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8. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, AC = 5, BC = 12, \odot O$ 与边 $AB,AC$ 相切,切点分别为 $E,C$,求 $\odot O$ 的半径.
答案
8. $\odot O$ 的半径为 $\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形的边长，用勾股定理先算出斜边AB的长度；再结合切线的性质判断圆心O的位置，利用切线长定理得到AE与AC相等，求出BE的长度；最后设半径为r，在直角三角形BOE中用勾股定理列方程，即可求解半径。
【解析】
1. 计算斜边$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=5$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
2. 利用切线性质和切线长定理求线段长度：
$\because \odot O$与$AC$相切于点$C$，$\therefore OC⊥ AC$，
又$\because ∠ ACB=90°$即$BC⊥ AC$，$\therefore$圆心$O$在$BC$边上。
$\because \odot O$与$AB$相切于点$E$，与$AC$相切于点$C$，由切线长定理得$AE=AC=5$，
$\therefore BE=AB-AE=13-5=8$。
3. 列方程求解半径：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$，$OB=BC-OC=12-r$。
$\because AB$是$\odot O$的切线，$\therefore OE⊥ AB$，即$∠ OEB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△BOE$中，由勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入得：$(12-r)^2=r^2+8^2$，
展开化简：$144-24r+r^2=r^2+64$，
解得$24r=80$，$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$。
【知识点】
勾股定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题的核心是利用切线相关定理得到线段的等量关系，再通过勾股定理构造方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直角三角形的边长，用勾股定理先算出斜边AB的长度；再结合切线的性质判断圆心O的位置，利用切线长定理得到AE与AC相等，求出BE的长度；最后设半径为r，在直角三角形BOE中用勾股定理列方程，即可求解半径。
【解析】
1. 计算斜边$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=5$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
2. 利用切线性质和切线长定理求线段长度：
$\because \odot O$与$AC$相切于点$C$，$\therefore OC⊥ AC$，
又$\because ∠ ACB=90°$即$BC⊥ AC$，$\therefore$圆心$O$在$BC$边上。
$\because \odot O$与$AB$相切于点$E$，与$AC$相切于点$C$，由切线长定理得$AE=AC=5$，
$\therefore BE=AB-AE=13-5=8$。
3. 列方程求解半径：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$，$OB=BC-OC=12-r$。
$\because AB$是$\odot O$的切线，$\therefore OE⊥ AB$，即$∠ OEB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△BOE$中，由勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入得：$(12-r)^2=r^2+8^2$，
展开化简：$144-24r+r^2=r^2+64$，
解得$24r=80$，$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$。
【知识点】
勾股定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题的核心是利用切线相关定理得到线段的等量关系，再通过勾股定理构造方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
9. 如图,BC为$\odot O$的直径,P为$\odot O$外一点,且PA,PB分别切$\odot O$于点A,B,连接AO,AC,PO交$\odot O$于点D.
(1)求证:$AC// PO$;
(2)填空:若$\odot O$的半径为2,则当$PD=$
(1)求证:$AC// PO$;
(2)填空:若$\odot O$的半径为2,则当$PD=$
$2\sqrt{2}-2$
时,四边形APOC为平行四边形.答案
9. (1)$\because$ $PA,PB$ 分别切$\odot O$ 于点 $A,B$,
$\therefore$ $OA ⊥ PA,OB ⊥ PB$.
$\therefore$ $∠ PAO = ∠ PBO=90°$.
$\because$ $OA=OB,OP=OP$,
$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ APO ≌ \mathrm{Rt}△ BPO$.
$\therefore$ $∠ POA = ∠ POB$.
$\therefore$ $∠ BOA=2∠ POB$.
$\because$ $OA=OC$,
$\therefore$ $∠ OAC = ∠ OCA$.
$\therefore$ $∠ BOA = ∠ OAC + ∠ OCA=2∠ OCA$.
$\therefore$ $∠ POB = ∠ OCA$.
$\therefore$ $AC // OP$.
(2)$2\sqrt{2}-2$
$\therefore$ $OA ⊥ PA,OB ⊥ PB$.
$\therefore$ $∠ PAO = ∠ PBO=90°$.
$\because$ $OA=OB,OP=OP$,
$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ APO ≌ \mathrm{Rt}△ BPO$.
$\therefore$ $∠ POA = ∠ POB$.
$\therefore$ $∠ BOA=2∠ POB$.
$\because$ $OA=OC$,
$\therefore$ $∠ OAC = ∠ OCA$.
$\therefore$ $∠ BOA = ∠ OAC + ∠ OCA=2∠ OCA$.
$\therefore$ $∠ POB = ∠ OCA$.
$\therefore$ $AC // OP$.
(2)$2\sqrt{2}-2$
解析
【分析】
(1) 要证$AC// PO$，可通过证明同位角相等推导：首先利用切线的性质得到垂直关系，证明$Rt△ APO≌ Rt△ BPO$得到角的等量关系，再结合等腰三角形外角性质推出同位角相等，即可证得平行。
(2) 若四边形$APOC$为平行四边形，结合第一问已证的$AC// PO$，只需满足对边$AP=OC$。结合切线垂直半径的性质，在$Rt△ PAO$中用勾股定理求出$PO$的长度，再减去半径$OD$的长度即可得到$PD$的值。
【解析】
(1) 证明：
$\because PA,PB$分别切$\odot O$于点$A,B$，
$\therefore OA⊥ PA,OB⊥ PB$，
$\therefore ∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$\because OA=OB,OP=OP$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ APO≌ \mathrm{Rt}△ BPO(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ POA=∠ POB$，
$\therefore ∠ BOA=∠ POA+∠ POB=2∠ POB$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because ∠ BOA$是$△ AOC$的外角，
$\therefore ∠ BOA=∠ OAC+∠ OCA=2∠ OCA$，
$\therefore 2∠ POB=2∠ OCA$，即$∠ POB=∠ OCA$，
$\therefore AC// PO$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：若四边形$APOC$为平行四边形，则$AP=OC$，
$\because \odot O$的半径为2，$\therefore OC=OA=OD=2$，即$AP=2$，
$\because PA$是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ PAO=90°$，
在$Rt△ PAO$中，由勾股定理得：
$PO=\sqrt{AP^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore PD=PO-OD=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{2}-2}$
【知识点】
切线的性质；平行线的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，融合了切线性质、三角形全等、平行线判定、平行四边形性质等多个知识点，解题的核心是熟练掌握相关定理，合理转化角与边的等量关系，对基础逻辑推理能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$AC// PO$，可通过证明同位角相等推导：首先利用切线的性质得到垂直关系，证明$Rt△ APO≌ Rt△ BPO$得到角的等量关系，再结合等腰三角形外角性质推出同位角相等，即可证得平行。
(2) 若四边形$APOC$为平行四边形，结合第一问已证的$AC// PO$，只需满足对边$AP=OC$。结合切线垂直半径的性质，在$Rt△ PAO$中用勾股定理求出$PO$的长度，再减去半径$OD$的长度即可得到$PD$的值。
【解析】
(1) 证明：
$\because PA,PB$分别切$\odot O$于点$A,B$，
$\therefore OA⊥ PA,OB⊥ PB$，
$\therefore ∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$\because OA=OB,OP=OP$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ APO≌ \mathrm{Rt}△ BPO(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ POA=∠ POB$，
$\therefore ∠ BOA=∠ POA+∠ POB=2∠ POB$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because ∠ BOA$是$△ AOC$的外角，
$\therefore ∠ BOA=∠ OAC+∠ OCA=2∠ OCA$，
$\therefore 2∠ POB=2∠ OCA$，即$∠ POB=∠ OCA$，
$\therefore AC// PO$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：若四边形$APOC$为平行四边形，则$AP=OC$，
$\because \odot O$的半径为2，$\therefore OC=OA=OD=2$，即$AP=2$，
$\because PA$是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ PAO=90°$，
在$Rt△ PAO$中，由勾股定理得：
$PO=\sqrt{AP^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore PD=PO-OD=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{2}-2}$
【知识点】
切线的性质；平行线的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，融合了切线性质、三角形全等、平行线判定、平行四边形性质等多个知识点，解题的核心是熟练掌握相关定理，合理转化角与边的等量关系，对基础逻辑推理能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6
10. 如图，AB为$\odot O$的直径，CB，CD分别切$\odot O$于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交$\odot O$于点G，$EF ⊥ OG$于点F.
(1)求证：$∠ FEB=∠ ECF$；
(2)若$BC=6$，$DE=4$，求$\odot O$的半径长.
(1)求证：$∠ FEB=∠ ECF$；
(2)若$BC=6$，$DE=4$，求$\odot O$的半径长.
答案
10. (1)$\because$ $CB,CD$ 分别切$\odot O$ 于点 $B,D$,
$\therefore$ $OB ⊥ BC,CO$ 平分 $∠ BCE$,
即$∠ OBC=90°,∠ ECO=∠ BCO$.
$\therefore$ $∠ BCO + ∠ COB=90°$.
又 $∠ COB = ∠ FOE$,
$\therefore$ $∠ ECO + ∠ FOE=90°$.
$\because$ $EF ⊥ OG$,
$\therefore$ $∠ EFO=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB + ∠ FOE=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB = ∠ ECF$.
(2)连接 $OD$.
$\because$ $CB,CD$ 分别切$\odot O$ 于点 $B,D$,
$\therefore$ $CD=CB=6,OD ⊥ CE$.
$\therefore$ $CE=CD+DE=6+4=10$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BE=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$\odot O$ 的半径长为 $r$,则 $OD=OB=r,OE=8-r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 中,由勾股定理,得 $r^2+4^2=(8-r)^2$. 解得 $r=3$.
$\therefore$ $\odot O$ 的半径长为 3.
$\therefore$ $OB ⊥ BC,CO$ 平分 $∠ BCE$,
即$∠ OBC=90°,∠ ECO=∠ BCO$.
$\therefore$ $∠ BCO + ∠ COB=90°$.
又 $∠ COB = ∠ FOE$,
$\therefore$ $∠ ECO + ∠ FOE=90°$.
$\because$ $EF ⊥ OG$,
$\therefore$ $∠ EFO=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB + ∠ FOE=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB = ∠ ECF$.
(2)连接 $OD$.
$\because$ $CB,CD$ 分别切$\odot O$ 于点 $B,D$,
$\therefore$ $CD=CB=6,OD ⊥ CE$.
$\therefore$ $CE=CD+DE=6+4=10$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BE=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$\odot O$ 的半径长为 $r$,则 $OD=OB=r,OE=8-r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 中,由勾股定理,得 $r^2+4^2=(8-r)^2$. 解得 $r=3$.
$\therefore$ $\odot O$ 的半径长为 3.
解析
【分析】
(1) 要证$∠FEB=∠ECF$，可通过同角的余角相等推导：首先根据切线的性质和切线长定理，可得CO平分$∠BCE$且$OB⊥BC$，因此$∠ECF+∠COB=90°$；再由$EF⊥OG$可得$∠FEB+∠FOE=90°$，结合$∠COB$与$∠FOE$是对顶角相等，即可完成证明。
(2) 求$\odot O$半径，先利用切线长定理得$CD=BC$，求出$CE$的长度，再在$\mathrm{Rt}△BCE$中用勾股定理算出$BE$；连接$OD$后，$OD$为半径且$OD⊥CE$，设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OE$，在$\mathrm{Rt}△ODE$中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ $CB,CD$ 分别切$\odot O$ 于点 $B,D$,
$\therefore$ $OB ⊥ BC,CO$ 平分 $∠ BCE$,
即$∠ OBC=90°,∠ ECO=∠ BCO$.
$\therefore$ $∠ BCO + ∠ COB=90°$.
又 $∠ COB = ∠ FOE$（对顶角相等）,
$\therefore$ $∠ ECO + ∠ FOE=90°$.
$\because$ $EF ⊥ OG$,
$\therefore$ $∠ EFO=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB + ∠ FOE=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB = ∠ ECF$.
(2) 解：连接 $OD$.
$\because$ $CB,CD$ 分别切$\odot O$ 于点 $B,D$,
$\therefore$ $CD=CB=6,OD ⊥ CE$.
$\therefore$ $CE=CD+DE=6+4=10$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{CE^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$\odot O$ 的半径长为 $r$,则 $OD=OB=r,OE=BE-OB=8-r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 中,由勾股定理,得 $r^2+4^2=(8-r)^2$.
展开化简得$16r=48$，解得 $r=3$.
$\therefore$ $\odot O$ 的半径长为 3.
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\odot O$的半径长为$\boxed{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线相关性质与勾股定理结合考查，第一问通过余角的性质证明角相等，第二问运用方程思想结合勾股定理求线段长度，解题关键是熟练掌握切线的相关性质，找准直角三角形列方程求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$∠FEB=∠ECF$，可通过同角的余角相等推导：首先根据切线的性质和切线长定理，可得CO平分$∠BCE$且$OB⊥BC$，因此$∠ECF+∠COB=90°$；再由$EF⊥OG$可得$∠FEB+∠FOE=90°$，结合$∠COB$与$∠FOE$是对顶角相等，即可完成证明。
(2) 求$\odot O$半径，先利用切线长定理得$CD=BC$，求出$CE$的长度，再在$\mathrm{Rt}△BCE$中用勾股定理算出$BE$；连接$OD$后，$OD$为半径且$OD⊥CE$，设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OE$，在$\mathrm{Rt}△ODE$中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ $CB,CD$ 分别切$\odot O$ 于点 $B,D$,
$\therefore$ $OB ⊥ BC,CO$ 平分 $∠ BCE$,
即$∠ OBC=90°,∠ ECO=∠ BCO$.
$\therefore$ $∠ BCO + ∠ COB=90°$.
又 $∠ COB = ∠ FOE$（对顶角相等）,
$\therefore$ $∠ ECO + ∠ FOE=90°$.
$\because$ $EF ⊥ OG$,
$\therefore$ $∠ EFO=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB + ∠ FOE=90°$.
$\therefore$ $∠ FEB = ∠ ECF$.
(2) 解：连接 $OD$.
$\because$ $CB,CD$ 分别切$\odot O$ 于点 $B,D$,
$\therefore$ $CD=CB=6,OD ⊥ CE$.
$\therefore$ $CE=CD+DE=6+4=10$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{CE^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$\odot O$ 的半径长为 $r$,则 $OD=OB=r,OE=BE-OB=8-r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 中,由勾股定理,得 $r^2+4^2=(8-r)^2$.
展开化简得$16r=48$，解得 $r=3$.
$\therefore$ $\odot O$ 的半径长为 3.
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\odot O$的半径长为$\boxed{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线相关性质与勾股定理结合考查，第一问通过余角的性质证明角相等，第二问运用方程思想结合勾股定理求线段长度，解题关键是熟练掌握切线的相关性质，找准直角三角形列方程求解。
【难度系数】
0.7
