AB $，即 $ ∠ OBA = 90° $。
∵ 三角尺的斜边与直尺所在直线都是$ \odot O $的切线，交点为A，由切线长定理可知OA平分两条切线的夹角。
已知A处三角尺的60°角是水平向左直角边与斜边的夹角，因此两条切线的夹角为 $ 180° - 60° = 120° $，故 $ ∠ OAB = \frac{1}{2} × 120° = 60° $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAB $中，$ AB=3 $，$ \tan∠ OAB = \frac{OB}{AB} $，
代入得 $ OB = AB · \tan60° = 3 × \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $，
因此光盘的直径为 $ 2OB = 2 × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} $。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线相关性质与解直角三角形的综合应用，解题的核心是正确作出辅助线，利用切线长定理推导角的度数，再结合三角函数计算线段长度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先设光盘的圆心为O，连接OA、OB，根据切线的性质可知OB垂直于直尺，即∠OBA为直角；2. 三角尺的斜边和直尺都是圆的切线，交点为A，根据切线长定理，OA平分两条切线的夹角，结合A点的60°角可推出∠OAB的度数；3. 在直角三角形OAB中，利用锐角三角函数求出半径OB，再乘2即可得到光盘的直径。
【解析】
设光盘的圆心为点O，连接OA、OB。
∵ B是光盘与直尺的切点，根据切线的性质，得 $ OB ⊥ AB $，即 $ ∠ OBA = 90° $。
∵ 三角尺的斜边与直尺所在直线都是$ \odot O $的切线，交点为A，由切线长定理可知OA平分两条切线的夹角。
已知A处三角尺的60°角是水平向左直角边与斜边的夹角，因此两条切线的夹角为 $ 180° - 60° = 120° $，故 $ ∠ OAB = \frac{1}{2} × 120° = 60° $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAB $中，$ AB=3 $，$ \tan∠ OAB = \frac{OB}{AB} $，
代入得 $ OB = AB · \tan60° = 3 × \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $，
因此光盘的直径为 $ 2OB = 2 × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} $。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线相关性质与解直角三角形的综合应用，解题的核心是正确作出辅助线，利用切线长定理推导角的度数，再结合三角函数计算线段长度。
【难度系数】
0.7
4. 如图,过⊙O外一点P向⊙O作两条切线PA,PB,若⊙O的半径为3,PA=4,则弦AB=
$\frac{24}{5}$
.答案
4. $\frac{24}{5}$
解析
【分析】
解题时先结合切线的性质、切线长定理梳理图形中的边角关系：①PA、PB是切线，故OA⊥PA，PA=PB，OP垂直平分AB；②先在Rt△OPA中用勾股定理求出OP的长度，再通过等面积法计算AB一半的长度，进而得到AB的总长。
【解析】
设AB与OP交于点C。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB，
∴OP⊥AB，且AB=2AC（等腰三角形三线合一）。
在Rt△OPA中，OA=3，PA=4，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
△OPA的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OP× AC$，
代入OP=5得：$\frac{1}{2}×5× AC=6$，解得$AC=\frac{12}{5}$，
∴$AB=2AC=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的常规题型，核心是利用切线性质得到直角三角形，结合勾股定理和等面积法求解线段长度，熟练掌握切线相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合切线的性质、切线长定理梳理图形中的边角关系：①PA、PB是切线，故OA⊥PA，PA=PB，OP垂直平分AB；②先在Rt△OPA中用勾股定理求出OP的长度，再通过等面积法计算AB一半的长度，进而得到AB的总长。
【解析】
设AB与OP交于点C。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB，
∴OP⊥AB，且AB=2AC（等腰三角形三线合一）。
在Rt△OPA中，OA=3，PA=4，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
△OPA的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OP× AC$，
代入OP=5得：$\frac{1}{2}×5× AC=6$，解得$AC=\frac{12}{5}$，
∴$AB=2AC=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的常规题型，核心是利用切线性质得到直角三角形，结合勾股定理和等面积法求解线段长度，熟练掌握切线相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,正方形ABCD的边长为4 cm,以边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,过点A作半圆的切线,与半圆相切于点F,与DC相交于点E,则△ADE的面积为
6
cm².答案
5. 6
解析
【分析】
要求△ADE的面积，已知AD边长为4 cm，只需算出DE的长度即可求解。首先观察图形可知AB、DC、AE都是半圆的切线，根据切线长定理可得到AF=AB，EF=EC；我们可以设EC=x，用含x的式子分别表示出DE和AE的长度，再在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解x，进而得到DE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设$ EC = x \, \mathrm{cm} $。
∵ 正方形ABCD边长为4 cm，
∴ $ AB=BC=CD=AD=4 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ D=90° $，且$ AB ⊥ BC $，$ DC ⊥ BC $，即AB、DC均为半圆O的切线。
∵ AE与半圆O相切于点F，根据切线长定理可得：$ AF=AB=4 \, \mathrm{cm} $，$ EF=EC=x \, \mathrm{cm} $，
∴ $ AE=AF+EF=(4+x) \, \mathrm{cm} $，$ DE=CD-EC=(4-x) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，由勾股定理得：
$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $
代入数值：$ 4^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2 $
展开化简：$ 16 + 16 -8x +x^2 = 16 +8x +x^2 $，解得$ x=1 $。
∴ $ DE=4-1=3 \, \mathrm{cm} $，
$ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
6
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题结合切线长定理、正方形性质和勾股定理考查，通过设未知数利用勾股定理建立方程是解题核心，能有效锻炼几何问题中的方程思想应用能力。
【难度系数】
0.6
要求△ADE的面积，已知AD边长为4 cm，只需算出DE的长度即可求解。首先观察图形可知AB、DC、AE都是半圆的切线，根据切线长定理可得到AF=AB，EF=EC；我们可以设EC=x，用含x的式子分别表示出DE和AE的长度，再在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解x，进而得到DE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设$ EC = x \, \mathrm{cm} $。
∵ 正方形ABCD边长为4 cm，
∴ $ AB=BC=CD=AD=4 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ D=90° $，且$ AB ⊥ BC $，$ DC ⊥ BC $，即AB、DC均为半圆O的切线。
∵ AE与半圆O相切于点F，根据切线长定理可得：$ AF=AB=4 \, \mathrm{cm} $，$ EF=EC=x \, \mathrm{cm} $，
∴ $ AE=AF+EF=(4+x) \, \mathrm{cm} $，$ DE=CD-EC=(4-x) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，由勾股定理得：
$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $
代入数值：$ 4^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2 $
展开化简：$ 16 + 16 -8x +x^2 = 16 +8x +x^2 $，解得$ x=1 $。
∴ $ DE=4-1=3 \, \mathrm{cm} $，
$ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
6
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题结合切线长定理、正方形性质和勾股定理考查，通过设未知数利用勾股定理建立方程是解题核心，能有效锻炼几何问题中的方程思想应用能力。
【难度系数】
0.6
6. 过$\odot O$外一点$P$作$\odot O$的切线.
作法:如图.(1)连接$OP$,交$\odot O$于点$A$,过点$A$作$OP$的垂线$AD$;
(2)以点$O$为圆心,$OP$为半径作弧,交直线$AD$于点$B$;
(3)连接$OB$,交$\odot O$于点$C$;
(4)作直线$PC$,则直线$PC$是$\odot O$的切线.
请写出“作法”的证明过程.
作法:如图.(1)连接$OP$,交$\odot O$于点$A$,过点$A$作$OP$的垂线$AD$;
(2)以点$O$为圆心,$OP$为半径作弧,交直线$AD$于点$B$;
(3)连接$OB$,交$\odot O$于点$C$;
(4)作直线$PC$,则直线$PC$是$\odot O$的切线.
请写出“作法”的证明过程.
答案
6. 由作法可得 $AD ⊥ OP,OB=OP$,
$\therefore$ $∠ OAB=90°$.
在 $△ OPC$ 和 $△ OBA$ 中,
$\begin{cases}OC=OA, \\∠ O = ∠ O, \\OP=OB,\end{cases}$
$\therefore$ $△ OPC ≌ △ OBA(\mathrm{SAS})$.
$\therefore$ $∠ OCP = ∠ OAB=90°$.
$\therefore$ $OC ⊥ PC$.
又 $OC$ 是$\odot O$的半径,
$\therefore$ 直线 $PC$ 是$\odot O$ 的切线.
$\therefore$ $∠ OAB=90°$.
在 $△ OPC$ 和 $△ OBA$ 中,
$\begin{cases}OC=OA, \\∠ O = ∠ O, \\OP=OB,\end{cases}$
$\therefore$ $△ OPC ≌ △ OBA(\mathrm{SAS})$.
$\therefore$ $∠ OCP = ∠ OAB=90°$.
$\therefore$ $OC ⊥ PC$.
又 $OC$ 是$\odot O$的半径,
$\therefore$ 直线 $PC$ 是$\odot O$ 的切线.
解析
【分析】
要证明直线PC是$\odot O$的切线，依据切线的判定定理，需先证明$OC⊥ PC$（OC为$\odot O$的半径）。首先从作图步骤中提取已知条件：由$AD⊥ OP$可得$∠ OAB=90°$，由作图可知$OB=OP$，OC、OA均为$\odot O$的半径故$OC=OA$，再结合公共角$∠ O$，可通过SAS判定$△ OPC$和$△ OBA$全等，利用全等三角形对应角相等得到$∠ OCP=90°$，即可完成切线的证明。
【解析】
由作法可得 $AD ⊥ OP,OB=OP$，
$\therefore$ $∠ OAB=90°$。
在 $△ OPC$ 和 $△ OBA$ 中，
$\begin{cases}OC=OA, \\∠ O = ∠ O, \\OP=OB,\end{cases}$
$\therefore$ $△ OPC ≌ △ OBA(\mathrm{SAS})$。
$\therefore$ $∠ OCP = ∠ OAB=90°$，即 $OC ⊥ PC$。
又 $\because$ $OC$ 是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$PC$是$\odot O$ 的切线。
【答案】
由作法可得 $AD ⊥ OP,OB=OP$，
$\therefore$ $∠ OAB=90°$。
在 $△ OPC$ 和 $△ OBA$ 中，
$\begin{cases}OC=OA, \\∠ O = ∠ O, \\OP=OB,\end{cases}$
$\therefore$ $△ OPC ≌ △ OBA(\mathrm{SAS})$。
$\therefore$ $∠ OCP = ∠ OAB=90°$。
$\therefore$ $OC ⊥ PC$。
又 $OC$ 是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$PC$是$\odot O$ 的切线。
【知识点】
全等三角形判定与性质、切线的判定定理、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图过程考查几何证明，解题核心是从作图步骤中挖掘隐含的边、角等量关系，通过全等三角形转化得到垂直关系，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
要证明直线PC是$\odot O$的切线，依据切线的判定定理，需先证明$OC⊥ PC$（OC为$\odot O$的半径）。首先从作图步骤中提取已知条件：由$AD⊥ OP$可得$∠ OAB=90°$，由作图可知$OB=OP$，OC、OA均为$\odot O$的半径故$OC=OA$，再结合公共角$∠ O$，可通过SAS判定$△ OPC$和$△ OBA$全等，利用全等三角形对应角相等得到$∠ OCP=90°$，即可完成切线的证明。
【解析】
由作法可得 $AD ⊥ OP,OB=OP$，
$\therefore$ $∠ OAB=90°$。
在 $△ OPC$ 和 $△ OBA$ 中，
$\begin{cases}OC=OA, \\∠ O = ∠ O, \\OP=OB,\end{cases}$
$\therefore$ $△ OPC ≌ △ OBA(\mathrm{SAS})$。
$\therefore$ $∠ OCP = ∠ OAB=90°$，即 $OC ⊥ PC$。
又 $\because$ $OC$ 是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$PC$是$\odot O$ 的切线。
【答案】
由作法可得 $AD ⊥ OP,OB=OP$，
$\therefore$ $∠ OAB=90°$。
在 $△ OPC$ 和 $△ OBA$ 中，
$\begin{cases}OC=OA, \\∠ O = ∠ O, \\OP=OB,\end{cases}$
$\therefore$ $△ OPC ≌ △ OBA(\mathrm{SAS})$。
$\therefore$ $∠ OCP = ∠ OAB=90°$。
$\therefore$ $OC ⊥ PC$。
又 $OC$ 是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$PC$是$\odot O$ 的切线。
【知识点】
全等三角形判定与性质、切线的判定定理、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图过程考查几何证明，解题核心是从作图步骤中挖掘隐含的边、角等量关系，通过全等三角形转化得到垂直关系，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
7. 如图，PA，PB，CD是$\odot O$的切线，切点分别为A，B，E，直线CD分别交PA，PB于点C，D，若$△ PCD$的周长为18 cm，$∠ APB=60°$，求$\odot O$的半径.
答案
7. $\odot O$ 的半径为 $3\sqrt{3}$ cm.
解析
【分析】
解题时首先利用切线长定理，将△PCD的周长转化为两条切线长PA与PB的和，结合PA=PB可求出PA的长度；再连接OA、OP，根据切线的性质得到直角△OAP，同时由切线长定理可知OP平分∠APB，得到∠APO=30°，最后利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
1. 由切线长定理可知：PA、PB是⊙O的切线，则$PA=PB$；CD切⊙O于E，则$CA=CE$，$DB=DE$。
因此$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA$。
已知$△ PCD$周长为18cm，故$2PA=18$，解得$PA=9\mathrm{cm}$。
2. 连接$OA$、$OP$：
因为PA是⊙O的切线，A为切点，所以$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
又由切线长定理得OP平分$∠ APB$，故$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
设⊙O的半径为$r$，则$OA=r$，在$Rt△ OAP$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，故$OP=2OA=2r$。
根据勾股定理：$OA^2+PA^2=OP^2$，代入得$r^2+9^2=(2r)^2$，
整理得$3r^2=81$，$r^2=27$，因为$r＞0$，所以$r=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$ 的半径为 $3\sqrt{3}$ cm.
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线部分的典型习题，解题核心是利用切线长定理实现线段的转化，将未知线段和已知周长建立关联，再结合直角三角形的性质求解，能较好地考查学生对切线相关定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用切线长定理，将△PCD的周长转化为两条切线长PA与PB的和，结合PA=PB可求出PA的长度；再连接OA、OP，根据切线的性质得到直角△OAP，同时由切线长定理可知OP平分∠APB，得到∠APO=30°，最后利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
1. 由切线长定理可知：PA、PB是⊙O的切线，则$PA=PB$；CD切⊙O于E，则$CA=CE$，$DB=DE$。
因此$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA$。
已知$△ PCD$周长为18cm，故$2PA=18$，解得$PA=9\mathrm{cm}$。
2. 连接$OA$、$OP$：
因为PA是⊙O的切线，A为切点，所以$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
又由切线长定理得OP平分$∠ APB$，故$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
设⊙O的半径为$r$，则$OA=r$，在$Rt△ OAP$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，故$OP=2OA=2r$。
根据勾股定理：$OA^2+PA^2=OP^2$，代入得$r^2+9^2=(2r)^2$，
整理得$3r^2=81$，$r^2=27$，因为$r＞0$，所以$r=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$ 的半径为 $3\sqrt{3}$ cm.
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线部分的典型习题，解题核心是利用切线长定理实现线段的转化，将未知线段和已知周长建立关联，再结合直角三角形的性质求解，能较好地考查学生对切线相关定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
