《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”你能解决这个问题吗？

解：
设该直角三角形为△ABC，∠C=90°，AC=8步，BC=15步。
由勾股定理得斜边：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17$步。
设三角形内切圆半径为r，根据三角形面积与内切圆的关系：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· r· (AC+BC+AB)$
代入数值：
$\frac{1}{2}×8×15=\frac{1}{2}× r×(8+15+17)$
化简得：$60=20r$
解得$r=3$步。
因此内切圆直径为$2r=6$步。
答：该直角三角形内切圆的直径是6步。

【分析】
本题是求直角三角形内切圆直径的问题，解题可按以下思路推进：首先，已知直角三角形的两条直角边长度，可先通过勾股定理求出斜边长度；其次，要求内切圆直径需先求半径，回忆三角形面积与内切圆半径的关系：三角形面积等于二分之一乘内切圆半径乘三角形周长，因此可以通过“两种方式计算直角三角形面积相等”建立等式，求解得到半径；最后将半径乘2即可得到内切圆直径。
【解析】
设该直角三角形为△ABC，∠C=90°，AC=8步，BC=15步。
由勾股定理得斜边长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17$（步）
设三角形内切圆半径为r，根据三角形面积与内切圆的关系可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}·r·(AC+BC+AB)$
代入对应数值：
$\frac{1}{2}×8×15=\frac{1}{2}×r×(8+15+17)$
化简得：$60=20r$
解得$r=3$（步）
因此内切圆直径为$2r=2×3=6$（步）
【答案】
6步
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；等面积法
【点评】
本题结合我国古代数学典籍设置问题，既传递了传统数学文化，又考查了直角三角形内切圆相关计算的基础知识。解题的核心是熟练运用勾股定理求斜边长，以及利用等面积法建立等式求解内切圆半径，解题思路清晰，方法典型。
【难度系数】
0.7

知识梳理
知识点 三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫作，内切圆的圆心是的交点，叫作三角形的，这个三角形叫作圆的.
重点提示
1. 三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心到三角形的三边距离相等.这个距离就是三角形内切圆的半径长.
2. 作三角形的内切圆时，要抓住“确定圆心的位置和半径”这个作圆的关键.
3. 三角形的内切圆有且只有一个.
4. 三角形内面积最大的圆就是三角形的内切圆.
易错点拨
明确“切”和“接”的含义
| 名称 | 确定方法 | 图形 | 性质 |
| --- | --- | --- | --- |
| 外心:三角形外接圆的圆心 | 三角形三边垂直平分线的交点 | | 1. $OA=OB=OC$；
2. 外心不一定在三角形的内部. |
| 内心:三角形内切圆的圆心 | 三角形三条角平分线的交点 | | 1. 到三边的距离相等；
2. $AO,BO,CO$分别平分$∠ BAC,∠ ABC,∠ ACB$；
3. 内心在三角形的内部. |

三角形的内切圆 三角形三条角平分线 内心 外切三角形

【分析】
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，解题时可结合题干给出的定义提示、表格中内心的相关内容逐一推导填空：首先回忆圆与三角形相切的相关定义，确定与三角形各边都相切的圆的名称；再结合表格中内心的确定方法，明确内切圆圆心的本质是三条角平分线的交点，确定这个交点的名称；最后对应得到该三角形相对于圆的名称即可。
【解析】
根据相关定义及表格给出的性质依次填空：
1. 按照定义，与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 结合表格中“内心是三角形三条角平分线的交点”的描述，可知内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点；
3. 内切圆的圆心叫作三角形的内心；
4. 与内切圆对应的这个三角形叫作圆的外切三角形。
【答案】
三角形的内切圆 三角形三条角平分线 内心 外切三角形
【知识点】
三角形内切圆定义、三角形内心概念、外切三角形定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟记相关定义，注意区分“内切/外接”“内心/外心”“外切/内接”等易混淆的概念。
【难度系数】
0.9