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9.某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数y=150-t.
(1)求x与t之间的函数解析式.
(2)设销售该商品的日利润为W元，求W与t之间的函数解析式.在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
(1)求x与t之间的函数解析式.
(2)设销售该商品的日利润为W元，求W与t之间的函数解析式.在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
答案
9. (1)①当$0≤t＜80$时,设 x 与 t 之间的函数解析式为 $x=kt+b(k≠0).$
由题图可得,函数图象经过点$(0,40)$,$(80,120)$,
$\therefore\ \ \begin{cases}b=40,\\80k+b=120.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=40.\end{cases}$
$\therefore\ \ x=t+40.$
②当$80≤t≤120$时,$x=120.$
综上所述,x 与 t 之间的函数解析式为
$x=\begin{cases}t+40(0≤t＜80,且 t 为整数),\\120(80≤t≤120,且 t 为整数).\end{cases}$
(2)①当$0≤t＜80$时,
$\begin{aligned}W &= (x-30)y\\&= (t+10)(150-t)\\&= -t^2+140t+1\ 500\\&= -(t-70)^2+6\ 400.\end{aligned}$
$\because\ \ -1＜0,$
$\therefore\ \ $ 抛物线开口向下.
$\therefore\ \ $ 当$t=70$时,W 最大,$W_{\mathrm{最大}}=6\ 400.$
②当$80≤t≤120$时,
$\begin{aligned}W &= (x-30)y\\&= (120-30)(150-t)\\&= -90t+13\ 500.\end{aligned}$
$\because\ \ -90＜0,$
$\therefore\ \ $ W 随 t 的增大而减小.
$\therefore\ \ $ 当$t=80$时,W 最大,
$W_{\mathrm{最大}}=-90×80+13\ 500=6\ 300.$
$\because\ \ 6\ 400＞6\ 300,$
$\therefore\ \ $ 在这 120 天内第 70 天的日利润最大,最大日利润是 6 400 元.
由题图可得,函数图象经过点$(0,40)$,$(80,120)$,
$\therefore\ \ \begin{cases}b=40,\\80k+b=120.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=40.\end{cases}$
$\therefore\ \ x=t+40.$
②当$80≤t≤120$时,$x=120.$
综上所述,x 与 t 之间的函数解析式为
$x=\begin{cases}t+40(0≤t＜80,且 t 为整数),\\120(80≤t≤120,且 t 为整数).\end{cases}$
(2)①当$0≤t＜80$时,
$\begin{aligned}W &= (x-30)y\\&= (t+10)(150-t)\\&= -t^2+140t+1\ 500\\&= -(t-70)^2+6\ 400.\end{aligned}$
$\because\ \ -1＜0,$
$\therefore\ \ $ 抛物线开口向下.
$\therefore\ \ $ 当$t=70$时,W 最大,$W_{\mathrm{最大}}=6\ 400.$
②当$80≤t≤120$时,
$\begin{aligned}W &= (x-30)y\\&= (120-30)(150-t)\\&= -90t+13\ 500.\end{aligned}$
$\because\ \ -90＜0,$
$\therefore\ \ $ W 随 t 的增大而减小.
$\therefore\ \ $ 当$t=80$时,W 最大,
$W_{\mathrm{最大}}=-90×80+13\ 500=6\ 300.$
$\because\ \ 6\ 400＞6\ 300,$
$\therefore\ \ $ 在这 120 天内第 70 天的日利润最大,最大日利润是 6 400 元.
解析
【分析】
(1) 观察x与t的函数图象可知为分段函数：0≤t＜80时是一次函数，80≤t≤120时是常值函数。求解一次函数解析式用待定系数法，代入已知两点坐标即可求出系数；常值函数直接根据图象取值即可。
(2) 日利润=每件利润×日销售量，每件利润为(x-30)元，日销售量为(150-t)件，因此需分两段分别代入x的解析式得到W关于t的函数：0≤t＜80段得到二次函数，通过配方化为顶点式，结合开口方向求最大值；80≤t≤120段得到一次函数，根据增减性求最大值，最后比较两段最大值得到最终结果。
【解析】
(1) 分情况求x与t的函数解析式：
①当$0≤t＜80$（t为整数）时，设解析式为$x=kt+b(k≠0)$，
由图象知函数过点$(0,40)$、$(80,120)$，代入得：
$\begin{cases}b=40\\80k+b=120\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=40\end{cases}$，
即此时$x=t+40$。
②当$80≤t≤120$（t为整数）时，由图象得销售价恒定，即$x=120$。
综上，x与t的函数解析式为：
$x=\begin{cases}t+40&(0≤t＜80,且t为整数)\\120&(80≤t≤120,且t为整数)\end{cases}$
(2) 由日利润公式$W=(x-30)y$，$y=150-t$，分情况计算：
①当$0≤t＜80$（t为整数）时，代入$x=t+40$：
$\begin{aligned}W&=(t+40-30)(150-t)\\&=(t+10)(150-t)\\&=-t^2+140t+1500\\&=-(t-70)^2+6400\end{aligned}$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$t=70$时，W取得最大值，$W_{\mathrm{最大}}=6400$元。
②当$80≤t≤120$（t为整数）时，代入$x=120$：
$\begin{aligned}W&=(120-30)(150-t)\\&=-90t+13500\end{aligned}$
$\because -90＜0$，W随t的增大而减小，
$\therefore$当$t=80$时，W取得最大值，$W_{\mathrm{最大}}=-90×80+13500=6300$元。
$\because 6400＞6300$，因此第70天的日利润最大。
【答案】
(1) $x=\begin{cases}t+40&(0≤t＜80,且t为整数)\\120&(80≤t≤120,且t为整数)\end{cases}$
(2) W与t的函数解析式为$\begin{cases}W=-(t-70)^2+6400&(0≤t＜80,且t为整数)\\W=-90t+13500&(80≤t≤120,且t为整数)\end{cases}$；第70天的日利润最大，最大日利润为6400元。
【知识点】
分段函数应用，待定系数法求解析式，二次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的应用，解题核心是根据自变量的取值范围分段构建函数解析式，再结合对应函数的性质求解最值，需注意自变量的取值限制，避免出现最值求解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察x与t的函数图象可知为分段函数：0≤t＜80时是一次函数，80≤t≤120时是常值函数。求解一次函数解析式用待定系数法，代入已知两点坐标即可求出系数；常值函数直接根据图象取值即可。
(2) 日利润=每件利润×日销售量，每件利润为(x-30)元，日销售量为(150-t)件，因此需分两段分别代入x的解析式得到W关于t的函数：0≤t＜80段得到二次函数，通过配方化为顶点式，结合开口方向求最大值；80≤t≤120段得到一次函数，根据增减性求最大值，最后比较两段最大值得到最终结果。
【解析】
(1) 分情况求x与t的函数解析式：
①当$0≤t＜80$（t为整数）时，设解析式为$x=kt+b(k≠0)$，
由图象知函数过点$(0,40)$、$(80,120)$，代入得：
$\begin{cases}b=40\\80k+b=120\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=40\end{cases}$，
即此时$x=t+40$。
②当$80≤t≤120$（t为整数）时，由图象得销售价恒定，即$x=120$。
综上，x与t的函数解析式为：
$x=\begin{cases}t+40&(0≤t＜80,且t为整数)\\120&(80≤t≤120,且t为整数)\end{cases}$
(2) 由日利润公式$W=(x-30)y$，$y=150-t$，分情况计算：
①当$0≤t＜80$（t为整数）时，代入$x=t+40$：
$\begin{aligned}W&=(t+40-30)(150-t)\\&=(t+10)(150-t)\\&=-t^2+140t+1500\\&=-(t-70)^2+6400\end{aligned}$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$t=70$时，W取得最大值，$W_{\mathrm{最大}}=6400$元。
②当$80≤t≤120$（t为整数）时，代入$x=120$：
$\begin{aligned}W&=(120-30)(150-t)\\&=-90t+13500\end{aligned}$
$\because -90＜0$，W随t的增大而减小，
$\therefore$当$t=80$时，W取得最大值，$W_{\mathrm{最大}}=-90×80+13500=6300$元。
$\because 6400＞6300$，因此第70天的日利润最大。
【答案】
(1) $x=\begin{cases}t+40&(0≤t＜80,且t为整数)\\120&(80≤t≤120,且t为整数)\end{cases}$
(2) W与t的函数解析式为$\begin{cases}W=-(t-70)^2+6400&(0≤t＜80,且t为整数)\\W=-90t+13500&(80≤t≤120,且t为整数)\end{cases}$；第70天的日利润最大，最大日利润为6400元。
【知识点】
分段函数应用，待定系数法求解析式，二次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的应用，解题核心是根据自变量的取值范围分段构建函数解析式，再结合对应函数的性质求解最值，需注意自变量的取值限制，避免出现最值求解错误。
【难度系数】
0.7
10. 某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克. 为扩大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克每降低1元，每天可多销售50千克.
(1)求工厂每天的利润y(元)与每千克降价x(元)之间的函数解析式.
(2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？
(3)请直接写出使工厂每天的利润不低于9750元的批发价范围.
(1)求工厂每天的利润y(元)与每千克降价x(元)之间的函数解析式.
(2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？
(3)请直接写出使工厂每天的利润不低于9750元的批发价范围.
答案
10. (1)由题意,得 $y=(48-30-x)(500+50x)=-50x^2+400x+9\ 000$,
$\therefore\ \ $ 所求的函数解析式为 $y=-50x^2+400x+9\ 000.$
(2)由(1),得
$\begin{aligned}y &= -50x^2+400x+9\ 000\\&= -50(x-4)^2+9\ 800.\end{aligned}$
$\because\ \ -50＜0,$
$\therefore\ \ $ 当 $x=4$ 时,y 取得最大值,最大值为9 800.
$\therefore\ \ $ 当每千克降价 4 元时,工厂每天的利润最大,最大利润为 9 800 元.
(3)批发价设在 43 ~ 45 元/千克之间(含43 元/千克和 45 元/千克)时,可使工厂每天的利润不低于 9 750 元.
$\therefore\ \ $ 所求的函数解析式为 $y=-50x^2+400x+9\ 000.$
(2)由(1),得
$\begin{aligned}y &= -50x^2+400x+9\ 000\\&= -50(x-4)^2+9\ 800.\end{aligned}$
$\because\ \ -50＜0,$
$\therefore\ \ $ 当 $x=4$ 时,y 取得最大值,最大值为9 800.
$\therefore\ \ $ 当每千克降价 4 元时,工厂每天的利润最大,最大利润为 9 800 元.
(3)批发价设在 43 ~ 45 元/千克之间(含43 元/千克和 45 元/千克)时,可使工厂每天的利润不低于 9 750 元.
解析
【分析】
解答本题可按以下思路逐步推导：
1. 第一问核心是利用利润公式建模：总利润=每千克利润×销售量。先确定降价x元后，每千克利润为原批发价减成本再减降价额，销售量为原销量加上降价带来的新增销量，代入公式化简即可得到函数解析式，同时要结合“保证盈利”的要求确定自变量x的取值范围；
2. 第二问求二次函数最值，可将函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断开口方向，开口向下时顶点对应的函数值就是最大值，进而得到对应的降价额和最大利润；
3. 第三问求利润不低于9750元的批发价范围，先令利润等于9750，解对应的一元二次方程得到临界x值，结合二次函数开口向下的性质得到x的取值范围，再换算为批发价即可。
【解析】
(1) 由题意得，降价x元后，每千克利润为$(48-30-x)$元，每天销售量为$(500+50x)$千克，且需满足盈利要求：$48-x＞30$，即$x＜18$，同时$x≥0$。
总利润：
$\begin{aligned}y&=(48-30-x)(500+50x)\\&=(18-x)(500+50x)\\&=-50x^2+400x+9000\end{aligned}$
即函数解析式为$y=-50x^2+400x+9000\ (0≤ x＜18)$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y &= -50x^2+400x+9000\\&=-50(x^2-8x)+9000\\&=-50(x^2-8x+16-16)+9000\\&=-50(x-4)^2+9800\end{aligned}$
$\because -50＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为9800元。
(3) 令$y=9750$，则：
$-50x^2+400x+9000=9750$
整理得$x^2-8x+15=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
$\because$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 当$y≥9750$时，$3≤ x≤5$。
对应批发价为$48-x$，即$48-5≤48-x≤48-3$，也就是$43≤$批发价$≤45$。
【答案】
(1) $y=-50x^2+400x+9\ 000$
(2) 当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元；
(3) 批发价设在43 ~ 45元/千克之间(含43元/千克和45元/千克)。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，一元二次方程求解
【点评】
本题是销售利润类问题的典型题型，考察将实际问题转化为函数模型的能力，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免得到不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
解答本题可按以下思路逐步推导：
1. 第一问核心是利用利润公式建模：总利润=每千克利润×销售量。先确定降价x元后，每千克利润为原批发价减成本再减降价额，销售量为原销量加上降价带来的新增销量，代入公式化简即可得到函数解析式，同时要结合“保证盈利”的要求确定自变量x的取值范围；
2. 第二问求二次函数最值，可将函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断开口方向，开口向下时顶点对应的函数值就是最大值，进而得到对应的降价额和最大利润；
3. 第三问求利润不低于9750元的批发价范围，先令利润等于9750，解对应的一元二次方程得到临界x值，结合二次函数开口向下的性质得到x的取值范围，再换算为批发价即可。
【解析】
(1) 由题意得，降价x元后，每千克利润为$(48-30-x)$元，每天销售量为$(500+50x)$千克，且需满足盈利要求：$48-x＞30$，即$x＜18$，同时$x≥0$。
总利润：
$\begin{aligned}y&=(48-30-x)(500+50x)\\&=(18-x)(500+50x)\\&=-50x^2+400x+9000\end{aligned}$
即函数解析式为$y=-50x^2+400x+9000\ (0≤ x＜18)$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y &= -50x^2+400x+9000\\&=-50(x^2-8x)+9000\\&=-50(x^2-8x+16-16)+9000\\&=-50(x-4)^2+9800\end{aligned}$
$\because -50＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为9800元。
(3) 令$y=9750$，则：
$-50x^2+400x+9000=9750$
整理得$x^2-8x+15=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
$\because$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 当$y≥9750$时，$3≤ x≤5$。
对应批发价为$48-x$，即$48-5≤48-x≤48-3$，也就是$43≤$批发价$≤45$。
【答案】
(1) $y=-50x^2+400x+9\ 000$
(2) 当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元；
(3) 批发价设在43 ~ 45元/千克之间(含43元/千克和45元/千克)。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，一元二次方程求解
【点评】
本题是销售利润类问题的典型题型，考察将实际问题转化为函数模型的能力，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免得到不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
